16 октября 2008 г.

Задачка 4

Вот следующая олимпиадная задачка -- на перенормировку массы :)


В однородном магнитном поле индукции B под действием силы тяжести падает "монетка" -- тонкий проводящий диск площади S, толщины d и массы m. Монетка незаряженная и немагнитная. Она падает ребром вниз, а магнитное поле расположено горизонтально и параллельно плоскости монетки. Сопротивление воздуха отсутствует.

С каким ускорением падает монетка?

Update. Итак, правильный ответ: a = g/(1+Δm/m), где Δm = B2Sd/4πc2 (в системе единиц СГС). Эту поправку (она равна удвоенной энергии магнитного поля внутри объема монетки, деленной на c2) можно интерпретировать как своего рода "добавку к массе", которая возникает из-за того, что монетка падает сквозь магнитное поле. Эта добавка сохранилась бы даже при нулевой массе самой монетки. По-моему, это неплохая (хоть и отдаленная) аналогия хиггсовского механизма.

Подробный ход решения привел в комментариях Rostik. Я только добавлю, что все решения были представлены через энергию, но полезно так же проследить, откуда берется дополнительная сила вверх. Как уже правильно сказали, в процессе падения монетка становится конденсатором, на обкладках которого возникает разность потенциалов, а значит и заряд. Этот заряд пропорционален скорости падения. Значит, если падение равноускоренное, то этот заряд будет равномерно расти, т.е. внутри монетки от одной плоскости к другой потечет ток, пропорциональный ускорению монетки. Этот ток взаимодействует с магнитным полем, и возникает сила вверх.

Для интереса можно порешать такую же задачку, но в которой магнитное поле направлено не строго горизонтально, а под некоторым углом к горизонту. Одними энергетическими соображениями ее уже, похоже, не решить.

14 комментариев:

  1. Магнитное поле растаскивает заряды к торцам монетки, так что потенциальная энергия поля тяжести переходит в кинетическую энергию ПЛЮС в кулоновскую потенциальную энергию, из-за чего монетка будет падать медленнее, чем без поля. У меня выходит a/g = m/(m+SdB^2), если нигде не ошибся.

    ОтветитьУдалить
  2. Ответ: a=g*(m/m'),
    где m'=m+(e0*S*d*B^2) e0- диэл.конст.

    Часть потенциальной энергии диска идет на кинетическую энергию (mv^2)/2,а другая часть расходуется на зарядку плоского конденсатора емкостью С=e0*S/d. Напряжение на конденсаторе находим из равенства сил действующих на заряды q*v*B=q*U/d. Энергия конденсатора (CU^2)/2. Далее приравнивая m*g*h=(mv^2)/2+(CU^2)/2 и учитывая что из кинематики v^2=2*a*h , получаем выражение для а

    ОтветитьУдалить
  3. ответ:
    a = g/{1 + B^2 S d/(4 \pi m c^2)}

    ОтветитьУдалить
  4. Вначале интересно понять, почему ускорение будет отличаться от g. Куда уходит энергия? Когда монета движется в магнитном поле, то на носители тока в ней действует сила Лоренца, которая растаскивает заряды по разным сторонам монеты, соответственно, на зарядку этого "конденсатора" и уходит часть потенциальной энергии монеты.
    Теперь, собственно, решение.
    Поскольку монета тонкая и проводящая, то можно считать, что распределение зарядов по сторонам монеты в каждый момент времени будет равновесным. Условие этого равновесия в том, чтобы электрическое поле со стороны зарядов, наведенных на монету уравновешивало бы силу Лоренца со стороны магнитного поля.
    Имеем: Fe=kq0q/S; Fл=q0VB; (q0 - заряд носителя тока в монете, V - скорость монеты)
    отсюда q=VBS/k;
    Поперек монеты будет течь ток, равный производной по времени от этого заряда:
    I=aBS/k;
    На этот ток со стороны магнитного поля будет действовать сила Ампера:
    Fa=dIB;
    Эта сила будет противодействовать гравитации, таким образом: a=g-Fa/m;
    Отсюда имеем уравнение:
    a=g-adB^2S/mk;
    И окончательно a=g/(1+dSB^2/mk)
    Что любопытно, для решения задачи достаточно знать плотность монеты p, а не ее габариты:
    a=g/(1+pB^2/k)

    Задача интересная, спасибо.

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный18/10/08 23:20

    Хорошие задачки у Вас. Чем картинки делаете?
    assymptotical (LJ)

    ОтветитьУдалить
  6. Спасибо. Некоторые из задачек мои. :)
    Картинки рисую в Mayura Draw. Причем вплоне хватает просроченной evaluation версии.

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный19/10/08 21:14

    Спасибо. А какой родной формат сохранения рисунков у Mayura (svg or other)?
    Насчет задачки. А почему бы Вам не написать что монета падает в магнитном поле Земли? Будет естественней.
    asymptotical (LJ)

    ОтветитьУдалить
  8. У нее родной свой собственный формат. Но экспортировать она может и в SVG, и в постскрипт, и в обычные форматы картинок.

    Потому что магнитное поле Земли, вообще говоря, не параллельно поверхности Земли (т.е. не перпендикулярно вектору силы тяжести). Кстати, можете подумать, как будет падать монетка в таком поле.

    ОтветитьУдалить
  9. Алексей Аникеенко21/10/08 08:19

    Насколько точно такое энергетическое решение? Надо бы оценить, сколько будет излучать ускоренно движущийся растущий диполь. Плюс в реальной монетке часть энергии будет уходить в тепло.

    ОтветитьУдалить
  10. Излучение должно быть чрезчывайно подавлено, т.к. предполагается, как и во многих подобных электродинамических задачах, что процессы идут достаточно медленно. Кроме того, тут излучение будет заведомо слабее, чем в типичной электродинамической задаче с перемещающимися зарядами, потому что тут для удобства расчета считается, что монетка тонкая и широкая. Поэтому электрическое поле сконцентрировано только между обкладками и отсутствует снаружи. Учет краевых эффектов -- это выход за пределы приближения.

    Насчет омического тепла, конечно, верно, но слово "проводящая" в условии дожно интерпретироваться как указание на то, что проводимость достаточно высокая, и все эффекты, связанные с ненулевой проводимостью, пренебрежимы.

    ОтветитьУдалить
  11. В общем, я хочу подчеркнуть, что описанный в задаче эффект, приводящий к отличию ускорения от g -- самый сильный, и задача была на то, чтобы его распознать. Остальные эффекты, которые существуют к реальном мире, считаются по условию подавленными.

    ОтветитьУдалить
  12. Кажется, произведение SdВ^2 надо ещё домножить на электрическую и магнитную проницаемости материала монетки (это не малый эффект!). Например, стальная монетка должна притормаживаться сильнее медной.

    ОтветитьУдалить
  13. Это верно, но имелось в виду, что все эти проницаемости равны единице.

    Но вообще да, интересно, это наверно тоже полезно для аналогии с хиггсовским механизмом.

    ОтветитьУдалить
  14. Анонимный20/11/08 16:26

    А можно ли рассуждать не с точки зрения сил и токов, а со следующих позиций:
    1.при движении в магнитном поле, в системе отсчета связанной с монетой из-за преобразований Лоренца появиться электрополе, пропорциональное (v/c)*B
    2. Мы знаем, что в металле поля нет, т.е. внутри металла создастся точно такое же по амплитуде поле, что б уравновесить внешнее.
    3. Энергия этого поля будет равна объему монеты, умноженному на плотность энергии поля внутри монеты: (v^2/2*c^2)*(B^2/4Pi)
    4. Значит в лагранжиане или гамильтониане будет указанная выше добавка, пропорциональная как и кинетическая энергия v^2/2 - откуда сразу все понятно, что масса перенормируется.

    ОтветитьУдалить