31 октября 2008 г.

Коллаборация CDF открыла нечто выдающееся

Сегодня в архиве е-принтов появилась статья коллаборации CDF, суть которой можно сформулировать так: обнаружено явление, которому экспериментаторы пока не могут найти объяснения.

Подробнее. Среди всех событий отбирались такие события, в которых рождалось несколько мюонов (плюс любые другие частицы). Мюоны могут рождаться в протон-антипротонных столкновениях разными способами. Например, может родиться Z-бозон и распасться на мюон-антимюонную пару. Однако т.к. Z-бозон живет очень мало, он не успевает далеко отлететь и распадает прямо на оси протонных пучков.

Есть впрочем и возможность рождения мюонов в распаде адронов, содержащих b-кварк. Такие адроных живут подольше, они уже могут слегка отлететь от места рождения -- на сотни микрон или даже на миллиметр-два. Тогда детектору будет казаться, что мюон родился не на самой оси, а чуть в стороне.

Детекторы элементарных частиц могут с высокой точностью восстанавливать траекторию рожденных частиц. И в частности, они могу проследить эту траекторию назад и узнать, как далеко она отстоит от оси столкновений (т.е. определить прицельный параметр).

Так вот, среди всей статистики многомюонных событий нашлось много (несколько тысяч) событий, в которых мюоны рождались на расстоянии в 1-2 сантиметра от оси столкновения. Т.е. даже снаружи вакуумной трубы. Причем распределение по прицельным параметрам мюонных траекторий было примерно экспоненциально спадающим -- словно действительно рождалась какая-то частица, отлетала и распадалась. Но никакие известные частицы такого далекого распределения дать не могут.

Дальше -- больше. Обнаружилось, что эти "аномальные" мюоны часто рождаются не поодиночке, а по нескольку. Т.е. получается нечто типа мюонной струи. Для Стандартной модели это вообще что-то странное.

Ну и наконец, последний штрих. Три недели тому назад в архие появилась статья, в которой была предложена новая модель темной материи (arXiv:0810.0714). И этой статье -- какое интересное совпадение -- были предсказаны такие лептонные струи.

Я постараюсь в ближайшие дни написать подробную новость на "Элементах", а пока дам ссылки на обсуждения в англоязычных блогах Discovery of a New Particle? и CDF publishes multi-muons!!!!


Подробности: Детектор CDF обнаружил явление, не поддающееся объяснению в рамках Стандартной модели.

27 октября 2008 г.

LHC может поработать и зимой (правда, не в этом году)

Интересная информация проскочила в стенограмме недавнего заседания Комиссии по работе LHC (LHC Performance Committee). Оказывается, новый генеральный директор ЦЕРНа Рольф-Дитер Хойер, который вступает в должность с 1 января 2009 года, выступил с предложением не останавливать работу коллайдера ежегодно на зиму, а работать иногда и сквозь зиму.

Да, конечно, электроэнергия будет зимой гораздо дороже, но тут, насколько я понимаю, дело вот в чём. До сих пор работа ускорителей в ЦЕРНе ежегодно прерывалась на зиму, примерно на три месяца для обслуживания и тщательной перепроверки работы всех систем ускорителей. Этот период удобно делать зимой ради экономии электричества. Однако новый коллайдер, LHC, настолько сложен, что его придется проверять как минимум в течение 4-5 месяцев. Поэтому если по-прежнему прерывать работу коллайдера на зиму каждый год, остается слишком мало времени для самих экспериментов. А это заметно уменьшает научную отдачу коллайдера как в расчете на время эксплуатации, так и в пересчете на вложенные деньги.

Сейчас же предлагается перейти на полуторагодичный цикл работы: 12 месяцев работы и 6 месяцев проверок и тестов. Это предложение будет обсуждаться в феврале на конференции Chamonix-2009. Следите за новостями коллайдера.

25 октября 2008 г.

Мир как он есть

Наткнулся на интересную подборку карт: Atlas of the Real World. В этом атласе карта мира искажена так, чтобы площади стран были пропорциональны не настоящей площади, а какой-то другой величине.

Вот например показан доход от туризма:



А это -- использование мопедов:


А это -- совокупная стоимость всей недвижимости:


Интересно, цены какого года тут имелись в виду :)

24 октября 2008 г.

По поводу олимпиадных задачек

После того, как я позадавал несколько задачек и почитал вопросы и ответы, я подумал, что будет полезно отдельно подчеркнуть одну вещь.

В формулировке задач используется свой специфический для школьной физики сленг. А именно, слова типа "много", "слабый" и т.д. на самом деле указывают на то, чем надо пренебрегать. Ну или более строго, какой предел надо рассматривать.

Например, если сказано "большое число шариков", то это значит, что требуется обращать внимание только на те явления, которые не исчезают при стремлении количества шариков к бесконечности (например, надо пренебрегать дрожанием чашки весов в задаче 5). Если сказано "тонкий диск", как в задаче 4, то это значит, что толщина ненулевая, но очень маленькая по сравнению с радиусом. Так что величинами, подавленными отношением d/R, можно пренебречь. Если сказано "полубесконечная цепочка зарядов", то имеется в виду очень длинная цепочка в пределе N, стремящемся к бесконечности.

Конечно, это не совсем строгий подход. Для настоящей строгости надо сначала доказать, что пределы существуют. И это кстати вовсе не так тривиально; существуют физические системы, где кое-какие пределы не существуют. Например, строго говоря, не существует термодинамики самогравитирующего газа; а недавно я писал про систему, в которой не существует адиабатического предела.

Но в школьных задачах по умолчанию считается, что преподаватель уже сам проверил, что предел существует и дал самосогласованное условие задачи. Этим можно пользоваться при решении.

23 октября 2008 г.

Задачка 6

Вот следующая задачка, тоже по механике.



На горизонтальной плоскости под действием силы тяжести упруго прыгает материальная точка, причем подпрыгивает она на высоту h0. У этой точки есть также маленькая горизонтальная компонента скорости, так что точка не просто подпрыгивает, а постепенно сдвигается вдоль плоскости.

При своем движении эта точка достигает некоторого длинного участка, на котором поверхность уже не строго горизонтальна, а вначале очень плавно(*) уходит вниз, а затем снова выравнивается. Конкретная форма склона неизвестна; известно только, что перепад высот между начальной и конечной горизонтальными плоскостями составляет Δh и что угол наклона горки к горизонту всегда остается очень маленьким.

Вопрос: на какую высоту h будет подпрыгивать точка после прохождения этого участка?

На всякий случай поясню, что само Δh вовсе не маленькое и может быть порядка h0.

---------------
(*) "Очень плавно" означает, что угол наклона поверхности меняется очень медленно, т.е. на склоне нет никаких резких изломов, а тем более ступенек.

Обыкновенный скотч как источник рентгеновского излучения

Удивительное (и красивое!) -- рядом.

Сегодня в Nature опубликована статья, в которой рассказывается о простом эксперименте с забавными результатами. Оказывается при медленном разматывании скотча, которое происходит не равномерно, а рывками, наблюдаются короткие вспышки света. А также вспышки рентгеновского излучения с энергией в десятки кэВ!

В принципе, все эти явления понять нетрудно. Есть такое явление, триболюминесценция, когда из-за трения в момент проскальзывания или из-за других механических воздействий (раскалывания, например), проскакивают искорки света. Так получается из-за того, что две стороны бывшего контакта оказываются заряженными, и между ними проходит разряд. Оказывается, что свечение простирается и в области ультрафиолета и даже рентгена. В статье пишут, что это явление (скотч как источник рентгеновских вспышек) было открыто давно, еще в 1953 году. Механизм этого явления, впрочем, еще не совсем понят. Свежая статья в Nature посвящена не только подробному изучению явления, но и попыткам подогнать экспериментальную базу под одно из объяснений.

Теперь -- картинки.


Вверху: красноватое оптическое свечение исходит из места открыва скотча от рулона; голубоватое свечение -- от сцинтиллятора, в котором высвечиваются рентгеновские фотоны, исходящие из того же места отрыва. В центре: то же, но при низком давлении (примерно 10-6 атм). Свечение от сцинтиллятора настолько яркое, что оно четко освещает всю фотографию (никакого дополнительного источника света нет!). Внизу: схема установки.

------------------




Спектр оптического свечения при атмосферном давлении (серым цветом) и при давлении 10-6 атм (черным цветом).

------------------




Спектр рентгеновского излучения. На вставке: распределение энергии рентгеновских вспышек в моменты отрыва ленты.

------------------



И наконец, самое поразительное. Яркость рентгеновских вспышек так велика, что скотч можно использовать как источник для рентгеновской фотографии. На фото внизу наложен рентгеновский снимок пальца, полученного таким способом. Подробности в Supplementary information.


Технология рентгеновского фотографии с помощью скотча, разумеется, уже запатентована авторами :)

21 октября 2008 г.

Инаугурация LHC

Смотрю сейчас через вебкаст инаугурацию LHC. Включил как раз, когда начиналась торжественная часть. Забавное ощущение. Премьер- и просто министры, есть даже какой-то экцелленц, охрана, тонированные машины, оркестр, округлые речи хорошо поставленными голосами и т.д. -- как-то это всё искусственно выглядит в ЦЕРНе. Какой-то чуждый параллельный мир вторгся в ЦЕРН, хорошо что всего на один день :).

О, Роберт Эмар, директор ЦЕРНа, рассказывает сейчас тем же хорошо поставленным голосом об аварии на LHC. Он заверил слушателей, что причины аварии поняты, и что персонал приложит все усилия, чтобы подобные инциденты не повторялись.

Кстати, как оказывается сложно надо начинать речь перед такой публикой -- надо вначале перечислить звания особенно высоких гостей. :)

Невольная реклама: на столе у всяких (премьер)-министров стоит минеральная вода "Сан-пелегрино" -- моя самая любимая минералка :)


После торжественной церемонии подавали вкуснятину. На картинке внизу -- мороженное, изготовленное с помощью жидкого азота. Хорошо, хоть не гелия :)

Простое введение в физику элементарных частиц

Сегодня в архиве епринтов появился 139-страничный текст с заманчивым заголовком "Простое введение в физику элементарных частиц" (A Simple Introduction to Particle Physics). Это своего рода "компаньон" для тех, кто начинает изучать квантовую теорию поля и физику элементарных частиц. Он не призван заменить собой стандартный курс квантовой теории поля, однако в нем подробно разъясняются некоторые общие физические идеи и математические методы, которые в учебниках часто опускают. Текст может быть особенно полезен студентам-физикам, которые стремятся приступить к изучению квантовой теории поля как можно быстрее, сразу после квантовой механики. Авторы пишут, что этот текст -- лишь первая из серии таких статей.

Update: пролистал сегодня текст и беру свои рекомендации обратно. Ничего такого, чего не было бы в стандартных учебниках, в нем нет. Ну может только теория групп вводится очень постепенно с кучей примеров. А по теории поля всё более поверхностно и сжато, чем например Srednicki, Quantum Field Theory (вот эту книгу очень рекомнендую!).

20 октября 2008 г.

Задачка 5

Поскольку народ реагирует более активно на задачки по механике, чем по электромагнетизму, предлагаю такую вот следующую задачу.

На двух чашках весов находится большое, но одинаковое количество идентичных шариков. Только на одной чашке они просто лежат, а на другой -- они беспорядочно подпрыгивают, абсолютно упруго ударяясь о дно чашки. Какая чашка весов перевесит?

Второй вопрос: как изменится ответ, если удары шариков о дно частично неупругие (т.е. при каждом ударе теряется какая-то небольшая, но фиксированная доля энергии)?

Update: открыл пришедшие ответы. Есть ли у читателей комментарии по поводу них? :)

19 октября 2008 г.

Столкновение ультрарелятивистских черных дыр лоб в лоб

Коллапс массивной звезды в чёрную дыру -- один из самых бурных катастрофических процессов во вселенной. А можно ли придумать что-нибудь еще более энергетичное? Да -- это столкновение лоб в лоб двух ультрарелятивистских чёрных дыр.

Оказывается, этот процесс, с одной стороны, очень интересен для теоретиков, но с другой стороны, очень сложен для расчетов.

Интерес, во-первых, в том, что не совсем понятно, что именно образуется в таком столкновении и сколько при этом излучится гравитационных волн (были даже предположения, что так сможет образоваться голая сингулярность). Во-вторых, в режиме, когда кинетическая энергия много больше энергии покоя, для гравитационных взаимодействий уже не сильно важно, что сталкивается -- чёрные дыры или другие компактные объекты. А это уже будет полезным для выяснения того, как сталкиваются частицы с энергией выше планковского масштаба. Наконец, столкновения черных дыр можно связать через "AdS/QCD-соответствие" со столкновениями тяжелых ядер и свойствами кварк-глюонной плазмы.

Сложность же заключается в том, что точное аналитическое решение тут найти нереально, а численные методы для таких задач только недавно стали давать нормальную точность при достаточно длительной эволюции во времени. На днях в PRL была опубликована статья (она же arXiv:0806.1738), где с помощью численных расчетов впервые проанализирована эта задача вплоть до γ=3. В частности, было найдено, что примерно 14% начальной энергии превращается в гравволны. Задачи на будущее -- выяснить, что происходит при нецентральном столкновении или при столкновении вращающихся черных дыр.

В качестве иллюстрации -- мультик слияния черных дыр. Правда это не столкновение лоб в лоб, а просто стандартное слияние двух вращающихся друг вокруг друга ЧД. Попса, конечно :) но ничего более серьезного не нашел.



16 октября 2008 г.

Задачка 4

Вот следующая олимпиадная задачка -- на перенормировку массы :)


В однородном магнитном поле индукции B под действием силы тяжести падает "монетка" -- тонкий проводящий диск площади S, толщины d и массы m. Монетка незаряженная и немагнитная. Она падает ребром вниз, а магнитное поле расположено горизонтально и параллельно плоскости монетки. Сопротивление воздуха отсутствует.

С каким ускорением падает монетка?

Update. Итак, правильный ответ: a = g/(1+Δm/m), где Δm = B2Sd/4πc2 (в системе единиц СГС). Эту поправку (она равна удвоенной энергии магнитного поля внутри объема монетки, деленной на c2) можно интерпретировать как своего рода "добавку к массе", которая возникает из-за того, что монетка падает сквозь магнитное поле. Эта добавка сохранилась бы даже при нулевой массе самой монетки. По-моему, это неплохая (хоть и отдаленная) аналогия хиггсовского механизма.

Подробный ход решения привел в комментариях Rostik. Я только добавлю, что все решения были представлены через энергию, но полезно так же проследить, откуда берется дополнительная сила вверх. Как уже правильно сказали, в процессе падения монетка становится конденсатором, на обкладках которого возникает разность потенциалов, а значит и заряд. Этот заряд пропорционален скорости падения. Значит, если падение равноускоренное, то этот заряд будет равномерно расти, т.е. внутри монетки от одной плоскости к другой потечет ток, пропорциональный ускорению монетки. Этот ток взаимодействует с магнитным полем, и возникает сила вверх.

Для интереса можно порешать такую же задачку, но в которой магнитное поле направлено не строго горизонтально, а под некоторым углом к горизонту. Одними энергетическими соображениями ее уже, похоже, не решить.

15 октября 2008 г.

Пара свежих статей по нейрофизиологии


В Nature (точнее, advanced online publications) появились сегодня две занятные статьи по нейрофизиологии -- про управление "парализованными" конечностями через сигналы, снимаемые непосредственно с головного мозга, и про то, как у нейронов вырабатывается "чувство времени".

Первая статья: C.T. Moritz, S.I. Perlmutter, E.E. Fetz, Direct control of paralysed muscles by cortical neurons.

В ней рассказывается о таком эксперименте. Макаке с помощью локальной анастезии блокировали нервы, управляющие рукой. В голову ей вживили электроды, которые регистрировали активность моторной области коры головного мозга и превращали их в электрические импульсы, стимулирующие мышцы руки и заставляющие ее крутиться. В результате этого макака научалась управлять собственной "парализованной" рукой непосредственно сигналами из головного мозга. Причем она могла при необходимости усиливать активность импульсов, увеличивая вращающий момент руки, причем в обе стороны, или наоборот, ослаблять, держа руку неподвижной.

Меня тут очень впечатляет то, как мозг, получив в распоряжение новую, не встречающуюся в природе способность к управлению, сам обучается правильным скоординированным и достаточно сложным действиям.

В принципе, подобные эксперименты по передаче импульсов головного мозга через электрические цепи проводились и раньше, но до сих пор всё ограничивалось только перемещением курсора или роботизированной руки. См. например подробную заметку Обезьян научили управлять искусственной рукой при помощи мозговых импульсов. Сейчас же впервые обезьяна смогла вращать собственной "парализованной" рукой.

Огромные перспективы для возвращения к нормальной жизни парализованных больных (особенно с травмами позвоночника) очевидны.

Вторая статья: Germán Sumbre et al, Entrained rhythmic activities of neuronal ensembles as perceptual memory of time interval.

В ней рассказывается, как у личинки рыбки данио после тренировки периодическими визуальными стимулами стала спонтанно возникать нейронная активность через регулярные промежутки времени (порядка десятков секунд). У личинки развилась кратковременная память длительности промежутков времени, т.е. можно сказать, у нее появилось "ощущение времени".

Важно здесь то, что промежуток времени достаточно длительный. Периодичность в микросекунды-миллисекунды нейронные сети запоминают хорошо, потому что это вполне характерное для них время активации и успокоения. А вот как происходит запоминание периода 20 секунд, до сих пор понятно плохо. И вот сейчас обнаружены по крайней мере некоторые отделы мозга, которые могут служить "метрономом" в этом диапазоне периодов.

14 октября 2008 г.

Критическая опалесцения фондовых рынков

Западные рынки в понедельник прыгнули вверх. Dow и NASDAQ поднялись на 11%, и говорят, что это самый большой однодневный прирост аж с 1933 года. Все радуются и рукоплещут!

Вот чем (еще) полезна теоретическая физика в практическом плане, так это тем, что в таких колебаниях видишь поведение динамической системы вблизи критической точки. И понимаешь, что радоваться тут нечему: система ведет себя так вовсе не потому, что ею движет какой-то мощный позитивный стимул, а потому, что она стала настолько "расхлябанной", что ее саму по себе носит из стороны в сторону даже при небольших внешних воздействиях. А расхлябанной она стала не потому, что в ней внутри "что-то развалилось", а потому, что она впала в околокритическое состояние.

В конденсированных средах критическое состояние -- это когда мелкие колебания могут перерасти в дальнодействующие, вовлекающими весь объем вещества. Можно сказать, что вещество перестает быть "локальным" -- отдельные его части могут влиять друг на друга даже на очень большом расстоянии.

При приближении к таким точкам собственные колебания среды становятся всё более медленными, а их амплитуда усиливается. Свободная энергия становится очень плоской функцией термодинамических переменных, и потому эти переменные могут сильно отклоняться от положения равновесия. Если взять воду и нагревать ее под давлением, то вблизи критической точки (T=374°C, P=218 атм) сжимаемость ее стремится к нулю, и флуктуации плотности становятся такими большими, что делают воду непрозрачной -- это и есть критическая опалесценция. Сильные колебания плотности (как в большу, так и в меньшую сторону) -- это сигнал того, что среда близка к критическому состоянию.

Критические явления существуют и в больших дискретных сетях. Особенно, если сеть имеет сложную топологию, петли обратной связи и к тому же обладает "памятью" (т.е. закон изменения величины в данном узле зависит не только от соседей в данных момент времени, но и в прошлом), как это имеет место для фондовых рынков. В результате динамика такой сети отражает не только внешние воздействия, но и внутренние, собственные колебания, характер которых без специального исследования и не поймешь.

Я не знаю, существуют ли надежные исследования фазовой диаграммы фондовых рынков, но почти наверняка на них должны быть критические точки. И воздействуя на рынки (например, законодательно, т.е. меняя параметры системы), этих точек следует избегать. Повторюсь: как именно рынки будут себя вести вблизи таких точек, сказать трудно, но точно ясно, что никакой стабильности тут ждать не приходится. Это в своем роде критическая опалесценция фондовых рынков, и сильные скачки вверх так же хорошо подчеркивают "расхлябанность" системы, как и скачки вниз.

Имеются кое-какие попытки предсказать в рамках эконофизики, чем закончится прохождение вблизи критической точки (например, есть попытки обнаружить лог-периодические колебания биржевых индексов и связать их с обвалами). Но конечно серьезно предсказывать будущее биржевые показатели, опираясь только на их динамику, нельзя. В реальном мире кроме внутренних колебаний рынка как динамической системы имеются и внешние воздействия: политика, войны, серьезные климатические изменения, и т.д. Однако пренебрегать характерной для околокритического состояния динамикой (полагая, например, что ход рынков послушно отражает внешние воздействия) тоже нельзя.

6 октября 2008 г.

Задачка 3

Следующая задачка на электростатику.



Имеется полубесконечная цепочка из одинаковых точечных зарядов, связанных нерастяжимыми (и незаряженными) нитями одинаковой длины. Известно, что сила натяжения первой нити T1, а второй -- T2. Найти силу натяжения третьей нити.


На всякий случай замечу, что эта задача переопределена (в ней дано больше, чем надо). На самом деле, зная лишь T1, можно найти все остальные силы натяжения. Но поскольку от школьников нельзя требовать знание дзета-функции Римана, то задачу приходится переопределять. Такая постановка задачи тоже имеет право на существование и она уже по силам школьнику.

3 октября 2008 г.

Задачка 2

Чтобы не скучали те, кто решил предыдущую задачку, предлагаю задачу номер 2.



На полубесконечной наклонной плоскости с трением на одинаковом расстоянии друг от друга расставлены одинаковые кирпичи. Угол наклона плоскости подобран так, что каждый кирпич покоится, но от малейшего сдвига он начинает съезжать вниз с ускорением a. Вначале все кирпичи покоятся. Затем чуть-чуть сдвинули верхний кирпич, он поехал, столкнулся со вторым, затем они поехали, столкнулись с третьим и т.д. Все столкновения между кирпичами абсолютно НЕупругие.

Требуется найти установившееся(*) ускорение движущегося "поезда из кирпичей" спустя большое время.

-----------
(*) имеется в виду не мгновенное ускорение, а усредненное по нескольким столкновениям.


Update: маленькое замечание -- ответ НЕ равен a. В рассуждении "раз суммарная масса движущихся кирпичей становится очень большой, то они просто не замечают столкновений, а значит установившееся ускорение равно a" имеется изъян. :)

Update 2: товарищи отвечающие! Ваши комментарии приходят, но до поры до времени скрываются, чтобы не портить кайф тем, кто с одной стороны хочет порешать сам, но с другой стороны не может удержаться от соблазна подглядеть ответ :) Поскольку правильные ответы уже были, то я сегодня-завтра открою комментарии.

Update 3: комментарии открыл. Итак, правильный ответ -- a/3.

Решение.

Сразу введем для удобства массу одного кирпича m и расстояние между кирпичами d
(из окончательных формул эти величины исчезнут). Искомое установившееся ускорение обозначим буквой A.

Сначала предствим процесс физически. На движущиеся кирпичи суммарной массы M действует скатывающая сила, равная F=Ma (это проекция силы тяжести минус сила трения). Однако работа этой силы тратится не только на дальнейшее ускорение уже движущихся кирпичей, но и на придание скорости ранее покоившимся, но налепившимся спереди кирпичам. Поэтому следует ожидать, что получающееся ускорение кирпичей будет меньше, чем a.

Можно сказать и иначе: покоящиеся кирпичи, на которые натыкается "поезд", оказывают на него в среднем некоторую силу сопротивления. Она частично компенсирует скатывающую силу и уменьшает ускорение.

Теперь будем решать задачу в предположении, что при движении действительно устанавливается некоторое ускорение A. Тогда спустя достаточно большое время T скорость движущихся кирпичей будет равна




количество набранных кирпичей будет




масса поезда из кирпичей




и его импульс




Теперь запишем закон Ньютона:




Но скатывающая сила равна F = M a, откуда получаем, что искомое ускорение A = a/3.

Конечно, если быть совсем педантом, то вместо знаков равенства надо везде ставить "стремится при T, стремящемся к бесконечности". Но фраза в формулировке "спустя большое время" -- это такой физический жаргон, который и подразумевает, что нас интересует какая-то величина в пределе T, стремящемся к бесконечности.

А вот чуть иной ход вычисления:




Здесь ясно видно, что две трети работы скатывающей силы тратится на придание скорости покоившимся ранее грузам, и лишь одна треть -- на приращение скорости.

Кроме того, задачу можно решить и из энергетических соображений.

В принципе, на этом можно и остановиться (по крайней мере, для школьников), но всё же хорошо бы доказать, что установившееся ускорение действительно существует.

Для этого подумаем, какие независимые переменные есть в нашей задаче. Это M(t) и v(t). Если переписать приведенный выше ответ в такой форме




то становится понятно, что установившееся ускорение отвечает ситуации, когда M(t) и v2(t) растут пропорционально друг другу и причем в строгой пропорции. Если эта пропорция в какой-то момент времени нарушается, то и ускорение кирпичей A в согласии с этой формулой отличается от a/3. Наша задача -- показать, что A при этом не будет оставаться постоянным, а будет стремиться к a/3.

Имеем:




Дифференцируем по времени:




Подставляя выражение дле dM/dt, получаем




Из этой формулы и видно, что если A превышает a/3, то появляется тенденция уменьшить A (т.е. производная отрицательна), а если A не дотягивает до a/3, то тенденция наоборот, увеличить A.

В принципе, дифференцирования можно избежать, решая эту задачу "пошагово" -- просчитать скорости после первого столкновения, после второго столкновения и т.д., а потом найти предел. Но описанный выше подход более "сильный", он годится например и для случая, когда кирпичи расставлены не строго, а лишь примерно (в среднем) на одинаковом расстоянии.

На закуску предлагаю аналогичную задачу, но в трехмерном случае. Правда в отличие от задачи с кирпичами она не совсем физична.

Пусть в воздухе висит туман -- равномерно распределенные в пространстве одинаковые мельчайшие капельки воды. Сквозь туман под действием силы тяжести падает крупная капля. Весь туман, который попадается ей на пути, она абсолютно неупруго захватывает на себя и таким образом растет. Найти установившееся ускорение капли. Каплю считать строго сферической, сопротивлением воздуха при движении капли пренебречь.

Задачка 1

Писать что-то серьезное о новостях науки сейчас времени нет, поэтому давайте я позадаю олимпиадные задачки по физике. :)

Начнем с такой задачи.


Две ровные стенки соединяются под углом α. Из бесконечности параллельно одной из стенок на расстоянии h от нее налетает точечная частица. Она влетает в угол, испытывает серию абсолютно упругих столкновений со стенками и вылетает из угла. На какое минимальное расстояние к вершине угла (точке, где стенки сходятся) приближается эта частица во время своего движения?

Силы тяжести нет.

Комментарии премодерируются. Поэтому правильные решения я публиковать не буду, а вопросы или неправильные решения -- буду. А через несколько дней дам ответ и скажу, кто правильно решил.

Update: поскольку решений много, в том числе и правильных, сегодня вечером (или когда найду в Польше интернет :) ) выложу комментарии.


Update 2: итак, правильный ответ -- h, вне зависимости от угла.

На всякий случай подчеркну, что требовалось найти именно минимальное расстояние от частицы до вершины угла по всей траектории, а не расстояние до ближайшего удара об стенку и не проекцию на стенку.

В принципе, эту задачу можно решить в лоб, вычисляя углы и расстояния при каждом отражении. В комментариях кто-то так и делал и получил при этом правильный ответ. Но ответ, не зависящий от угла, наводит на мысль, что должно быть и более короткое и "хитрое" решение.

Таких решений два, и именно благодаря им это всё же задача по физике, а не по математике. :)

Первое решение -- воспользоваться методом отражения, т.е. вместо того, чтобы отражать частицу, можно словно в зеркале многократно отразить угол, и тогда частица просто летит по прямой (см. объяснение от Rostik).

Второе "физическое" решение: заметим, что при каждом отражении сохраняется как модуль скорости, так и модуль момента импульса частицы относительно вершины угла. Всё -- отсюда следует, что в момент ближайшего пролета, когда вектор скорости частицы будет перпендикулярен вектору из угла на частицу, прицельный параметр будет тоже h. В принципе, именно это (правда другими словами) подметил Uri.

Остается загадкой, что де ответил Alexandr :)