Связанное состояние в двумерном точечном потенциале - 2

В прошлый раз я рассказывал, что попытки выяснить на основании соотношения неопределенностей, существует ли связанное состояние в двумерном короткодействующем потенциале и какова его энергия, оканчиваются ничем -- наличие или отсутствие состояния разглядеть не удается.

Сейчас мы попытаемся решить эту задачу точно, заменив короткодействующий потенциал двумерной дельта-функцией.

Связанное состояние в одномерном дельта-функционном потенциале

Прежде, чем решать двумерную задачу, полезно вновь обратиться к одномерной дельта-функции. Запишем одномерное станционарное уравнение Шредингера для потенциала V(x) = −Gδ(x):

Наша задача -- найти энергию связанного состояния E, а также вид волновой функции ψ(x).

Первым делом обезразмерим задачу. Для этого введем величину κ, имеющую размерность волнового вектора, и запишем искомую (отрицательную) энергию как

то есть, вместо энергии будем искать теперь κ. После этого помножим обе части УШ на 2m/h², в результате чего придем к уравнению

Посмотрим на получившееся уравнение с точки зрения размерностей. Оно содержит один единственный заданный параметр, g, с размерностью обратного метра. Нам при решении требуется найти неизвестную величину κ, тоже имеющую размерность обратного метра. Следовательно, по соображениям размерности мы обязаны получить ответ в виде κ = число*g.

И действительно, решая задачу стандартным образом (через условие на разрыв первой производной волновой функции), получаем ответ:

Это всё обычно проходится на первых семинарах по квантовой механике. Однако для наших целей полезно также посмотреть, как эта задача решается в импульсном представлении (точнее, в представлении волновых чисел). Введем фурье-разложение волновой функции:

Перепишем теперь обезразмеренное УШ в импульсном представлении. Для этого домножим обе части на exp(ikx) и проинтегрируем по всем x. Получим:

Напомним, что в этом представлении k -- это динамическая переменная, а κ -- это искомая величина (как и сама волновая функция φ(k)). В этом выражении также встречается ψ(0) -- значение координатной волновой функции ψ(x) в нуле, т.е. просто некоторое число. Получившееся уравнение уже не дифференциальное, а алгебраическое, и оно решает относительно φ(k) очень просто:

Осталось понять, чему равно κ. Для этого вспоминаем, что согласно определению фурье-разложения

Применяя его к найденной нами волновой функции, получаем:

Здесь отдельной буквой I_1 обозначен интеграл

Поскольку мы хотим получить ненулевую волновую функцию, мы считаем, что ψ(0) не равно нулю, поэтому на это число можно сократить. В итоге получаем уравнение, определяющее κ (а значит, и энергию связанного состояния):

Интеграл I₁, разумеется, легко берется, и в результате получается κ = g/2.

Связанное состояние в двумерной дельта-функции: попытка номер один

Попытаемся применить теперь ту же самую логику к двумерной дельта-функции. Итак, мы ищем энергию связанного состояния E в УШ:

которое после обезразмеривания превращается в

В отличие от одномерного случая константа g здесь уже безразмерна. Это уже намекает на то, что наша задача, по-видимому, неразрешима -- ведь от нас требуется найти размерную величину κ, хотя никаких размерных параметров в задаче не осталось!

Есть и другая проблема, связанная, впрочем, с предыдущей. И кинетический, и потенциальный член в этом УШ являются однородными функциями координат, со степенью однородности −2. Это значит, что если в операторах кинетической и потенциальной энергии изменить все координаты в n раз, то получатся те эе самые операторы, деленные на n². А из этого следует, что если мы найдем какое-нибудь конечное значение κ, которое будет собственным числом гамильтониана, но и любое число вида n*κ для любого конечного n тоже будет собственными числом этого гамильтониана! Иными словами, если мы найдем связанное состояние с какой-то конечной энергией, то мы автоматически докажем, что в потенциале имеются также и связанные состояния с любой энергией!

Эти несуразицы впечатляют, но закроем пока на них и продолжим решать задачу. Как и в одномерном случае, перейдем в импульсное представление.

УШ запишется в импульсном представлении будет иметь точно такой же вид, как и раньше:

в результате чего мы приходим к аналогичному уравнению на κ:

Итак, мы дошли в решении нашей задачи почти до конца. Остался последний шаг -- сосчитать I₂, -- и вот в нем-то загвоздка: этот интеграл расходится в области больших импульсов (на физическом жаргоне: "в ультрафиолетовой области"). Иными словами, ни при каком конечном g этому уравнению нельзя удовлетворить ни при каких κ. Т.е. не удается найти формулы, связывающей искомый κ с заданным g. Получается, что связанного состояния в двумерном дельта-функционном потенциале с конечной G не существует.

Казалось бы, на этом задача и закончилась: мы доказали, что связанного состояния не существует. Однако вспомним, в чем изначально заключалась наша задача. Мы хотели научиться описывать связанные состояния в притягивательном потенциале нулевого радиуса. Мы предположили, что такой потенциал можно описать дельта-функцией, но ведь это далеко не единственный способ описать "точечный" потенциал. Дельта-функция подразумевает предельный переход с некоторым вполне конкретным условием (интеграл равен единице). Так может быть можно изменить этот предельный переход, чтобы получить иной потенциал нулевого радиуса, в котором связанное состояние будет существовать? Именно это мы и проделаем в третьей части.

Молибденовый кризис

По поводу того, как много в жизни завязано на науку и как наука иногда, увы, завязана на политику.

Есть такой ядерный изомер -- технеций-99m с периодом полураспада 6 часов. Он исключительно удобен для медицинской диагностики. Период полураспада, с одной стороны, больше типичного времени метаболических процессов в организме, так что радиоизотоп может проникнуть в ткани, а с другой стороны, достаточно мал, чтобы через несколько дней от него не осталось и следа. Кроме того, он распадается в основное состояние технеция-99 (без буквы m!) за счет испускания гамма-кванта, который легко выходит наружу и фиксируется детектором фотонов (т.е. нет высокоэнергетических частиц, застревающих в теле). Это всё позволяет провести диагностику метаболических процессов при минимальной дозе облучения. Наконец, технеций очень удобно внедряется в самые разные биологически активные субстанции, так что его можно легко направлять в те органы, которые требуется просмотреть.

В результате, технеций-99m сейчас используется в подавляющем большинстве диагностических процедур в ядерной медицине. Во всем мире примерно 70 тысяч человек ежедневно(!) проходят процедуры с использованием технеция-99m.

Поскольку этот изотоп быстро распадается, его надо искусственно получать. Берут его в основном из распада молибдена-99 -- другого радиоизотопа с периодом полураспада 66 часов. А молибден-99 в свою очередь вырабатывают на реакторах, облучая обогащенный уран-235 нейтронами и вытаскивая молибден-99 из продуктов деления. Из-за малого периода полураспада его тоже невозможно запасать. Его надо производить, срочно на спецсамолетах через спецаэродромы доставлять в медцентры, и тут же использовать. И если прекратится производство молибдена-99, то через несколько дней его уже просто не останется нигде.

Так вот, в последние месяцы во всем мире набирает силу "молибденовый кризис" -- резкая нехватка молибдена-99.

Производством молибдена-99 в промышленных масштабах занимались до недавнего времени пять реакторов: один в Канаде, три в Европе, один в Южной Африке. США, кстати, в аналогичный реактор решили не вкладываться, т.к. под боком есть канадский. Больше всего, почти половину мирового потребления молибдена-99, покрывал канадский NRU. Однако 15 мая из-за утечки тяжелой воды его пришлось остановить. Сама по себе авария мелкая и нестрашная, но проблема в том, что его могут чинить долго. И неоднократно, поскольку ему (как и другим реакторам) уже полвека, и он давно работает на износ. Когда он будет запущен вновь, пока неизвестно.

Европейские реакторы вроде бы слегка увеличили производство, однако вчера на ежегодное техническое обслуживание был остановлен голландский реактор High Flux Reactor Petten. В августе он будет запущен снова, но в следующем году планируется его остановка на полгода для ремонта деформированных труб системы охлаждения.

Сейчас ситуация еще не катастрофична -- производство молибдена-99 сократилось примерно втрое и радиодиагностические процедуры приходится заменять какими-то иными лишь для тех пациентов, для которых это не критично. Но встречается утверждение, что если производство упадет в пять раз по сравнению с исходным уровнем, молибдена уже будет не хватать для критически важных случаев.

Сейчас срочно ищутся пути выхода из этого кризиса -- как локально, на 2009 год, так и в перспективе на последующие годы. Главная проблема тут уже не техническая, а скорее политическая. Все пять реакторов используют обогащенный уран-235. В результате проекты по созданию новых центров по производству молибдена-99 по этой технологии неизбежно утыкаются в вопросы ядерной безопасности (террористы, бомбы и т.д.). Та же Канада зарубила в прошлом году проект нового реактора MAPLE по причине того, что обеспечение безопасности обойдется в слишком большую сумму. Этот реактор целиком покрывал бы весь нынешний мировой спрос этого изотопа (и плюс еще много чего делал бы).

Возможный выход -- использовать иные технологии. Например, использовать необогащенный уран (такой реактор, OPAL, работает в Австралии, и США тоже рассматривает сейчас вариант создания такого центра). Еще один вариант -- получать нужный изотоп на ускорителях, облучением мишени пучком электронов. Но у такой технологии слишком малый выход продукта.

По поводу ситуации в России есть два интересных интервью.

Некоторые ссылки:

• Молибден-99 - текущее состояние дел. Доклад из США -- статья на сайте atominfo.ru.
  
• Mo-99 crisis making headline news (19 июня)
  
• Medical isotope shortage reaches crisis level (15 июля).
  
• Accelerator lab targets medical isotopes (28 апреля) -- канадский проект по ускорительному производству молибдена-99.
  

Связанное состояние в двумерном точечном потенциале - 1

В обычной квантовой механике иногда встречаются задачи, разбираясь с которыми приходится использовать идеи и методы из гораздо более "навороченного" раздела физики -- квантовой теории поля. Сквозь эти, казалось бы совершенно учебные, задачи как бы проглядывает современная физика. Такие задачи можно рекомендовать студентам, которые только-только начали изучать квантовую механику, но уже "рвутся в бой", хотят узнать что-то интересное из более серьезных разделов теорфизики.

Одна из таких задач -- поиск связанного состояния в двумерном потенциале нулевого радиуса. В одномерном случае такая задача решается влёт, а в двумерном приводит к совершенно нетривиальным явлениям типа перенормировки и понятию о том, что вообще значит правильно сформулировать задачу.

Вообще, это очень известная задача; она изучалась во многих статьях и самыми разными способами. Но поскольку в Рунете про эту задачу, насколько я вижу, ничего нет, то я подумал, что полезно будет в меру понятно и подробно рассказать о ней.

Рассказ будет состоять из трех постов: вводная часть, попытка решить задачу в лоб, и переформулировка задачи с ее последующим решением. Это не совсем популярные рассказы, но для студентов-физиков они могут показаться полезными.

Вступление

В физике встречаются задачи, в которых требуется описать взаимодействие волн вещества (электроны, нейтроны и т.д.) с сильными, но очень короткодействующими потенциалами (радиус действия потенциала много меньше длины волны частиц). Анализ таких задач показывает, что конкретный профиль потенциала тут обычно не существен, а важным является лишь единственное число, характеризуюшее силу потенциала в целом. В этом случае компактный потенциал со сложным профилем можно заменить просто дельта-функцией. Это резко упрощает вычисления при сохранении физической сути явления.

В качестве простейшего примера можно взять одномерную квантовомеханическую задачу о поиске связанного состояния в очень короткодействующем притягивательном потенциале с типичной глубиной −U₀ и характерным радиусом действия a, для которого выполняется сильное неравенство

С одной стороны, известно, что в любом одномерном притягивательном потенциале имеется хотя бы одно связанное состояние. С другой стороны, ясно, что в данном случае это состояние не может поместиться внутрь потенциала, поскольку из-за выписанного выше неравенства кинетическая энергия частицы во много раз превысит потенциальную энергию. Поэтому это состояние будет в основном сидеть в пустом пространстве рядом с потенциалом и только чуть-чуть за него цепляться. Размер локализации частицы будет много больше a, и в первом приближении потенциал будет выглядеть для неё точечным, т.е. потенциалом нулевого радиуса.

Потенциалы нулевого радиуса (но с конечным интегралом) обычно описываются с помощью дельта-функций. Поэтому задачу о поиске связанного состояния в короткодействующем потенциале с хорошей точностью можно свести к решению уравнения Шредингера в одномерном дельта-функционном потенциале:

где

.

Как изучается буквально на самых первых семинарах по квантовой механике, в таком потенциале существует связанное состояние с энергией

Попытка провести те же самые рассуждения в двумерном случае -- то есть, промоделировать точечный потенциал с помощью двумерной дельта-функции -- неожиданно наталкивается на серьезные трудности. Разбираясь с ними, мы придем к необходимости переформулировать задачу и попутно увидим, как возникают некоторые очень интересные явления, про которые обычно упоминают только в курсах квантовой теории поля.

Оценки из соотношения неопределенностей

Прежде, чем приступать к честному решению задачи, полезно оценить энергию связанного состояния из соотношения неопределенностей. Вспомним, как это работает в одномерном случае.

У нас имеется потенциал с глубиной −U₀ и шириной a, причем выполняется выписанное выше неравенство. Пусть Δx -- размер локализации волновой функции. Тогда энергию такого локализованного состояния можно оценить как

Для потенциальной энергии мы учли, что потенциал "ощущается" не всей волновой функцией, а только малой ее частью в области действия потенциала. Эта энергия имеет минимум при , и равна она

Из-за неравенства получается, что , т.е. уровень получается очень мелкий.

Попробуем записать то же в двумерном случае для потенциала глубиной −U₀ и областью действия a в обоих направлениях.

Зависимость от Δx в кинетическом и потенциальном слагаемых получилась одинаковой. Это значит, что нам не удастся минимизировать потенциал ни при каких конечных Δx. То есть, с помощью такой оценки не удается "разглядеть", существует ли в таком потенциале связанное состояние или нет. (Более аккуратный подход показывает, что связанное состояние всегда есть, но с экспоненциально малой энергией связи.)

Итак, уже простые оценки показывают, что в случае двумерного потенциала нулевого радиуса нас ожидают какие-то сюрпризы. В следующем посте мы попробуем решить эту задачу честно и увидим, на каком именно этапе у нас возникают проблемы.

Лекция в Иркутске

4 июля я буду проездом в Иркутске и прочитаю там научно-популярную лекцию "Как расщепляют мгновение" -- рассказ про быстропротекающие процессы и методы их изучения. Лекция адаптирована для учителей физики/студентов младших курсов, но может показаться интересной и школьникам, и физикам-исследователям. Так что приглашаются все желающие.

Лекция состоится 4 июля в 11:00 в ауд.318 физфака ИГУ.

PS Кстати, а не подскажете, какие есть в Иркутске естественно-научные музеи? Знаю только про Лимнологический музей, но он в Листвянке.

Update: вернулся с байкальской конференции. На Байкале было классно! Немножко фоток выложил в пикасу.

И снова про графен

В комментариях к ЖЖ-синдикату прошлой заметки про графен много интересного про его получение рассказал Данил Бухвалов (ЖЖ-юзер brother2), который как раз с этим графеном и работает. Я подумал, что полезно будет вынести два его комментария в отдельный пост.

Ниже в виде цитат приведены фразы из моего поста, а прямой текст -- комментарии Данила.

**********

Проблема тут не в самом графене (судя по первым экспериментам, терагерцовые графеновые транзисторы не за горами), а в неразвитой методике создания графеновых микросхем с атомарной точностью.

Эту ситуацию усугубляет то, что многое что публикуется о графене, публикуется не совсем о графене, а каких-то carbon based nanostructures. Обычно грешат недовосстановленым graphene oxide. Эта ситуация логична: нанотрубки изначально считались грязными и сейчас их очистка - целая наука, а графен сразу провозгласили чистым, и вскоре повалил вал образцов непонятного происхождения.

По-видимому, в ближайшие годы эта тенденция продолжится, что приведет к резкому удешевлению графена, образцы станут по карману многим лабораториям, в том числе и химическим, что наверняка приведет к еще более сильному росту числа исследований.

для лаб это и сейчас по карману: сотка евров за образец - вполне посильно.

в принципе ничто не мешает садить на поверхность и другие ионы. Главная проблема тут -- дороговизна самого графена, но если технология производства удешевится, то химики плотно возьмутся на него. Какую функциональность приобретут производные графена, можно только догадываться.

В принципе есть старый (синтезирован 150 лет назад) добрый (синтез весьма прост, чуть ли не растворение графита в марганцовке с расслаиванием в микроволновке) graphene oxide. Если не заморачиваться подвижностью носителей заряда и ещё некоторыми свойствами чистого графена, то он вполне хорош.

**********

А в чем проблема тогда? В чистоте? или образцы получаются слишком мелкие?

Проблема в количестве образцов: сейчас их производства ещё боль-мень хватает для науки, но реально это максимум тысяча образцов в год, ну может две. Для производства какой-то электроники на основе графена - это совершенно ничтожные числа. Учёных (многих) вполне устраивает просто тупо покупать образцы у Гейма (европейцы кроме Хрёнингена и может ещё пары групп так и делают (это речь о free standing graphene, у эпитаксиальщиков свои "магазины")), либо посадить "китайского аспиранта с микроскопом" чтобы он в год выдавал нужное лабе количество образцов. Основная проблема - это метод, при котором процесс можно максимально автоматизировать, чтоб его производство не зависело от ловкости рук.

Основные проблемы с переходом к индустриальному производству такие:

1) Для механического отслаивания, или растворения графита или интеркалатов, проблема в обратимости процесса: графит<->графен, т.е. часть графеновых мембран снова слипается в графит и в несколькослойки (да, кскати, частенько когда в заголовке и абстракте сказано про графен, речь может идти об экспериментах с многослойками, т.е. фактичсеки с тонкими графитами, ибо после 6 слоёв - это уже графит), и в итоге выход однослоек ничтожно мал и выловить их оттуда целое искусство.

2) Восстановление graphene oxide - если восстанавливать его тупо в лоб, то восстанавливают до проводимости, которая может быть и при сохранении покрытия ниже 50%. Дальнейшая термическая очистка ведёт просто к развалу образцов. С химической очисткой тут проблема в другом - как раз в двустороннести графена. "Выдернуть" гидроксигруппы одновременно с двух сторон - довольно сложно. Подробнее см. обзор Rod Ruoff в Nature Nanotech.'09 Но с другой стороны - это пока единственный путь к почти 100% выходу однослоек.

3) Эпитаксиальный графен - он получается в результате высокотемпературного процесса быстрого испарения карбида кремния и осаждения углеродного слоя. Для того, чтобы получить хороший графен, нужен очень узкий интервал температур (а при высоких температурах 700-1100 цельсия достичь точности в 10 градусов - это искуство) и времён испарения и осаждения, в итоге реальные монослои - редки, а подчас удаётся получить такой буферный слой между графеном и подложкой, что откроется щель (см. A. Lanzara group Nat. Mater.'06 или 07, однако другим группам воспроизвести это не удалось).

4) Есть ещё один красивый метод. Philipp Kimm et all. Nature'09 про рост графена на Ni(111) поверхности (собственно его так растят с 70х, используя эффект совпадения параметров решётки графена с межатомными расстоянияниями никеля при гексагональной упаковке, и применялось это для защиты поверхностей) с последующим растворением никеля. Здесь помимо технических проблем с получением именно монослоя встаёт ещё одна интересная проблема - а не повредится ли графен? Интересно, что представленные в статье кривые для QHE при комнатной температуре сдвинуты аналогично кривым графана после дегидрогенации. Т.е. получен графен (QHE при комнате - это единственный чёткий критерий, того, что получен графен, но на такую честность мало кто решается), но какой-то странный. У меня есть на этот счёт мнение, но подожду его экспериментального подтверждения.

******

Cсылки в тексте Данила (вроде бы это они):

• S.Park, R.S.Ruoff, Chemical methods for the production of graphenes, Nature Nanotechnology 4, 217-224 (2009); PDF статьи можно скачать тут.
  
• S.Y. Zhou, ... A. Lanzara, Substrate-induced bandgap opening in epitaxial graphene, Nature Materials 6, 770-775 (2007); полный текст в архиве епринтов: arXiv:0709.1706.
  
• S.K.Kim et al, Large-scale pattern growth of graphene films for stretchable transparent electrodes, Nature 457, 706-710 (5 February 2009); PDF статьи можно скачать тут.
  

Климатические изменения по состоянию на 2009 год

В марте этого года в Копенгагене прошел большой конгресс, посвященный климатическим изменениям. Там было почти полторы тысячи докладов: как самих климатологов, рассказывавших о текущих наблюдениях и анализах, так и -- что довольно необычно -- экономистов и представителей социальных наук. Они пытались дать объективные оценки стоимости и общественных изменений тех или иных сценариев развития ситуации.

На основе этих докладов был написан и обнародован на днях 39-страничный Synthesis Report (PDF файл, 5,7 Мб). Поскольку со времени последнего обстоятельного климатологического отчета IPCC прошло уже полтора года, этот Synthesis Report можно использовать в качестве апдейта текущего понимания ситуации.

Графен: статус и перспективы

В свежем выпуске Science появился небольшой обзор Андре Гейма про текущую ситуацию с изучением графена -- совершенно удивительного материала, ставшего за несколько лет одной из самых горячих тем во всей физике.

5-страничный обзор не претендует, конечно, на сколько-нибудь детальное освещение всех направлений исследований, но он обрисовывает глобальный "стратегический план": что сейчас делается, что можно ожидать в ближайшее время, а что пока остается в далекой перспективе. Вот некоторые выжимки из обзора.

Получение

Графен -- это плоская форма углерода, как бы изолированная графитовая плоскость. Это истинный двумерный кристалл, что само по себе делает его производство очень непростым. Если пытаться его выращивать, как большинство кристаллов, из расплава при высоких температурах, то у вас получится что угодно трехмерное, но только не графен -- при высоких температурах двумерные кристаллиты просто неустойчивы и изгибаются во что-нибудь трехмерное.

К счастью, сейчас уже могут получать графен несколькими разными способами (механическое раскалывание графита, ультразвуковое раскалывание с последующим осаждением микроскопических кристаллитов из суспензии, разнообразные варианты эпитаксиального роста на подложке). По-видимому, в ближайшие годы эта тенденция продолжится, что приведет к резкому удешевлению графена, образцы станут по карману многим лабораториям, в том числе и химическим, что наверняка приведет к еще более сильному росту числа исследований.

Некоторые подробности см. в прошлогодней новости Графен: новые методы получения и последние достижения.

Электронные свойства

Электронные свойства графена изучаются сейчас активнее всего. Главная особенность тут -- линейная зависимость между импульсом и энергией электронов внутри графена, т.е. электроны ведут себя словно безмассовые частицы, описываемые уравнением Дирака. Из этого сразу следует, что целая прорва очень интересных эффектов квантовой электродинамики (т.е. из совсем другого раздела физики) имеет свои аналоги и в графене, которые можно изучать экспериментально. Причем, в отличие от обычных экспериментов в КЭД, тут можно изучать ультрарелятивистские коллективные электронные явления, характерные для двумерных систем. Уникальным тут является и то, что многие квантовые эффекты в графене прекрасно "выживают" и при комнатных температурах. Ну и в добавок -- на эти экзотические свойства можно влиять простым растяжением или деформацией!

Тут правда теория пока обгоняет эксперимент. Из предсказанных свойств экспериментально хорошо изучен только парадокс Клейна (статьи 2009 года: Phys.Rev.Lett. 102, 026807 и Nature Physics 5, 222), и вот совсем недавно было сообщение о наблюдении уровней Ландау в графене. Остальное ждет пока своего экспериментального подтверждения.

В графене искючительно высокая подвижность носителей заряда, возникающая из-за того, что движение электронов даже при комнатных температурах остается баллистическим (не диффузным) на дистанциях в микроны. Поэтому с ним связывают также и надежды на создание нового типа сверхбыстрой электроники. Однако автор обзора подчеркивает, что это всё остается еще в очень далекой перспективе -- наклейки типа "graphenium inside" нам ждать еще долго. Проблема тут не в самом графене (судя по первым экспериментам, терагерцовые графеновые транзисторы не за горами), а в неразвитой методике создания графеновых микросхем с атомарной точностью.

Графеновая химия

Мне понравилась формулировка из статьи:

Графен является чистым воплощением понятия "поверхности". У него есть две поверхности, две грани, но нет толщи.

Как и любая поверхность, графен вполне может удерживать отдельные атомы или даже целые комплексы. Однако из-за того, что у графена не одна, а две поверхности, и поскольку ему не мешает толща, связь с атомами может быть совсем иной, чем на поверхности графита. Можно даже представлять себе графен как одну гигантскую молекулу, и изучать ее химическую активность.

Такая "графеновая химия" только-только зарождается. Сейчас пока получен только графан (см. новость При взаимодействии с водородом графен превращается в графан и короткую заметку от одного из авторов этой работы), но в принципе ничто не мешает садить на поверхность и другие ионы. Главная проблема тут -- дороговизна самого графена, но если технология производства удешевится, то химики плотно возьмутся на него. Какую функциональность приобретут производные графена, можно только догадываться.

Структурные свойства

У большинства материалов вначале изучатся структурные свойства (т.е. механические, тепловые свойства решетки), а уж потом электронные. С графеном получилось всё наоборот. Как раз механические и тепловые свойства изучены пока плохо.

Данные об упругих свойствах и о теплопроводности (рекордно высокой при комнатной температуре) появились только в прошлом году. Графен может упруго растягиваться аж на 20% -- больше, чем какой-либо иной кристалл. Графен сжимается при нагревании. Графен умудряется совмещать высокую хрупкость и изгибаемость (он легко образует складки).

Графен не пропускает газы, даже гелий! Для тех, кто имел дело с вакуумной техникой -- это вообще чуть ли не нонсенс. Ведь газы натекают в вакуум даже сквозь сантиметровые металлические стенки, и это приходится учитывать при расчете вакуумных систем. [Добавление: впрочем, в комментариях объясняют, что в реальных вакуумных камерах газы сквозь металлические стенки из атмосферы не натекают, диффузия пренебрежимо медленная.] Гелий (атомы гелия обладают самым маленьким радиусом) вообще вытекает из герметиченых воздушных шариков, просто просачиваясь сквозь резину. А одноатомный слой графена всё это держит!

Есть и вещи, про которые не известно пока вообще ничего. Например, неизвестно, как графен плавится. Неизвестна ни температура плавления, ни даже тип фазового перехода -- первого или второго рода (в двумерных системах существуют фазы средние между жидкостью и газом).

*****

Общий вывод: графен так же неисчерпаем, как и атом :) И стоит ожидать, что в ближайшие годы будут новые прорывы в этой области.

Про погрешности и про резонанс Меркурия с Юпитером

Среди комментариев к заметке про столкновительные траектории Земли с другими планетами было два вопроса, ответ на которые я решил вынести в отдельный пост.

1.

Вы же тут пишете что какой бы малой ни была бы ошибка на начальный момент, уже через несколько сотен миллионов лет будет совсем хаос. Но ошибки порядка машинного эпсилон не устранимы в принципе ... Т.е. поведение на дольших масштабах времени обусловлено не физикой, а ошибками округлений на начальный момент вычислений. Тогда не ясно какая научная ценность в таких рассчетах, если нет возможности оценить влияние ошибки вычислений: уже за пол миллиарда лет ошибки набегут настолько, что вся дальнейшая траектория станет одним сплошным "артефактом".

Хотя я в комментариях уже пояснял это, но наверно полезно еще раз подчеркнуть.

Вначале терминологическое пояснение. Под словом "траектория" тут понимается не траектория одной планеты, а как бы совокупная траектория всех планет. Если следить только за 8 планетами, то в каждый момент времени состояние Солнечной системы будет описываться 24 числами -- пространственными координатами этих планет, т.е. некоторой точкой в 24-мерном пространстве состояний Солнечной системы. Под "траекторией" понимается траектория этой точки в 24-мерном пространстве.

Теперь ответ на вопрос. Да, из-за экспоненциального разбегания изначально близких траекторий с ляпуновским показателем около 5 млн. лет нет никаких шансов рассчитать истинную эволюцию Солнечной системы на миллиардо-летнем масштабе. Траектория начинает хаотично диффундировать в доступной ей области многомерного пространства, и в какую сторону она удиффундирует -- неизвестно.

Что можно сделать в этой ситуации, так это примерно попытаться очертить эту доступную для хаотического диффундирования область.

Ведь наличие хаоса еще не означает, что планеты смогут двигаться как угодно -- в конце концов, законы сохранения энергии и углового момента никто не отменял. Поэтому доступная для хаотического диффундирования область будет низкоразмерной и скорее всего какой-то хитрой формы. Эту область желательно очертить, выяснить, какие траектории для нее типичны, а какие -- нет. Выяснить, в какую сторону диффундирование идет легче, а в какую -- труднее. Именно с этой целью и запускается сразу тысячи сеансов моделирования, которые вначале отличаются на совершенно мизерную величину -- они как бы "зондируют" доступную для диффундирования область. И эта область -- это уже довольно достоверная, не вероятностая характеристика Солнечной системы, а не артефакт численных расчетов. Её форма уже должна быть нечувствительна к погрешностям округления, и такие вещи действительно проверяют.

В последние годы эту область только-только начали ощупывать, поэтому никакой общей картинки привести пока не могут. Могут лишь "рассказать словами" о том или ином уголке этой области. Заголовок оригинальной статьи в Nature Physics, если его перевести на этот язык, будет звучать примерно так: "Доступная для 5-млрд.-летнего диффундирования область включает в себя так же и далекий уголок со столкновениями".

2.

...показал ссылку знакомому, вот его комментарий. А что тут комментировать, резонанса между Меркурием и Юпитером не может быть по определению, Солнце рядом...

Что ж, пришлось копнуть немножко вглубь.

Речь тут идёт не об орбитальных резонансах между Юпитером и Меркурием, а о резонансе между частотами прецессии перигелия орбит этих двух планет.

Цитирую по статье того же Жака Ласкара, "Chaotic diffusion in the Solar System", Icarus 185, 312–330 (2008); статья свободно доступна как епринт arXiv:0802.3371.

В нынешнюю эпоху перигелий Меркурия прецессирует со скоростью 5,59" за год. Из них 0,43"/год -- вклад ОТО. Перигелий Юпитера прецессирует со скоростью 4,257"/год, вклад ОТО пренебрежимо мал. Т.е. обе орбиты вращаются, совершая оборот примерно за 200 тыс.лет.

Скорости прецессии этих двух планет довольно близки уже сейчас, и поскольку с течением времени параметры всех орбит немного меняются, вполне может наступить ситуация, когда они сравниваются и довольно долго остаются почти одинаковыми. Это будет означать, что в течение длительного времени (очень много периодов вращения) эллипс юпитерианской орбиты будет находиться под почти постоянным углом к эллипсу меркурианской орбиты, и значит слабое влияние Юпитера будет накапливаться, а не усредняться. Так и получается раскачка эксцентриситета Меркурия.

Вот одно конкретное моделирование (т.е. одна конкретная траектория) из этой же статьи:


Здесь показан угол между направлениями перигелия Меркурия и Юпитера (угол показан по модулю 6π, а не 2π, просто для визуального удобства). Моделирование делалось в прошлое. Видно, что в период времени между -1284 и -1286 млн. лет (т.е. в течение двух миллионов лет!) этот угол оставался примерно постоянным. А вот что в это время происходило с эксцентриситетом Меркурия:


Видно, что именно в течение этих двух млн. лет его эксцентриситет раскачался с 0,4 до 0,8.

Кстати, из приведенных выше чисел по скорости прецессии видна роль ОТО. Если не учитывать поправки ОТО, то частоты прецессии становятся еще ближе, т.е. резонанс наступает гораздо охотнее. Это, по-видимому, и объясняет, почему без ОТО примерно половина траекторий вырабатывает очень большой эксцентриситет Меркурия, а с поправками -- всего около 1%.

Братья-соавторы

Вот это я понимаю -- научный семейный подряд! Сегодня в Rev.Mod.Phys. вышла статья с таким коллективом авторов: Ryszard Horodecki, Pawel Horodecki, Michal Horodecki, Karol Horodecki. Такой вот братский обзорчик.

8 мая в пультовой детектора ATLAS

В ленте новостей детектора ATLAS (ATLAS e-News) рассказывается о поучительной истории, которая случилась в пультовой детектора ATLAS 8 мая. Детектор работал в нормальном режиме, софт собирал данные и рутинно их обрабатывал, а потом вдруг софт упал. И целые сутки его не могли поднять. На графике видно, что количество процессов резко росло при каждой попытке перезапустить систему.

Оказалось, причина была вот в чём. Один из процессов обращался к базе данных о состоянии детектора из-под пользователя с админскими правами, который физически уже полгода как покинул ЦЕРН. Срок действия его аккаунта в какой-то момент истек, но никто почему-то этого раньше не отследил. В результате база данных отказалась обслуживать запрос из-под устаревшего аккаунта, но процесс делал запрос за запросом, каждый раз открывая новую сессию. В какой-то момент бахза данных говорила, что слишком много сессий, и переставала отвечать на запросы.

Да уж, как всё там действительно сложно в организационном плане, раз такие вещи случаются.