3 октября 2008 г.

Задачка 2

Чтобы не скучали те, кто решил предыдущую задачку, предлагаю задачу номер 2.



На полубесконечной наклонной плоскости с трением на одинаковом расстоянии друг от друга расставлены одинаковые кирпичи. Угол наклона плоскости подобран так, что каждый кирпич покоится, но от малейшего сдвига он начинает съезжать вниз с ускорением a. Вначале все кирпичи покоятся. Затем чуть-чуть сдвинули верхний кирпич, он поехал, столкнулся со вторым, затем они поехали, столкнулись с третьим и т.д. Все столкновения между кирпичами абсолютно НЕупругие.

Требуется найти установившееся(*) ускорение движущегося "поезда из кирпичей" спустя большое время.

-----------
(*) имеется в виду не мгновенное ускорение, а усредненное по нескольким столкновениям.


Update: маленькое замечание -- ответ НЕ равен a. В рассуждении "раз суммарная масса движущихся кирпичей становится очень большой, то они просто не замечают столкновений, а значит установившееся ускорение равно a" имеется изъян. :)

Update 2: товарищи отвечающие! Ваши комментарии приходят, но до поры до времени скрываются, чтобы не портить кайф тем, кто с одной стороны хочет порешать сам, но с другой стороны не может удержаться от соблазна подглядеть ответ :) Поскольку правильные ответы уже были, то я сегодня-завтра открою комментарии.

Update 3: комментарии открыл. Итак, правильный ответ -- a/3.

Решение.

Сразу введем для удобства массу одного кирпича m и расстояние между кирпичами d
(из окончательных формул эти величины исчезнут). Искомое установившееся ускорение обозначим буквой A.

Сначала предствим процесс физически. На движущиеся кирпичи суммарной массы M действует скатывающая сила, равная F=Ma (это проекция силы тяжести минус сила трения). Однако работа этой силы тратится не только на дальнейшее ускорение уже движущихся кирпичей, но и на придание скорости ранее покоившимся, но налепившимся спереди кирпичам. Поэтому следует ожидать, что получающееся ускорение кирпичей будет меньше, чем a.

Можно сказать и иначе: покоящиеся кирпичи, на которые натыкается "поезд", оказывают на него в среднем некоторую силу сопротивления. Она частично компенсирует скатывающую силу и уменьшает ускорение.

Теперь будем решать задачу в предположении, что при движении действительно устанавливается некоторое ускорение A. Тогда спустя достаточно большое время T скорость движущихся кирпичей будет равна




количество набранных кирпичей будет




масса поезда из кирпичей




и его импульс




Теперь запишем закон Ньютона:




Но скатывающая сила равна F = M a, откуда получаем, что искомое ускорение A = a/3.

Конечно, если быть совсем педантом, то вместо знаков равенства надо везде ставить "стремится при T, стремящемся к бесконечности". Но фраза в формулировке "спустя большое время" -- это такой физический жаргон, который и подразумевает, что нас интересует какая-то величина в пределе T, стремящемся к бесконечности.

А вот чуть иной ход вычисления:




Здесь ясно видно, что две трети работы скатывающей силы тратится на придание скорости покоившимся ранее грузам, и лишь одна треть -- на приращение скорости.

Кроме того, задачу можно решить и из энергетических соображений.

В принципе, на этом можно и остановиться (по крайней мере, для школьников), но всё же хорошо бы доказать, что установившееся ускорение действительно существует.

Для этого подумаем, какие независимые переменные есть в нашей задаче. Это M(t) и v(t). Если переписать приведенный выше ответ в такой форме




то становится понятно, что установившееся ускорение отвечает ситуации, когда M(t) и v2(t) растут пропорционально друг другу и причем в строгой пропорции. Если эта пропорция в какой-то момент времени нарушается, то и ускорение кирпичей A в согласии с этой формулой отличается от a/3. Наша задача -- показать, что A при этом не будет оставаться постоянным, а будет стремиться к a/3.

Имеем:




Дифференцируем по времени:




Подставляя выражение дле dM/dt, получаем




Из этой формулы и видно, что если A превышает a/3, то появляется тенденция уменьшить A (т.е. производная отрицательна), а если A не дотягивает до a/3, то тенденция наоборот, увеличить A.

В принципе, дифференцирования можно избежать, решая эту задачу "пошагово" -- просчитать скорости после первого столкновения, после второго столкновения и т.д., а потом найти предел. Но описанный выше подход более "сильный", он годится например и для случая, когда кирпичи расставлены не строго, а лишь примерно (в среднем) на одинаковом расстоянии.

На закуску предлагаю аналогичную задачу, но в трехмерном случае. Правда в отличие от задачи с кирпичами она не совсем физична.

Пусть в воздухе висит туман -- равномерно распределенные в пространстве одинаковые мельчайшие капельки воды. Сквозь туман под действием силы тяжести падает крупная капля. Весь туман, который попадается ей на пути, она абсолютно неупруго захватывает на себя и таким образом растет. Найти установившееся ускорение капли. Каплю считать строго сферической, сопротивлением воздуха при движении капли пренебречь.

23 комментария:

  1. Пусть $m$~--- масса кирпича, а $s$~--- расстояние между кирпичами.
    Введём обозначения: $u_n^-$~--- скорость цепочки из $n$ кирпичей сразу после соударения (т.~е. как только цепочка образовалась)
    и $u_n^+$~--- скорость цепочки из $n$ кирпичей перед соударением с $n+1$ кирпичом. Приращение кинетической энергии происходит за счёт работы силы $mna$,
    таким образом имеем:
    $$
    \frac{m(u_n^+)^2}{2}=\frac{m(u_n^-)^2}{2}+mnas,
    $$
    откуда $u_n^+=\sqrt{(u_n^-)^2+2nas}$. Связь между $u_n^+$ и $u_{n-1}^-$ даётся законом сохранения импульса:
    $$
    mnu_n^+=m(n+1)u_{n+1}^-,
    $$
    откуда $u_{n+1}^-=\frac{n}{n+1}u_n^+$. Время движения цепочки из $n$ кирпичей
    $t_n=\frac{u_n^+-u_n^-}{a}$. Среднее ускорение между соударениями:
    $$
    a_n=\frac{u_{n+1}^--u_n^-}{t_n}=\frac{u_{n+1}^--u_n^-}{u_n^+-u_n^-}a=\frac{\frac{n}{n+1}\sqrt{(u_n^-)^2+2nas}-u_n^-}{\sqrt{(u_n^-)^2+2nas}-u_n^-}a.
    $$
    При $n\to\infty$ $a_n\to a$. Физически, вроде бы, разумно. Массивная цепочка практически не чувствует отдельных соударений. Если бы сила, действующая на цепочку
    была постоянной, то цепочка бы тормозилась потихоньку, а, поскольку сила увеличивается вместе с массой, то цепочка и прёт себе с постоянным ускорением. Или
    есть какой-то подвох?

    ОтветитьУдалить
  2. Борис4/10/08 03:52

    Еще раз здравствуйте, Игорь. Насчет правильности решения этой задачки я менее уверен, чем насчет правильности предыдущей, потому что как-то слишком просто все выходит :). И тем не менее, вот что у меня получается.

    На кирпич действуют две силы: сила трения Fтр и сила тяжести m*g*sin(alpha), где m - масса кирпича, а alpha - угол наклона плоскости. Таким образом по второму закону Ньютона имеем:

    m*a = m*g*sin(alpha) - Fтр, где a - ускорение кирпича.
    Таким образом
    a = g*sin(alpha) - Fтр/m

    После того как первый кирпич столкнется со вторым и они начнут совместное движение (поскольку столкновение неупругое), ускорение для этой пары кирпичей станет равным

    a_2 = g*sin(alpha) - Fтр/(2*m)

    После n столкновений ускорение "поезда из n кирпичей" будет равно

    a_n = g*sin(alpha) - Fтр/(n*m)

    Спустя большое время, т.е. при времени стремящимся к бесконечности, n также стремится к бесконечности. Следовательно
    a_n стремится к g*sin(alpha), а сила трения как бы компенсируется большой массой "поезда из кирпичей".
    Таким образом искомое установившееся усредненное ускорение равно g*sin(alpha).

    ОтветитьУдалить
  3. to uleysky:
    "Массивная цепочка практически не чувствует отдельных соударений." -- отдельных да, но ведь ударения происходят всё чаще и чаще. :)

    Борису: вообще-то в задаче не дан угол альфа. Дано только ускорение соскальзывания одного грузика. Насчет Ваших выкладок -- а почему Вы считаете силу трения константой? Она же тоже растет с количеством кирпичей.

    ОтветитьУдалить
  4. Так как ускорение установившееся, то считаю, что оно равно разности скоростей до n - ного и n+1 - ого столкновения деленного на время между ними. Дальше расписывается простая кинематика и закон сохр. импульса. Получается рекурсивная формула на Vn. Решается, подставляется, разлагается в ряд по 1/n и получается ответ a/3. Возможны ошибки.

    Ответ: a/3.

    ОтветитьУдалить
  5. Ответ может быть неконкретным коэффициентом относительно 'a'?
    У меня получается ответ 'a/n', где n - количество уже столкнувшихся кирпичей(т.е. количество уже движущихся кирпичей).
    Если n->∞, то ответ - 0.
    Т.е. если кирпичей бесконечно много, то среднее ускорение после всех столкновений будет 0. Хотя последнее с чисто ассоциативной точки зрения меня смущает.

    ОтветитьУдалить
  6. V(n) - скорость цепочки сразу после столкновения с кирпичем номер n. Время от столкновения с кирпичем номер n до столкновения с кирпичем n+1 равно t=(-V(n)+Sqrt(V(n)^2 + 2aL))/a. Перед n+1 столкновением скорость равна V(n)+at, а после V(n+1). Из сохранения импульса во время столкновения имеем V(n+1)=Sqrt(V(n)^2+2aL)*n/(n+1), или
    V(n+1)^2 = (V(n)^2 + 2aL)*n^2/(n+1)^2.
    Далее можно можно получить явное выражение для V^(n) = 2aL(1^2+2^2+3^2+...(n-1)^2)/n^2=2aL(n/3+1/2+1/(6n)).
    Дальше уже просто a среднее=(V(n+1)-V(n))/t; t можно выразить через V(n),V(n+1). Дальше все подставить и найти предел. Если нигде не ошибся, то ответ a/3.

    ОтветитьУдалить
  7. Борис5/10/08 18:39

    Насчет угла альфа согласен, ответ зависящий от параметра, который не задан в условии, не имеет смысла. Насчет силы трения, мне не хватает знаний по физике (предыдущую задачу я решил чисто математически), поэтому я неосознанно пошел самым простым путем и принял Fтр за константу :). От чего зависит сила трения? Зависит ли она от массы объекта, площади соприкосновения, скорости, ускорения?

    ОтветитьУдалить
  8. a/2
    Величины: M - масса кучи; m - масса кирпича; l - длина, которую проехала куча; d - расстояние между кирпичами; V - скорость кучи; b - искомое ускорение.
    Рассмотрим изменение кинетической энергии кучи при установившемся движении на участке длиной h >> d, но таком, что изменение массы и скорости кучи на нем пренебрежимо мало. На кучу действует постоянная сила трения Ma, на каждом столкновении теряется по mV^2/2 кинетической энергии, число этих столкновений: h/d. При этом после усреднения по столкновениям изменение должно быть таким как при действии постоянной силы Mb.
    Запишем это: hMa-hmV^2/2d= hMb
    Сократив и приняв во внимание то, что M/2l=b
    Для равноускоренного движения V^2=V0^2+2bl. Ясно, что при достаточно большом l первым членом можно будет пренебречь. Отсюда получаем: a-b=b и в итоге: b=a/2.
    При этом данное решение не рассматривает вопрос доказательства того, что установившееся движение будет равноускоренным. Этот вопрос сам по себе представляет некий интерес.

    ОтветитьУдалить
  9. Студент6/10/08 02:29

    Есть предположение, что конечное ускорение это одна треть от a.

    Верно? :)

    ОтветитьУдалить
  10. По школьной формуле, сила трения равна коэффициент трения умножить на прижимающую силу. Прижимающая сила растет с количеством кирпичей, значит, и сила трения тоже.

    ОтветитьУдалить
  11. Подозреваю, что авторы задачи правильным ответом на неправильный вопрос считают НОЛЬ!

    Между прочим, даже когда не ноль, но скорость уже стала достаточно большой, "ударения НЕ происходят всё чаще и чаще". Нет, конечно, интервал убывает. Но скорость убывания достаточно быстро стемится к нулю. Убывание скорости уменьшения длины интервала происходит даже в том случае, если "среднее" ускорение не меняется и остается равным пресловутому а (поезд движется с постоянным ускорением, а пассажир регистрирует интрвал времени между "пролетами" столбов за окном поезда). Такое поведение длины интервала эмоционально противоречит утверждению "но ведь ударения происходят всё чаще и чаще". А такие неточные выражения только эмоционально и следует воспринимать.

    ОтветитьУдалить
  12. Ответ: a_устан. = a/3

    Решение:
    За один полный цикл скорость "поезда кирпичей" изменяется под действием
    1) постоянного ускорения a до столкновения с новым кирпичом
    2) удара о неподвижный кирпич.

    Пусть поезд кирпичей массой суммарной массой M, движущийся со скоростью v, сталкивается с покоящимся кирпичом массой dm
    (M >>dm). Из сохранения импульса при столкновении M*v = (M+dm)*(v+dv) получаем
    dv = -v*dm/M

    Между столкновениями поезд движется с постоянным ускорением a, поэтому через расстояние L до следующего кирпича скорость станет
    v1^2 = v0^2 + 2*a*L.

    Объединяя два этих вклада в изменение скорости, получим для полного ускорения поезда
    a_устан. = dv/dt = -(v/M)dm/dt + a

    dm/dt = v*dm/v*dt = v*(dm/dx) = v*(m/L) - увеличение массы поезда в единицу времени из-за столкновений с новыми кирпичами.

    a_устан. = dv/dt = -(v^2/M)m/L + a (1)

    a_устан. = const в установившемся режиме, а, поскольку m, L, a постоянны, то и отношение v^2/M должно быть постоянным в пределе большого числа кирпичей в поезде, m/M -> 0.
    То есть отношение v^2/M должно сохраняться после очередного куска
    ускорения и последующего удара о новый кирпич с потерей скорости и изменением массы.
    После ударе о неподвижный кирпич масса становится (M + m)
    и из закона сохранения импульса имеем M*v1 = (M + m)*v,
    т.е. новая скорость поезда из n+1 станет v = v1/(1+m/M)

    v0^2/M = v^2/(M+m) = [v1/(1+m/M)]^2/(M+m) = (v0^2 + 2*a*L)/(M*(1+m/M)^3)
    Разлагая в ряд при m/M -> 0 и a*L/v0^2 -> 0 получаем
    v0^2/M -> (2/3)a*L/m

    Подставляем это выражение в (1) и получаем

    a_устан. = -2a/3 + a = a/3

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный6/10/08 13:23

    a/3

    Marmotl
    :)

    ОтветитьУдалить
  14. Анонимный6/10/08 14:14

    Wizzard
    Попробую ляпнуть, общее ускорение будет a/2

    ОтветитьУдалить
  15. Вроде простая задача, а не пойму, где ошибаюсь.
    Составляю уравнение сил по оси движения кирпичей, где
    m - масса одного кирпича
    d - угол наклона оси к "горизонту"
    g - уск. своб. падения
    k - коэффициент трения
    a - ускорение, данное условием
    A2,A3,An - ускорение "поезда" из 2,3 и n кирпичей

    1) Для одного кирпича:
    mg*cosd-k*mg*sind=ma;
    сокращаю на m:
    gcosd-kgsind=a;
    2) Для двух кирпичей:
    2mg*cosd-k*2mg*sind=2mA2;
    Сокращаю на 2m:
    gcosd-kgsind=A2;
    Таким образом A2=a, и т.д.
    Т.е. A1=A2=A3=...=An=a;
    Где ошибка-то?... =(

    ОтветитьУдалить
  16. Осмелюсь предположить что установившееся ускорение будет всегда меньше значения "а", спустя большое время среднее ускорение цепочки будет стремится к "а", но никогда его не достигнет, так как в неупругих столкновениях происходит потеря механической энергии. Но мнгновенное ускорение в промежутках между столкновениями будет равно "а"

    ОтветитьУдалить
  17. В мое решение закралась ошибка. На самом деле потеря энергии в неупругом столкновении будет в два раза больше, потому что прилипший к куче кирпич отберет себе еще mV^2/2 энергии. Соответственно, ответ поллучается как у всех a/3. (Ошибку нашел не я)

    ОтветитьУдалить
  18. А я так и не смог решить...
    Откуда a/3?

    Попытаюсь еще раз :)

    ОтветитьУдалить
  19. Igor Ivanov пишет...
    "Я, честно говоря, не очень понял логику Вашего рассуждения ..."

    А я, честно говоря, не очень понял, логику каких рассуждений не поняли Вы – ведь в моем сообщении вроде как рассуждений-то никаких и не было. Во всяком случае, никакой логики в оправдание нуля я не приводил.

    А то, что мои подозрения о мнении авторов задачи о правильном ответе оказались неверными – это радует. Потому что правильный ответ, без всяких подозрений, и в самом деле равен a/3.

    Свой вывод писать не буду. так как Вы обещали уже выложить Ваш.
    Отмечу только одно, как мне кажется, любопытное обстоятельство: ответ не зависит от расстояния между кирпичами, что несколько неожиданно.

    ОтветитьУдалить
  20. Из решения: Тогда спустя достаточно большое время T скорость движущихся кирпичей будет равна
    v = AT

    Мне кажется, что, объясняя задачу школьникам, очень важно указать, насколько большим должно быть T, чтобы записанное выражение приближенно выполнялось. Далее есть рассуждения о том, что вот, если быть педантом …
    Будем считать, что они как-то оправдывают некую небрежность. Такое попустительство объясяется тем, что в предложенном решении имеется куда более серьезная погрешность. Настолько серьезная, что …

    Поглядим на запись закона Ньютона. Я не имею возможности перерисовать ее здесь – поэтому глядеть надо в предложенное решение. Да нам вся картинка-то и не нужна – достаточно обратить внимание на dv/dt. Нам предлагается считать, что эта величина установилась и равна A. Но это абсолютно неверно. Ведь нам предлагается дифференциальная запись закона Ньютона. Стало быть, речь идет о мгновенных величинах. А с ними дело обстоит так:
    В промежутках между столкновениями dv/dt = a.
    В точках столкновений функция v(t) не дифференцируема!

    Ну и? До какой степени позволительно не быть педантом при обучении школьников?

    ОтветитьУдалить
  21. Нужно быть педантом там, где это полезно :)

    Все производные надо понимать в следующем смысле. Рассмотрим промежуток времени между T и T+Δt, причем Δt выбираем таким, чтобы он уменьшался с ростом T, но медленнее, чем 1/T. Тогда количество столкновений, которые произойдут в течение этого промежутка, будут расти с T. Далее считаем все приращения к кинематическим величинам, произошедшие за этот промежуток времени, делим их на него, и в конце берем предел при T, стремящимся к бесконечности.

    Вообще, всё это и интуитивно понятно, но при желании можно записать и формально.

    А Вам что, просто хочется меня в чем-то уесть?

    ОтветитьУдалить
  22. Igor Ivanov пишет...
    «А Вам что, просто хочется меня в чем-то уесть?»

    Да нет. Я вообще человек неспортивный. Кого-то уесть, доказать свою правоту – мне это просто неинтересно.

    Дело в другом. У меня есть некое отношение к делам в науке вообще и к системе обучения в частности. По правде сказать, отношение это очень негативное. Что и как – это отдельный и длинный разговор, неуместный, как мне кажется, здесь. С точки зрения заданного Вами вопроса, совершенно неважно, насколько эта моя оценка соответствует объективному положению дел. Локально здесь важно то, что лично я к этим своим оценкам отношусь достаточно серьезно. А какие-то места, где пытались бы что-то такое обсуждать как-то конкретно, мне не попадались. Вы просто случайно подвернулись под руку.

    Понимаете, есть большая разница между нахождением правильного ответа и построением логического доказательства правильности этого ответа. И молодым людям, только начинающим свой путь в науке, очень важно постоянно демонстрировать эту разницу. Правильный ответ для этой конкретной задачи находится на раз-два с помощью Excel. Всего-то надо написать две простеньких формулы. Но почему он правильный? Этого Excel не скажет.

    Откуда взялся мой подозрительный ноль в первом моем сообщении на этой ветке?
    Дело в том, что с этой задачей я ранее не сталкивался и решать ее не стал. Практически сразу и совершенно строго получается некое выражение, с которым уже надо серьезно разбираться (или искать другой путь к решению). Разбираться мне было некогда. Я сделал некое «правдоподобное» предположение и получил тот самый ноль. А вот после этого совершенно очевидно « доказывается», что «правдоподобное» предположение было правильным и ничего другого и быть не может – классический вариант порочного круга. Так как сомнительность «правдоподобного» предположения была достаточно очевидна, я и написал о «подозрении», а «логику» вывода, как не заслуживающую внимания, не стал приводить вообще.

    Ну а теперь ближе к ответу на Ваш вопрос, на который я так длинно отвечаю.
    Возможно, я неправильно понял те цели, которые Вы преследовали, открывая ветки с задачками.

    Если цель была развлекательная (ну вот интересные задачки – кто найдет ответ?), то мои придирки совершенно неуместны. Я-то, грешным делом, подумал, что цели в некотором смысле просветительские. То есть, демонстрация правильных решений (не ответов!), разбор ошибок в неправильных решениях, пусть и ведущих к правильному ответу и прочее. Посетили блога, читая все это, набирались бы ума-разума (речь не только об учениках, но и об учителях).

    Так вот, предложенное Вами решение, на мой взгляд – это некие правдоподобные рассуждения, которые – вот удача! – приводят к правильному ответу. Но это не доказательство (помним – речь идет о наборе школьных знаний)! Видимо ошибочно поняв Ваш замысел, я и приперся со своими тремя копейками. Прошу меня извинить, если что не так.

    ОтветитьУдалить
  23. Могу только повторить, что я Вашего философствования не понимаю. Зато стало понятным, что это именно голое философствование без какой-либо конкретики, и мне оно совсем неинтересно.

    Отвечать на этот комментарий не обязательно. :)

    ОтветитьУдалить