20 октября 2008 г.

Задачка 5

Поскольку народ реагирует более активно на задачки по механике, чем по электромагнетизму, предлагаю такую вот следующую задачу.

На двух чашках весов находится большое, но одинаковое количество идентичных шариков. Только на одной чашке они просто лежат, а на другой -- они беспорядочно подпрыгивают, абсолютно упруго ударяясь о дно чашки. Какая чашка весов перевесит?

Второй вопрос: как изменится ответ, если удары шариков о дно частично неупругие (т.е. при каждом ударе теряется какая-то небольшая, но фиксированная доля энергии)?

Update: открыл пришедшие ответы. Есть ли у читателей комментарии по поводу них? :)

12 комментариев:

  1. Поскольку удары абсолютно упругие, потерь энергии нет, и шарик подлетает на одну и ту же высоту h.
    Тогда время между ударами шарика о чашку будет
    Dt = 2*sqrt(2h/g).
    Скорость шарика при ударе меняется на противоположную, т.е. импульс шарика изменяется на
    Dp=2mv=2m*sqrt(2gh).
    То есть со стороны прыгающего шарика на чашку действует средняя сила
    {F} = Dp/Dt = mg, которая в точности равна весу неподвижного шарика. Поэтому чашки весов будут уравновешены.

    Если при ударах часть энергии будет теряться, высота подлета шариков будет уменьшаться, но и время полета шарика тоже будет уменьшаться. А отношение удвоенной скорости удара о чашку к периоду свободного полета на каждом цикле (которое и определяет среднюю силу) останется постоянным, т.к. оно не зависит от высоты, а равно ускорению g.
    То есть равновесие чашек сохранится, а кинетическая энергия прыгающих шариков постепенно перейдет в нагрев шариков и чашки.

    ОтветитьУдалить
  2. Анонимный21/10/08 17:54

    Совершенно очевидно, что средняя сила давления на чаши весов одинакова и равна весу, если осреднить за длительное время. А если учесть что весы имеют некоторую жесткость при повороте вокруг оси, то это значит что рано или поздно они придут в состояние равновесия, совершив затухающие колебания по сложной траектории.
    Если весы без жесткости и без затухания колебаний, то это уже не весы.
    (Козырев и торсионщики с этим решением не согласятся)

    ОтветитьУдалить
  3. Так, вроде есть шансы успеть. =)

    Для возникновения дополнительной силы чашке весов потребуется передавать некоторый импульс, причем постоянно (пока прыгают шарики). В случае с упругими соударениями этого, очевидно, не будет - там по определению импульс системы "чашка + шарики" должен сохраняться.

    Можно еще рассуждать так - координата центр масс шариков в первом случае не меняется (при бесконечно большом их числе), значит их можно поменять одним точечным грузом. Неподвижным.

    Случай второй: шарики теряют часть энергии. Их центр масс при этом смещается вниз и, следовательно, можно сказать что груз на весах с некоторой скоростью опускается. Если ускорение не равно нулю - то чашки весов покачнуться.

    Для того, чтобы определить куда именно - применю другое рассуждение: шарики теряют часть энергии, но импульс системы сохраняется.

    Импульс передается платформе (так как скорость шариков падает) и вначале этот импульс явно больше, чем в конце (большая часть энергии передается платформе, а импульс пропорционален квадратному корню кинетической энергии).

    Импульс в единицу времени снижается - значит платформа с прыгающими шариками сначала будет перевешивать, а потом весы вернутся в положение равновесия.

    ОтветитьУдалить
  4. Что тяжелее кг железа или кг воздуха:)?

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный22/10/08 19:27

    Если удары упругие, средняя сила, действующая на чашку весов, равна nmg, где n --- количество шариков.
    Если удары неупругие, то средняя сила будет меньше, чем в первом случае; ведь для неупругого удара изменение импульса каждого шарика при столкновении с чашкой меньше, чем для упругого (2mv).
    Другое объяснение:
    n шариков представляют собой систему тел; центр масс этой системы движется вниз с ускорением (шарики теряют скорость при столкновениях с чашкой); второй закон Ню:
    nmg - N = nma,
    N = nm(g-a);
    N --- это и есть сила давления шариков на чашку.

    ОтветитьУдалить
  6. Решение mak смотрится здраво, но не надо забывать что чашки ходят ходуном, так что в итоге строго прорешать и осреднить весьма сложно. Если весы раскачиваются без вязкости и трения, то тогда система никогда не придёт в покой (как писал выше, это даже не весы).

    Возможны ещё тонкие эффекты взаимодействия шариков с магнитным полем Земли, али учет неоднородности тяготения и прочее... вопрос, надо ли их учитывать? А так в 1-м приближении ответ очевиден, что без разницы.

    В общем, задача либо слишком простая до тупости, либо слишком сложная. Давай думать что простых тут нет. :)

    Любопытно, что релятивистские поправки типа что шарики разогреются при неупругом ударе и будут весить по-другому, даёт ненулевую разницу даже в состоянии покоя, к которому придёт система после болтанки.

    ОтветитьУдалить
  7. Студент22/10/08 23:32

    Ну очевидно можно представить себе вокруг прыгающих шариков невесомый жесткий ящик.

    Тогда прыгающие шарики это просто какое-то внутренне движение в этом ящике.

    Следовательно среднее действие этого ящика на опору = Mg.

    Единственная хитрость, которая здесь может быть, это ситуация когда границы ящика непостоянны (колеблются) относительно центра масс.

    В первом случае - этого, очевидно, не происходит, а во-втором медленный сдвиг границы ящика относительно его центра масс будет погашен самими весами.

    Как-то так. :)

    ОтветитьУдалить
  8. Уменьшим размеры шариков до размеров атома, т.е. положим на одну чашку вещество, остуженное до абсолютного нуля, а на другую -- нагретое. Молекулы нагретого вещества, которые о чашку упруго бьются -- это те же шарики из задачи. Сразу ясно, что равновесие нарушаться не будет.

    Что же касается неупругих соударений, то в этом случае центр масс системы прыгающих шариков двигается вниз, причём с ненулевым ускорением, т.е. действующая на неё (систему) сила тяжести не уравновешивается силой реакции опоры. А поскольку ускорение центра масс направлено вверх (на каждом следующем прыжке потеря шариком энергии всё меньше и меньше), то реакция опоры (т.е. сила, с которой чашка весов действует на шарики) больше силы тяжести. Так что в "неупругом" случае чашка весов с прыгающими шариками опустится, пока они не остановятся.

    ОтветитьУдалить
  9. Студент23/10/08 04:10

    Читатели написали свои комментарии. Есть ли у автора комментарии по поводу них? :)

    ОтветитьУдалить
  10. Игорь, извините, эта задачка по классической механике? Релятивистские поправки здесь не применимы?

    ОтветитьУдалить
  11. Да, по классической механике. Релятивистские поправки не нужны.

    ОтветитьУдалить
  12. Ну собственно многие решили задачу правильно. Действительно. проще всего взглянуть на систему из прыгающих шариков в целом, увидеть, что в первом случае центр масс этой системы покоится, а во втором случае -- движется, и связать это с силой давления на чашку весов.
    Единственная тонкость состоит в том, что во втором случае центр масс движется вниз с замедлением, т.е. с ускорением вверх, а значит, сила давления на чашку будет больше, чем у неподвижных шариков.

    Задачку можно решать и в лоб, вычисляя передачи импульса и время попрыгивания, но в этом случае легко ошибиться в случае частично неупругого соударения.

    В качестве "призовой игры" предлагаю найти, на какой высоте расположен центр масс системы прыгающих шариков в первом случае, если все они подскакивают на высоту h.

    ОтветитьУдалить