23 октября 2008 г.

Задачка 6

Вот следующая задачка, тоже по механике.



На горизонтальной плоскости под действием силы тяжести упруго прыгает материальная точка, причем подпрыгивает она на высоту h0. У этой точки есть также маленькая горизонтальная компонента скорости, так что точка не просто подпрыгивает, а постепенно сдвигается вдоль плоскости.

При своем движении эта точка достигает некоторого длинного участка, на котором поверхность уже не строго горизонтальна, а вначале очень плавно(*) уходит вниз, а затем снова выравнивается. Конкретная форма склона неизвестна; известно только, что перепад высот между начальной и конечной горизонтальными плоскостями составляет Δh и что угол наклона горки к горизонту всегда остается очень маленьким.

Вопрос: на какую высоту h будет подпрыгивать точка после прохождения этого участка?

На всякий случай поясню, что само Δh вовсе не маленькое и может быть порядка h0.

---------------
(*) "Очень плавно" означает, что угол наклона поверхности меняется очень медленно, т.е. на склоне нет никаких резких изломов, а тем более ступенек.

29 комментариев:

  1. Задача чрезвычайно легко решается если наклонный участок - считать прямой (иначе можно свести к прямому хитро сменив координаты на несовсем прямоугольные), и сменить (повернуть или изогнуть) систему координат так чтобы ось X была вдоль поверхности, а не строго горизонтально.

    Далее разлагаем ускорение g по осям. В итоге точка отражается от поверхности на одинаковую высоту, т.к. сила вдоль оси Y (в новых координатах) равна m*g*cos(alpha)=mg=const, учитывая малый угол. И точка попутно совершает разгон в положительном направлении оси X с ускорением g*sin(alpha), но это нас не сильно волнует. И эти 2 движения совершенно независимы. Т.е. будет продолжать прыгать с амплитудой h0 как и раньше, сдвигаясь вниз.

    ОтветитьУдалить
  2. В предыдущем моём решении может быть ответ и верный, но есть ошибка - в условии задачи нигде не сказано что угол наклона alpga малый по всему негоризонтальному участку. Т.е. на самом деле амплитуда прыганья таки будет меняться. Впрочем, меняться будет весьма плавно и в среднем скорее всего останется той же.... только вот это скорее интуитивное предположение, а не строгое решение.

    ОтветитьУдалить
  3. Почему же, там сказано, что угол альфа между наклоном и горизонтом всегда мал, по всему наклонному участку.

    Я пока оставлю Ваше решение без комментария, посомтрим, что другие напишут.

    ОтветитьУдалить
  4. Каммент 2 отменяется, ошибки нет, т.к. про малость угла наклона как раз сказано. :)

    ОтветитьУдалить
  5. При каждом последующем столкновении с наклонной поверхностью кинетическая энергия материальной точки будет больше чем в предыдущем столкновении, увеличение кинетической энергии происходит благодаря увеличению высоты падения, которая увеличивается потому что поверхность наклонная. Увеличение кинетической энергии равно увеличению потенциальной, которая увеличивается прямо пропорционально высоте подпрыгивания. Получается ответ: h=h0+Δh

    ОтветитьУдалить
  6. По-моему, тут всё довольно тривиально: раз угол наклона маленький, то можно считать, что точка ударяется в горизонтальные участки, и отражения не меняет её горизонтальную скорость.

    А раз отражения остаются абсолютно упругими, а потенциальная энергия как бы вырастет, то точка будет прыгать на h0+Δh.

    ОтветитьУдалить
  7. Если бы плоскость имела ступеньки - сколь угодно малые - тогда нарастала бы только вертикальная скорость.

    Но при аппроксимации ступеньками длина "лестницы" всегда будет равна X + dh, где X - расстояние по горизонтали; итого это чисто математически некорректно.

    Я - за вариант "просто h", так как при отражении от наклонной плоскости с пренебрежением изменением высоты происходит поворот вектора скорости, а далее угол падения всюду будет сохраняться.

    ОтветитьУдалить
  8. Я понял зачем Игорь рассказал про "сленг" детских задач. Чтобы всех запутать. Если пренебрегать малыми, то тогда начинается зеноновщина в чистом виде. Пренебрегать малыми надо очень осторожно, я старался пренебрегать только 2-м порядком малых, т.к. после большого числа отражений первый порядок становится 0-вым, т.е. существенно значащим.

    ОтветитьУдалить
  9. Анонимный25/10/08 23:26

    Из сохранения энергии вытекает, что высота, до которой допрыгивает точка в конце горки, будет меньше начальной высоты на v^2/2g (v - горизонтальная скорость). Найдём v.

    Сперва для простоты рассмотрим прямой уклон. Поворачиваем систему координат вдоль склона, обнаруживаем, что вдоль него действует малая компонента ускорения alpha*g, которая разгоняет прыгающую точку. Начальная скорость вдоль склона равна alpha*v_{y0} = alpha*sqrt(2gh_0); длина склона равна Delta h/alpha, так что скорость вдоль склона в его конце (равная горизонтальной скорости v с точностью до членов порядка alpha^2) будет sqrt(2g* Delta h)+ alpha*sqrt(2gh_0). Отсюда получаем (пренебрегая теперь уже членами порядка alpha^1), что высота (отсчитанная от поверхности), на которую подпрыгивает точка, везде равна h_0. Адиабатический инвариант, однако.

    Ясно, что это справедливо и для поверхности с переменным наклоном, которую можно разбить на малые примерно прямолинейные участки. V1adis1av

    ОтветитьУдалить
  10. Мне вот что интересно. Хорошо, уже несколько человек разбили горку на прямолинейные участки и проанализировали каждый из них отдельно. Но ведь когда мы переходим от одного участка к другому, у нас меняется угол наклона, а значит и понятие "параллельной" и "перпендикулярной" скорости. И
    это перемешивание компонент скоростей происходит при каждом переходе с участка на участок. Хотелось бы увидеть к граждан отвечающих доказательство, что это перемешивание компонент не влияет на ответ.

    to slon: из энергетических соображений ничего не выяснить. Ведь может увеличиться как "энергия вертикального движения" (т.е. высота подскоков), так и "энергия горизонтального движения".

    to blog: это было бы так, если бы горка представляла собой набор ступенек. Но она наклонная, поэтому горизонтальная (относительно горизонта) скорость меняется при каждом отскоке.

    ОтветитьУдалить
  11. Строгого доказательства быть не может, т.к. нет строгого условия задачи. Например, нигде не сказано что траектория монотонна или вторая производная малая второго порядка. Без этой инфы на склоне можно разместить и волны в любой резонанс, и горы, и лощины...

    ОтветитьУдалить
  12. Так ведь у вас с Владиславом, насколько я вижу, нет ни строгого, ни нестрогого анализа эффекта перемешивания компонент скоростей при переходе от одного кусочка к другому.

    Я, кстати, могу задачу расширить, убрав требование малости угла (но оставив требование плавности склона). Ваше решение тогда по-прежнему будет работать?

    Но в чем-то Вы правы. Задача, возможно, действительно не абсолютно строго сформулирована. Монотонность угла, кстати, тут не важна. Важно четкое определение "плавности" склона. Подразумевается, что первая производная угла вдоль пути тоже мала, т.е. что угол изменяется на малую величину на каждом единичном прыжке частицы.

    Впрочем, это конечно не очень хорошо заданное условие, поскольку оно уже использует решение, а не только условие. Но наверняка можно это как-то сформулировать и без использования длины прыжков, через соответствующие пределы. Но главное -- оно соответствует интуитивному понятию плавности и отсекает Ваш вариант с резонансом.

    ОтветитьУдалить
  13. > Ваше решение тогда по-прежнему
    > будет работать?

    У меня появилось ощущение что оно не будет работать даже если считать угол и его любую до конечного N производную малыми. Мы никак не ограничены по оси Х, и чтобы увеличить погрешность надо построить траекторию из каскада волн, на каждой из которых будет набегать ошибка. И если ошибка на единичном участке равна eps - бесконечно малая _любого_ порядка, то при длине пробега 1/eps получим единичную погрешность. А длина, повторюсь, в нашем распоряжении бесконечна. И зачем монотонно? Так затем чтобы нельзя было менять знак угла в окрестности 0 и накручивать ошибку.

    > первая производная угла вдоль
    > пути тоже мала, т.е. что угол
    > изменяется на малую величину на
    > каждом единичном прыжке
    > частицы

    угол тоже малый!!!!
    Разность 2-х малых одного порядка есть неопределённая величина того же порядка. Т.е. со столь мягким условием можно менять знак угла при каждом отражении.

    Вы состряпали что-то типа sin(1/x)*x^2 окрестности 0 - и гладко, и производная мала.. А угол-то пляшет!

    ОтветитьУдалить
  14. Анонимный31/10/08 21:36

    Надо использовать адиабатический инвариант для вертикального движения. Из него следует, что высота подъема не измениться.

    ОтветитьУдалить
  15. Анонимный22/1/09 09:55

    Если точка ударяется о плоскость с малым углом наклона \A(х), то \DV_x=V_y 2\A(x) при ударе. На один удар приходится продвижение по высоте
    \Dh=2V_xV_y\A(x)/g, поэтому \Dh=V_x\DV_x/g, интегрируя, получаем правильный ответ.

    А как тут использовать адиабатический инвариант?

    ОтветитьУдалить
  16. Анонимный17/10/10 14:27

    может я совсем чайник в физике но решение у меня совсем простое вышло:
    1)Первоначальная скорость тела: v=sqrt(2g*sinA*h0), где А угол с которым он отскакивает от горизонтальной поверхности
    2)после того как тело ударяется о наклонную плоскость угол A уменьшается на угол B отсюда скорость в конце склона становится равной V2= sqrt(2g(sinA-B)*(h0+Δh)) (относительно горизнта)
    3)когда же тело вновь подлетает на верх, верхней точке скоростьестественно становится равной нулю,
    оно подоет с высотs равной h0 под углом A (см рисунок) http://s45.radikal.ru/i107/1010/e8/ae758efcd4fd.jpg

    ОтветитьУдалить
  17. Анонимный17/10/10 14:41

    хочу услышать ваше мнение о моем решении!

    ОтветитьУдалить
  18. Это скорость какая? Горизонтальная, вертикальная, относительно неподвижного горизонта, относительно плавно меняющегося горизонта вдоль склона? Почему это скорость становится равна нулю? Что значит, тело подлетает наверх, где у него верхняя точка (относительно какого направления она верхняя)? Что такое угол бета, угол наклона плоскости? Но он ведь переменный вдоль траектории. Откуда вы взяли формулу для V2? С чего вы взяли, что тело падает с высоты h0?

    ОтветитьУдалить
  19. Анонимный17/10/10 15:03

    хорошо все по порядку))
    1) mgh=(mv^2)/2 так ведь, V1 тоесть изначальная скорость из первого уравнения с которой скочет тело равна V1=sqrt(2g(sinA)h0);(A=альфа)
    2)когда тело падает на наклонную плоскость(будем считать, что она под углом B(бетта)) то угол по горизонтали уменьшается на B. При этом тело падает с высоты h+h1; h1= x*sinB (x это растояние между отскоками). В конце наклонной плоскости h1 станет равной Δh=l*sinB (l это общий пройденный путь по наклонной плоскости)
    отсюда получаем что вертикальная скоростьв конце склона будет равна: V=2gsin(A-B)*(h0+Δh)

    ОтветитьУдалить
  20. Анонимный17/10/10 15:19

    http://s46.radikal.ru/i113/1010/89/b4b74fcabf4f.jpg
    вот рисунок так как высота максимальная то скорость равна нулю

    ОтветитьУдалить
  21. На самом деле, мои вопросы — это не столько вопросы, сколько намек вам, что вы используете неточные слова и кроме того далеко не все учитываете.

    Итак, «скорость» — это у вас вертикальная проекция скорости, по крайней мере вначале. Хорошо. Далее, после первого отскока от наклонной плоскости с (неизвестным!) углом бета, угол вообще-то уменьшается после отскока на 2 бета — если его, конечно, мерять относительно горизонтали. Если же его мерять не относительно горизонтали, а относительно самой наклонной плоскости, то вам надо учесть, во-первых, наклон постоянно меняется от одного отскока к другому, из-за чего вам постоянно надо преобразовывать скорости (часть продольной превращается в поперечную и наоборот), а во-вторых, у вас нарастает продольная скорость, из-за чего угол будет меняться раз за разом даже на строго наклонной плоскости. Всё намного хитрее, чем вам первоначально показалось.

    ОтветитьУдалить
  22. Анонимный17/10/10 15:28

    что касается вопроса: почему тело вновь падоет с высоты h0, то я так считаю что скорость не меняется по вертикали, тело просто больше пролетает по корезантали, вертикальная составляющая скорости остается прежней

    ОтветитьУдалить
  23. Анонимный17/10/10 15:29

    не скорости а высоты исправте ошибся в посл предложении

    ОтветитьУдалить
  24. Насчет рисунка — а разве вам не очевидно, что шарик будет прыгать совсем не так? Ладно, предположим, что треугольниками вы схематично нарисовали параболы (вы же не считаете, что траектория будет реально треугольной?). Но у вас совершенно неправильно нарисованы углы — на каждом треугольнике слева у вас наклон более пологий (относительно реального горизонта!), чем справа. Реально же каждый кусочек траектории будет симметричен относительно настоящей вертикали, ибо сила тяжести действиует именно по вертикали.

    ОтветитьУдалить
  25. Анонимный17/10/10 15:51

    прсто я отправи рисунок еще до того как вы разместили ответ о том что угол будет изменятся, я не учитывал этого, насчет триугольников-это всеголишь схематичное изображения ибо в paint'e парабулы рисовать тяжко)

    ОтветитьУдалить
  26. Анонимный17/10/10 15:52

    сабираетесь ли вы размещать свое решение, если же оно имеется? Готовлюсь к городской олимпиаде 10 класс))

    ОтветитьУдалить
  27. Решение надо бы разместить, да, только долго его писать, так что я его пока оставил на потом :)

    ОтветитьУдалить
  28. Анонимный17/10/10 18:35

    а через что его решать, каким методом хоть?

    ОтветитьУдалить
  29. Тут нет какого-то волшебного метода, который применил и — бац! — тут же всё получилось. Тут обычная кинематика, и единственная нетривиальная вещь состоит в том, что надо (ну, точнее, желательно) переходить в наклонную систему координат вдоль изгиба плавного спуска.

    Для тренировки решите сначала задачу, когда вместо гладкого спуска имеется много мелких ступенек, затем для случая, когда спуск — это ровная наклонная плоскость от начала и до конца, а уж там должно придти понимание того, как решать исходную задачу.

    ОтветитьУдалить