6 октября 2008 г.

Задачка 3

Следующая задачка на электростатику.



Имеется полубесконечная цепочка из одинаковых точечных зарядов, связанных нерастяжимыми (и незаряженными) нитями одинаковой длины. Известно, что сила натяжения первой нити T1, а второй -- T2. Найти силу натяжения третьей нити.


На всякий случай замечу, что эта задача переопределена (в ней дано больше, чем надо). На самом деле, зная лишь T1, можно найти все остальные силы натяжения. Но поскольку от школьников нельзя требовать знание дзета-функции Римана, то задачу приходится переопределять. Такая постановка задачи тоже имеет право на существование и она уже по силам школьнику.

8 комментариев:

  1. Совсем просто. Разность сил наятжения нити слева и справа от каждого заряда должна компенсировать электростатическую силу, действующую на него со стороны остальных зарядов.С правой стороны на все заряды действует одинаковая сила F0 от безконечного хвоста. Слева действует сумма сил от всех зарядов слева. Удобно записать ее как F1/n^2, где n - разница номеров в цепочке. Тогда получим три простых уравнения:
    T1=F0
    T2-T1=F0-F1
    T3-T2=F0-5/4*F1
    Решая любым удобным способом мы получим:
    T3=9/4*T2 -5/2*T1

    ОтветитьУдалить
  2. Вроде особых хитростей нету, тупо считаем равнодействующую электростатическую силу, действующую на каждый заряд. Влево она одна и та же для каждого заряда (сила, действующая от бесконечной цепочки, т.е. сумма 1/n^2=\zeta(2), умноженная на q^2/l^2), причём она, очевидно, равна натяжению первой струны. Вправо -- для первого заряда нуль, для второго q^2/l^2, для третьего (1+1/4)q^2/l^2. Отсюда q^2/l^2=F_1-F_2=T_1-(T_2-T_1)=2T_1-T_2. Поэтому T_3=F_3+T_2=(T_1-(5/4)q^2/l^2+F_2)+T_2 = T_2\cdot 9/4-T_1\cdot 3/2. Если с дзета-функцией, то можно выразить T_2 через T_1 (увы, пришлось посмотреть в справочник, чему равна дзета двойки - неспортивно) и получается T_3= T_1\cdot(3-27/(2\pi^2)).

    ОтветитьУдалить
  3. Если только я не забыл еще, что такое сила натяжения нити... :) Ну то есть, на первый заряд действует сила отталкивания от прочих зарядов Ф1, и ее уравновешивает сила натяжения первой нити Т1, и т.д. Получаем 2-3 линейных уравнения, из которых легко находим:

    Т3=-3*Т1/2+9*Т2/4

    ?

    На самом деле, достаточно только Т1, и нет необходимости знать про функцию Римана. Достаточно сказать детям, что сумма обратных квадратов равна Пи**2/6 :)
    Если обозначить силу отталкивания между двумя соседними зарядами через х, то:
    натяжение первой нити будет х*Пи**2/6 = 1.645х;
    натяжение второй нити - (Пи**2/3-1)*х = 2.290х;
    И для третьей нити: (Пи**2/2-9/4)*х=2.685х.

    По сравнению с предыдущей задачей, эта - фигня. :)

    ОтветитьУдалить
  4. Ответ: T3 = (9/4)T2 - (3/2)T1

    Решение: Так как цепочка зарядов полубесконечна (вправо), то сила, с которой действуют на отдельный заряд все заряды, находящиеся справа от нее, не зависит от номера заряда и постоянна. Обозначим эту силу F0.
    На крайний заряд цепочки действуют только эта сила и сила натяжения нити. Из условия равновесия получаем T1 = F0.
    На второй заряд действует сила отталкивания F0 справа, натяжение T2 вправо, натяжение T1 влево и отталкивание от левого заряда с силой q^2/L^2 вправо. Из равновесия:
    T2 + q^2/L^2 = T1 + F0, и так как F0=T1,
    T2 + q^2/L^2 = 2*T1
    Т.е. q^2/L^2 = 2*T1 - T2

    Аналогично из равновесия частицы "3":
    T3 + q^2/L^2 + q^2/(2L)^2 = T2 + F0 = T2 + T1,
    Подставляя выражение для q^2/L^2, находим
    T3 = (9/4)T2 - (3/2)T1

    ---------------------------

    Если задана только сила натяжения T1.
    T1 = F0 = q^2/L^2 + q^2/(2L)^2 + q^2/(3L)^2 + ... +q^2/(nL)^2 +... = q^2/L^2 *(1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 + ...) = q^2/L^2*zeta(2),
    где zeta(2)=pi^2/6 - дзета-функция Римана.
    То есть q^2/L^2 = T1/zeta(2)
    T2=2*T1 - q^2/L^2 = T1*(2-1/zeta(2)) = 2(1-3/pi^2)*T1 =1,39*T1
    T3 = 9/4*T2 - 3/2*T1 = T1*3*[1-3/(4*zeta(2))] = T1*3(1-9/(2*pi^2)) = 1,63*T1

    ОтветитьУдалить
  5. Алексей Аникеенко7/10/08 08:42

    Сила, действующая на заряд со стороны расположенного справа полубесконечного ряда равна Т1.
    Распишем силы на второй заряд:
    T2 = 2*T1 - q^2/a^2
    Силы на третий заряд:
    T3 = T1 + T2 - q^2/a^2 - q^2/(2*a)^2

    Откуда:
    T3 = 9*T2/4 - 3*T1/2

    ОтветитьУдалить
  6. Возможно я ошибаюсь, но задача показалась слишком простой.
    1) T1=Sum[(q^2/a^2)*(1/k^2), {k,1,+inf}]
    Тут можно тупо посмотреть какая функция в преобразовании фурье дает суму обратных квадратов. А можно пойти дальше:
    2) T2=T1+Sum[(q^2/a^2)*(1/k^2), {k,2,+inf}]=2T1-q^2/a^2
    3) T3=T2+Sum[(q^2/a^2)*(1/k^2), {k,3,+inf}]=T2+T1-q^2/a^2 * (1+1/4)

    4) Находим из 2 отношение q^2/a^2 и подставляем в 3.

    Ответ: 3/4 *(3*T2 - 2*T1)

    ОтветитьУдалить
  7. Ну всё, запинали ногами :) Она действительно довольно простая, на применение третьего закона Ньютона и закон Кулона. Ну на олимпиадах надо давать и простые задачи тоже :)

    ОтветитьУдалить
  8. Жаль, комментарии открыты. Я только хотел расписать что сила, действующая со стороны "бесконечного хвоста" одна и та же, а сила на третий заряд действует со стороны второго и первого...

    ОтветитьУдалить