26 августа 2008 г.

Проблема фермионного знака

В сегоднящнем выпуске архива епринтов появилась статья S.D.H.Hsu, D.Reeb, "Sign problem? No problem -- a conjecture", arXiv:0808.2987, которая имеет шанс стать важной сразу в нескольких областях физики. Она касается так называемой "проблемы фермионного знака", которая возникает при численных расчетах в многофермионных задачах (многоэлектронные молекулы, электроны в твердом теле, КХД при ненулевой температуре и ненулевом химическом потенциале).

Те, кто имеет хоть некоторый опыт численных расчетов, знают, какую мороку доставляет численное суммирование знакопеременных рядов. Попробуйте просуммировать численно в лоб на компьютере такой ряд:

У вас быстро перестанет хватать точности представления чисел. А между тем, вся эта сумма равна exp(-100).

Нечто подобное есть и в физике -- при численных расчетах методом Монте-Карло квантовых многофермионных систем, например, многоэлектронных молекул или кварк-глюонной плазмы с учетом свободно рождающихся и исчезающих легких кварков. Когда начинаешь что-то вычислять для таких систем (в стафизике обычно начинают со статсуммы и "взвешивают с ней" различные операторы), то искомая величина содержит огромное число слагаемых, часть из которых входят со знаком плюс, а часть -- со знаком минус. Эти слагаемые сильно компенсируются, так что остаточная погрешность в численных расчетах быстро растет с числом слагаемых. В результате этого компьютерное время экспоненциально растет с ростом числа частиц (доказано, что это NP-трудная задача), что делает практически невозможными расчеты для мало-мальски больших систем.

В новой статье делается следующий трюк. Вся статсумма Z разбивается на две части, Z+ и Z-, с положительным и отрицательным значением реальной частиц фермионного детерминанта. Затем после некоторых оценочных выкладок авторы формулируют свою основную гипотезу:
В пределе большого числа частиц, Z+ экпоненциально доминирует над Z- почти везде на фазовой диаграмме, кроме особых областей.

Доказать эту гипотезу авторы пока не могут. Более того, они говорят, что бывают такие задачи, где "особые" области могут быть вовсе не особые, а наоборот, регулярные, и тогда их гипотеза там не пригодится. Но если для общих многофермионных задач ее удастся доказать, то это приведет к резкому прогрессу в некоторых областях физики твердого тела и в КХД на решетках.

Кстати, вот блог одного из авторов этой работы.

1 комментарий:

  1. Да, ужасный ряд, особенно если вычислять его полсдеовательно: имея ограниченную разрядность, операция вычитания больших, но близких по значению чисел - самая "опасная" с точки зрения потери точности.

    Я правильно понимаю, что если при Z+ быстро растёт относительно Z-, то разность между числами просто становится больше и ошибка (а она пропорциональна величине (Z+)/((Z+)-(Z-))) будет уменьшаться? Или не в этом идея?

    ОтветитьУдалить