29 августа 2008 г.

Школьная задачка и удивительный ответ

Кстати, насчет удивительных вещей в физике. Вспомнилась мне такая вот школьная задачка с очень простым решением, но удивительным -- и на первый наивный взгляд даже противоестественным -- ответом.

В школе механические колебания изучают на двух примерах: грузик на пружинке и материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити в поле тяжести.

В первом случае задают массу грузика m и жесткость пружины k, и тогда частота колебаний получается равной:

Во втором случае важными параметрами являются ускорение свободного падения g и длина нити L, и тогда частота (малых) колебаний равна


А теперь рассмотрим маятник на пружинке, подвешенный в поле тяжести. Он задается четырьмя параметрами: k, m, g, L0 (последнее -- это длина нерастянутой пружинки). Этот маятник может колебаться как вертикально (т.е. словно грузик на пружинке), или горизонтально (словно обычный маятник). На основании написанных выше формул может возникнуть естественное ощущение, что частоты этих двух колебаний могут соотноситься друг с другом произвольно -- ведь они выражаются через разные, не связанные друг с другом параметры!

А на самом деле, частота вертикальных колебаний всегда строго больше частоты горизонтальных. Доказывается в одну строчку.

А вообще у этого маятника есть и гораздо более интересные свойства. При соотношении частот ωy=2ωx имеет место так называемый резонанс Ферми. Горизонтальные и вертикальные колебания начинают резонансно взаимодействовать, и энергия перетекает из одних колебаний в другие и обратно. Говорят, Энрико Ферми впервые понял, как за счет этого механизма объяснить спектр колебаний молекулы CO2.

Я всё хочу как-нибудь написать подробнее про этот резонанс, т.к. он, на мой взгляд, служит отличным примером визуализации нестабильных частиц. В данном случае "квант вертикальных колебаний" как бы распадается на два "кванта горизонтальных колебаний".

18 комментариев:

  1. В одну строчку - это как? Показать, что горизонтальная амплитуда всегда (для малых углов) больше, чем вертикальная?

    ОтветитьУдалить
  2. Амплитуды тут не при чем. Тут соотношение между частотами малых колебаний.

    ОтветитьУдалить
  3. Нет, это я к вопросу об "одной строчке". В общем виде понятно, как такие задачи (колебание системы с несколькими степенями свободы) решать. Вводим обобщенные координаты, записываем Лагранжиан, составляем уравнения движения, выводим характеристическое уравнение. Его решения и дают нам искомые собственные частоты.

    Но всё это в одну строчку явно не уместится. Разве что - в очень длинную. :)

    ОтветитьУдалить
  4. В одну строчку, имеется в виду, если воспользоваться уже выписанными формулами, но понять, что именно в них подставлять. Т.е. начинается строчка с отношения частот, а заканчивается выражением строго больше единицы.

    ОтветитьУдалить
  5. Студент31/8/08 00:09

    Ну типа L = L0 + (mg / k), где L0 длинна нерастянутой пружины. Тогда:

    (w1 / w2) ^ 2 = kL / mg = (kL0 + mg) / mg = (kL0 / mg) + 1 > 1

    Так предполагалось? :)

    Если да, то, по-моему, правомерность подстановки "L = L0 + (mg / k)" и использование формул для исходных задач в решении данной задаче нуждаются в дополнительном доказательстве. :)

    Ваш,
    Студент

    ОтветитьУдалить
  6. Да, так.
    Ну, L=L0+(mg/k) настолько понятно, что доказывается словами, а то, что частоты можно использовать те же, по-хорошему, надо доказывать, с этим я согласен. Но с другой стороны, и это доказательство можно "проговорить", т.к. они непосредственно следуют из геометрии задачи (при малых смещениях по x возвращающая сила по y зависит от этого смещения не линейно, а более высокой степенью; аналогично и сила по x при смещении по y).

    ОтветитьУдалить
  7. Студент31/8/08 04:29

    Все так, но это уже не одна строчка, а одна строчка плюс небольшой рассказ. :)

    Придираюсь, придираюсь, знаю. :)

    Ваш,
    Студент.

    P.S. Нет, правда ваш студент. ФМШ, физика, 96-97 или 97-98 годы, олимпиада, то-се. :)

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный31/8/08 15:44

    Даже при моём весьма отличном знании школьной механики, я не понял.

    ОтветитьУдалить
  9. Анонимный31/8/08 15:51

    Уточню почему я не понял. Я не понял во-первых потому что опеги превратились в w (не сразу сообразил про обозначения), а во-вторых, не понял совершенно почему L0 + (mg / k). В то время как L(t) будет меняться причудливым образом.

    ОтветитьУдалить
  10. Ну, L = L0 + mg/k это действительно совершенно тривиально - насколько изменится длина нерастянутой пружины под весом грузика. :)

    L(t) - менее очевидно, да. Лично я, если честно, полные уравнения колебаний расписывал, и уже по ним увидел, что в уравнение одной моды члены с другой входят уже в следующем порядке малости.

    ОтветитьУдалить
  11. Анонимный31/8/08 16:47

    Так вот вся соль в том и есть, что мне L(t) не очевидно совсем. И тем более не очевидно как там эти малые между собой координируются. Ведь если рассматривать малые колебания, то и все силы тут малые, и все поправки малые... как бы так вольно отбрасывая малые не получить вывод Зенона, что движение не возможно в принципе.

    ОтветитьУдалить
  12. А напишите, очень интересно было бы прочитать. Я сразу вспомнил Фейнмана:

    "Примерно через неделю я был в кафетерии, и какой то парень, дурачась, бросил тарелку в воздух. Пока она летела вверх, я увидел, что она покачивается, и заметил, что красная эмблема Корнелла на тарелке вращается. Мне было совершенно очевидно, что эмблема вращается быстрее, чем покачивается тарелка.
    Мне было нечего делать, и поэтому я начал обдумывать движение вращающейся тарелки. Я обнаружил, что, когда угол наклона очень маленький, скорость вращения эмблемы вдвое больше, чем скорость покачивания, – два к одному. Так получалось из некоторого сложного уравнения. Затем я подумал: “Нет ли какого нибудь способа получить то же самое более фундаментальным способом, рассмотрев силы или динамику, почему два к одному?”
    Я не помню, как сделал это, но в конце концов я разработал описание движения массивных частиц и разобрался, как складываются ускорения, приводя к соотношению два к одному.
    ...
    Диаграммы и все остальное, за что я получил Нобелевскую премию, вышли из этой пустячной возни с покачивающейся тарелкой."

    ОтветитьУдалить
  13. Интересная задачка. Почему-то пропустил ее публикацию.
    Во первых: У меня не возникло естественного ощущения, что частоты этих двух колебаний могут соотноситься друг с другом произвольно, так как параметры k, m, g, l в колебательной системе, которую предложил Игорь, обязательно будут связаны.
    Примечательно то, что данная система имеет два положения равновесия, и эти положения не равноправны, то есть система может совершать колебания около горизонтального положения равновесия (на пружинке) при этом находясь в вертикальном равновесии, но не может совершать колебания около вертикального положения равновесия (мат. маятник) при этом, не совершая колебаний (на пружинке). Думается, что в этом зарыта причина подобного соотношения частот. Стоит просто отклонить эту систему от вертикального положения равновесия и отпустить - установится соотношение ωy=2ωx.
    Честно сказать, складывается впечатление, что любое другое соотношение частот даст полный хаос, и возможно, через некоторое время соотношение ωy=2ωx установится само собой, конечно же в отсутствии трения:). Могу ошибиться, так как это только на первый взгляд.
    Игорь, очень интересно было бы почитать про "резонанс Ферми" - в общедоступном изложении:)

    ОтветитьУдалить
  14. Анонимному комментатору:

    я согласен, что заранее непонятно, как будет меняться L(t). Вы правы в том, что и силы малые, и поправки малые, однако малость бывает разного порядка, и поэтому надо всё писать аккуратно. А если написать аккуратно, ввести параметр малости ("общую" амплитуду), разложить уравнения по степеням параметра, решать дифуры последовательными приближениями с контролируемой точностью, то из формул вытекает, что низшие по малому параметру члены действительно не перемешивают колебания по вертикали и по горизонтали. Так что ничего вольного не происходит, всё строго обосновывается.

    Однако после того, как несколько подобных задач порешаешь, научаешься видеть это прямо в исходной постановке задачи. Я это сформулировал в предыдущем комментарии -- это звучит как слова, но эти слова на самом деле выжимка из формул.

    Артему:

    для того, чтобы набить всё это, нужно время. Правда, это будет не популярный рассказ, а просто честное решение механической задачи, из которой можно будет получить некоторую интуицию на будущее.

    to Slon:

    насчет двух положений равновесия -- либо Вы неаккуратно выразились, либо Вам что-то не то представилось. Положение равновесия одно. Насчет различия между вертикальными и горизонтальными колебаниями я согласен, но эти отличия проявляются лишь при больших амплитудах. Это будет существенно нелинейная задача, я ее тут не рассматривал.

    Для малых колебаний никакого соотношения частот не "устанавливается"! Это соотношение задано именно исходными параметрами. Вы как-то лихо представляете себе эволюцию этой системы. :)

    ОтветитьУдалить
  15. Значит дейсвительно что то не правильно представил. Я представил себе висящий на пружинке груз, который может совершать колебания не только вверх-вниз, но и влево-вправо (мат.маятник).
    Если оттянуть груз немного вниз, он не отклонится влево или вправо, если же отклонить влево или вправо, даже на очень малый угол, пружинка, в любом случае сожмется.
    Вышеуказанное различие будет проявлятся и при очень малых амплитудах. Или я ошибаюсь, и есть настолько малая амплитуда у маятника, что можно не учитывать упругие свойства нити?
    Если я не ошибаюсь, то разница между нашим маятником и мат.маятником только в том что мы учитываем упругие свойства нити, а нитью в нашем случае является пружинка.

    ОтветитьУдалить
  16. to Slon: я же написал, что да, различие между вертикальными и горизонтальными колебаниями есть, в этом Вы правы. Формально, оно есть при любой амплитуде. Но при малых амплитудах эти отличия приводят к эффектам, которые очень слабые, еще слабее, чем сами малые колебания. Т.е. они несущественны для динамики малых колебаний.

    Но положение равновесия -- оно одно. И хаоса никакого там нет, и подстраивание частот под соотношение тоже. Вот про это я сказал, что Вы не так представляете.

    ОтветитьУдалить
  17. Анонимный5/9/08 09:19

    Артему:

    Мы недавно кидали тарелку и считали обороты и покачивания (снимали на видеокамеру и потом замедляли), получился ответ противоположный тому, что написано (в переводе) Фейнмана. На один поворот приходилось два покачивания.

    ОтветитьУдалить
  18. А как насчёт соотношения частот в чуть-чуть усложнённой задаче: с L_0 - длиной полного подвеса (в положении равновесия), и L - длиной пружины, которая занимает часть полной длины подвеса (причём пружина коллинеарна остальному стержню), в частности, в случае L>L_0?

    ОтветитьУдалить