Показаны сообщения с ярлыком олимпиадные задачи. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком олимпиадные задачи. Показать все сообщения
15 апреля 2013 г.
Неупругий коллапс
Для желающих поразминать мозги предлагаю задачку про неупругий коллапс. Там сразу четыре задачки: первые три простые, последняя потруднее.
29 мая 2011 г.
Задачки на «Элементах»
На «Элементах» еженедельно добавляются задачки для самостоятельного решения, и среди них есть и мои задачки по физике. Для удобства обсуждения я завожу отдельный пост для комментариев и вопросов по задачкам.
3 января 2011 г.
Новогодняя задачка
Предлагаю пообсуждать такую вот новогоднюю задачку.
За новогодним ужином я сфотографировал отражение свечки в окне:
Окно — обычный двойной стеклопакет, и пламя в нем отразилось много раз. Для удобства изучения вот увеличенный фрагмент фото, на котором отмечены четыре серии отражений (большая картинка откроется по клику):
Задача: объяснить наблюдающиеся закономерности в яркости этих отражений.
За новогодним ужином я сфотографировал отражение свечки в окне:
Окно — обычный двойной стеклопакет, и пламя в нем отразилось много раз. Для удобства изучения вот увеличенный фрагмент фото, на котором отмечены четыре серии отражений (большая картинка откроется по клику):
Задача: объяснить наблюдающиеся закономерности в яркости этих отражений.
8 июня 2010 г.
7 июня 2010 г.
Задачка про колебания бруска
У меня тут на днях придумалась вот какая задачка по классической механике.
Начну с одной «стандартной» задачи (рис.1).
Эта задача может быть решена даже с помощью школьной механики. А вот теперь я дам задачу с условием как бы «наоборот» (рис.2).
Вообще у этой задачи есть решение при произвольном соотношении L и d, но для простоты будем считать, что L много больше d. Какие будут идеи?
Апдейт: раскрываю комментарии! См. также обсуждение этой задачи на форуме linux.org.ru.
Апдейт 2: с задачей справился Rostik. Решение задачи идет отдельным постом.
Начну с одной «стандартной» задачи (рис.1).
На закрепленном круглом бревне радиуса R покоится палочка длины 2L и пренебрежимо малой толщины. Проскальзывания между бревном и палочкой нет, т.е. трение бесконечное. Палочку чуть-чуть толкнули, и она начала колебаться около положения равновесия. Дано ускорение свободного падения g. Найти частоту малых колебаний палочки.
Эта задача может быть решена даже с помощью школьной механики. А вот теперь я дам задачу с условием как бы «наоборот» (рис.2).
На закрепленном круглом бревне пренебрежимо малого радиуса находится брусок длины 2L и ширины d. Трение между бревном и бруском отсутствует. Дано ускорение свободного падения g. Найти частоту малых колебаний около положения равновесия.
Вообще у этой задачи есть решение при произвольном соотношении L и d, но для простоты будем считать, что L много больше d. Какие будут идеи?
Апдейт: раскрываю комментарии! См. также обсуждение этой задачи на форуме linux.org.ru.
Апдейт 2: с задачей справился Rostik. Решение задачи идет отдельным постом.
17 ноября 2009 г.
Школьная задачка про LHC
А вот предлагаю попробовать свои силы в такой простенькой, но симпатичной школьной задачке про Большой адронный коллайдер.
На рисунке схематично изображено ускорительное кольцо LHC. В нем по двум очень близким трубам одинаковой длины летают встречные сгустки протонов. На кольце на одинаковом расстоянии друг от друга расположены восемь точек, в которых две трубы скрещиваются под маленьким углом, так что в этих точках сгустки могут сталкиваться (реально они сталкиваются не во всех восьми точках, но мы для простоты будем считать, что во всех). В каждом из двух встречных направлений мы запускаем несколько коротких сгустков (не обязательно поровну), причем все сгустки движутся с одинаковой скоростью.
Вопрос: какое минимальное число сгустков надо запустить в ускоритель и как именно их расположить относительно друг друга для того, чтобы во всех восьми точках происходили столкновения и причем с одинаковой частотой, равной один раз за цикл? (Цикл -- это время полного оборота сгустков по кольцу.)
Одно важное пояснение: после столкновений сгустки не исчезают, а просто пролетают дальше, т.к. реально в столкновениях сгустков сталкивается лишь по несколько протонов, а остальные миллиарды просто пролетают мимо.
Открыл комментарии на блогспоте. Правильный ответ -- 4 сгустка, по два в каждую сторону, например в точках 1,5 в одну сторону и 1,7 в другую. В комментариях есть подробные объяснения этого решения (в комментариях к ЖЖ-синдикату тоже). Это кстати совершенно реальная схема заполнения LHC на самых первых стадиях работы, см. например вот этот доклад, страница 12. Решившие эту задачу, можно сказать, приобщились к современной физике :)
Что лично мне понравилось в этой задаче -- это нарушение симметрии: ответ совсем не такой симметричный, как постановка задачи.
На рисунке схематично изображено ускорительное кольцо LHC. В нем по двум очень близким трубам одинаковой длины летают встречные сгустки протонов. На кольце на одинаковом расстоянии друг от друга расположены восемь точек, в которых две трубы скрещиваются под маленьким углом, так что в этих точках сгустки могут сталкиваться (реально они сталкиваются не во всех восьми точках, но мы для простоты будем считать, что во всех). В каждом из двух встречных направлений мы запускаем несколько коротких сгустков (не обязательно поровну), причем все сгустки движутся с одинаковой скоростью.
Вопрос: какое минимальное число сгустков надо запустить в ускоритель и как именно их расположить относительно друг друга для того, чтобы во всех восьми точках происходили столкновения и причем с одинаковой частотой, равной один раз за цикл? (Цикл -- это время полного оборота сгустков по кольцу.)
Одно важное пояснение: после столкновений сгустки не исчезают, а просто пролетают дальше, т.к. реально в столкновениях сгустков сталкивается лишь по несколько протонов, а остальные миллиарды просто пролетают мимо.
Открыл комментарии на блогспоте. Правильный ответ -- 4 сгустка, по два в каждую сторону, например в точках 1,5 в одну сторону и 1,7 в другую. В комментариях есть подробные объяснения этого решения (в комментариях к ЖЖ-синдикату тоже). Это кстати совершенно реальная схема заполнения LHC на самых первых стадиях работы, см. например вот этот доклад, страница 12. Решившие эту задачу, можно сказать, приобщились к современной физике :)
Что лично мне понравилось в этой задаче -- это нарушение симметрии: ответ совсем не такой симметричный, как постановка задачи.
13 февраля 2009 г.
Задачка по оптике
Вот вам на выходные задачка по физике :).
Как известно, даже самая четкая собирающая линза не может сфокусировать свет в точку -- в фокальной плоскости всё равно будет пятнышко размером порядка длины волны. Хорошо, мы сфокусировали свет в такое пятно, а потом перешли в систему отсчета, движущуюся с релятивистской скоростью вдоль оптической оси, в направлении движения света. Все поперечные размеры при этом остаются неизменными, но длина волны света во много раз увеличится из-за эффекта Доплера. Получается, нам удалось сделать пятно во много раз меньше длины волны электромагнитного излучения!
В чём тут подвох?
Как известно, даже самая четкая собирающая линза не может сфокусировать свет в точку -- в фокальной плоскости всё равно будет пятнышко размером порядка длины волны. Хорошо, мы сфокусировали свет в такое пятно, а потом перешли в систему отсчета, движущуюся с релятивистской скоростью вдоль оптической оси, в направлении движения света. Все поперечные размеры при этом остаются неизменными, но длина волны света во много раз увеличится из-за эффекта Доплера. Получается, нам удалось сделать пятно во много раз меньше длины волны электромагнитного излучения!
В чём тут подвох?
5 декабря 2008 г.
Задачка по математике из скетча Монти Пайтона
Смотрел недавно один скетч Монти Пайтона, про покупку кровати. И там в самом начале формулируется отличная задачка по математике, но только почему-то они ее не обыграли в полной мере (а может даже и не осознали). В общем, предлагаю эту задачку в небольшой переформулировке.
Пришел в магазин покупатель и спрашивает: сколько стоит кровать?
Первый продавец ему отвечает: 600 фунтов.
Покупатель удивляется, что очень дорого, но тут второй продавец ему говорит: "Знаете, у первого продавца есть особенность -- он все числа называет в 12 раз больше, чем они есть на самом деле. А в остальном он совершенно прав."
"Ну хорошо", говорит покупатель первому продавцу, "значит я понял, что кровать стоит 50 фунтов, поскольку Вы все увеличиваете в 12 раз".
Тот на это отвечает: "Это Вам кто сказал, мой напарник? Знаете, у него есть одна особенность -- он все числа преуменьшает в 3 раза. А так, в остальном он совершенно прав."
Вопрос: сколько стоит кровать на самом деле?
Update: поскольку люди ждут "авторского" ответа, то вот он -- 100 фунтов. Решение уже было приведено в комментариях.
Пришел в магазин покупатель и спрашивает: сколько стоит кровать?
Первый продавец ему отвечает: 600 фунтов.
Покупатель удивляется, что очень дорого, но тут второй продавец ему говорит: "Знаете, у первого продавца есть особенность -- он все числа называет в 12 раз больше, чем они есть на самом деле. А в остальном он совершенно прав."
"Ну хорошо", говорит покупатель первому продавцу, "значит я понял, что кровать стоит 50 фунтов, поскольку Вы все увеличиваете в 12 раз".
Тот на это отвечает: "Это Вам кто сказал, мой напарник? Знаете, у него есть одна особенность -- он все числа преуменьшает в 3 раза. А так, в остальном он совершенно прав."
Вопрос: сколько стоит кровать на самом деле?
Update: поскольку люди ждут "авторского" ответа, то вот он -- 100 фунтов. Решение уже было приведено в комментариях.
24 октября 2008 г.
По поводу олимпиадных задачек
После того, как я позадавал несколько задачек и почитал вопросы и ответы, я подумал, что будет полезно отдельно подчеркнуть одну вещь.
В формулировке задач используется свой специфический для школьной физики сленг. А именно, слова типа "много", "слабый" и т.д. на самом деле указывают на то, чем надо пренебрегать. Ну или более строго, какой предел надо рассматривать.
Например, если сказано "большое число шариков", то это значит, что требуется обращать внимание только на те явления, которые не исчезают при стремлении количества шариков к бесконечности (например, надо пренебрегать дрожанием чашки весов в задаче 5). Если сказано "тонкий диск", как в задаче 4, то это значит, что толщина ненулевая, но очень маленькая по сравнению с радиусом. Так что величинами, подавленными отношением d/R, можно пренебречь. Если сказано "полубесконечная цепочка зарядов", то имеется в виду очень длинная цепочка в пределе N, стремящемся к бесконечности.
Конечно, это не совсем строгий подход. Для настоящей строгости надо сначала доказать, что пределы существуют. И это кстати вовсе не так тривиально; существуют физические системы, где кое-какие пределы не существуют. Например, строго говоря, не существует термодинамики самогравитирующего газа; а недавно я писал про систему, в которой не существует адиабатического предела.
Но в школьных задачах по умолчанию считается, что преподаватель уже сам проверил, что предел существует и дал самосогласованное условие задачи. Этим можно пользоваться при решении.
В формулировке задач используется свой специфический для школьной физики сленг. А именно, слова типа "много", "слабый" и т.д. на самом деле указывают на то, чем надо пренебрегать. Ну или более строго, какой предел надо рассматривать.
Например, если сказано "большое число шариков", то это значит, что требуется обращать внимание только на те явления, которые не исчезают при стремлении количества шариков к бесконечности (например, надо пренебрегать дрожанием чашки весов в задаче 5). Если сказано "тонкий диск", как в задаче 4, то это значит, что толщина ненулевая, но очень маленькая по сравнению с радиусом. Так что величинами, подавленными отношением d/R, можно пренебречь. Если сказано "полубесконечная цепочка зарядов", то имеется в виду очень длинная цепочка в пределе N, стремящемся к бесконечности.
Конечно, это не совсем строгий подход. Для настоящей строгости надо сначала доказать, что пределы существуют. И это кстати вовсе не так тривиально; существуют физические системы, где кое-какие пределы не существуют. Например, строго говоря, не существует термодинамики самогравитирующего газа; а недавно я писал про систему, в которой не существует адиабатического предела.
Но в школьных задачах по умолчанию считается, что преподаватель уже сам проверил, что предел существует и дал самосогласованное условие задачи. Этим можно пользоваться при решении.
23 октября 2008 г.
Задачка 6
Вот следующая задачка, тоже по механике.
На горизонтальной плоскости под действием силы тяжести упруго прыгает материальная точка, причем подпрыгивает она на высоту h0. У этой точки есть также маленькая горизонтальная компонента скорости, так что точка не просто подпрыгивает, а постепенно сдвигается вдоль плоскости.
При своем движении эта точка достигает некоторого длинного участка, на котором поверхность уже не строго горизонтальна, а вначале очень плавно(*) уходит вниз, а затем снова выравнивается. Конкретная форма склона неизвестна; известно только, что перепад высот между начальной и конечной горизонтальными плоскостями составляет Δh и что угол наклона горки к горизонту всегда остается очень маленьким.
Вопрос: на какую высоту h будет подпрыгивать точка после прохождения этого участка?
На всякий случай поясню, что само Δh вовсе не маленькое и может быть порядка h0.
---------------
(*) "Очень плавно" означает, что угол наклона поверхности меняется очень медленно, т.е. на склоне нет никаких резких изломов, а тем более ступенек.
На горизонтальной плоскости под действием силы тяжести упруго прыгает материальная точка, причем подпрыгивает она на высоту h0. У этой точки есть также маленькая горизонтальная компонента скорости, так что точка не просто подпрыгивает, а постепенно сдвигается вдоль плоскости.
При своем движении эта точка достигает некоторого длинного участка, на котором поверхность уже не строго горизонтальна, а вначале очень плавно(*) уходит вниз, а затем снова выравнивается. Конкретная форма склона неизвестна; известно только, что перепад высот между начальной и конечной горизонтальными плоскостями составляет Δh и что угол наклона горки к горизонту всегда остается очень маленьким.
Вопрос: на какую высоту h будет подпрыгивать точка после прохождения этого участка?
На всякий случай поясню, что само Δh вовсе не маленькое и может быть порядка h0.
---------------
(*) "Очень плавно" означает, что угол наклона поверхности меняется очень медленно, т.е. на склоне нет никаких резких изломов, а тем более ступенек.
20 октября 2008 г.
Задачка 5
Поскольку народ реагирует более активно на задачки по механике, чем по электромагнетизму, предлагаю такую вот следующую задачу.
На двух чашках весов находится большое, но одинаковое количество идентичных шариков. Только на одной чашке они просто лежат, а на другой -- они беспорядочно подпрыгивают, абсолютно упруго ударяясь о дно чашки. Какая чашка весов перевесит?
Второй вопрос: как изменится ответ, если удары шариков о дно частично неупругие (т.е. при каждом ударе теряется какая-то небольшая, но фиксированная доля энергии)?
Update: открыл пришедшие ответы. Есть ли у читателей комментарии по поводу них? :)
На двух чашках весов находится большое, но одинаковое количество идентичных шариков. Только на одной чашке они просто лежат, а на другой -- они беспорядочно подпрыгивают, абсолютно упруго ударяясь о дно чашки. Какая чашка весов перевесит?
Второй вопрос: как изменится ответ, если удары шариков о дно частично неупругие (т.е. при каждом ударе теряется какая-то небольшая, но фиксированная доля энергии)?
Update: открыл пришедшие ответы. Есть ли у читателей комментарии по поводу них? :)
16 октября 2008 г.
Задачка 4
Вот следующая олимпиадная задачка -- на перенормировку массы :)
В однородном магнитном поле индукции B под действием силы тяжести падает "монетка" -- тонкий проводящий диск площади S, толщины d и массы m. Монетка незаряженная и немагнитная. Она падает ребром вниз, а магнитное поле расположено горизонтально и параллельно плоскости монетки. Сопротивление воздуха отсутствует.
С каким ускорением падает монетка?
Update. Итак, правильный ответ: a = g/(1+Δm/m), где Δm = B2Sd/4πc2 (в системе единиц СГС). Эту поправку (она равна удвоенной энергии магнитного поля внутри объема монетки, деленной на c2) можно интерпретировать как своего рода "добавку к массе", которая возникает из-за того, что монетка падает сквозь магнитное поле. Эта добавка сохранилась бы даже при нулевой массе самой монетки. По-моему, это неплохая (хоть и отдаленная) аналогия хиггсовского механизма.
Подробный ход решения привел в комментариях Rostik. Я только добавлю, что все решения были представлены через энергию, но полезно так же проследить, откуда берется дополнительная сила вверх. Как уже правильно сказали, в процессе падения монетка становится конденсатором, на обкладках которого возникает разность потенциалов, а значит и заряд. Этот заряд пропорционален скорости падения. Значит, если падение равноускоренное, то этот заряд будет равномерно расти, т.е. внутри монетки от одной плоскости к другой потечет ток, пропорциональный ускорению монетки. Этот ток взаимодействует с магнитным полем, и возникает сила вверх.
Для интереса можно порешать такую же задачку, но в которой магнитное поле направлено не строго горизонтально, а под некоторым углом к горизонту. Одними энергетическими соображениями ее уже, похоже, не решить.
В однородном магнитном поле индукции B под действием силы тяжести падает "монетка" -- тонкий проводящий диск площади S, толщины d и массы m. Монетка незаряженная и немагнитная. Она падает ребром вниз, а магнитное поле расположено горизонтально и параллельно плоскости монетки. Сопротивление воздуха отсутствует.
С каким ускорением падает монетка?
Update. Итак, правильный ответ: a = g/(1+Δm/m), где Δm = B2Sd/4πc2 (в системе единиц СГС). Эту поправку (она равна удвоенной энергии магнитного поля внутри объема монетки, деленной на c2) можно интерпретировать как своего рода "добавку к массе", которая возникает из-за того, что монетка падает сквозь магнитное поле. Эта добавка сохранилась бы даже при нулевой массе самой монетки. По-моему, это неплохая (хоть и отдаленная) аналогия хиггсовского механизма.
Подробный ход решения привел в комментариях Rostik. Я только добавлю, что все решения были представлены через энергию, но полезно так же проследить, откуда берется дополнительная сила вверх. Как уже правильно сказали, в процессе падения монетка становится конденсатором, на обкладках которого возникает разность потенциалов, а значит и заряд. Этот заряд пропорционален скорости падения. Значит, если падение равноускоренное, то этот заряд будет равномерно расти, т.е. внутри монетки от одной плоскости к другой потечет ток, пропорциональный ускорению монетки. Этот ток взаимодействует с магнитным полем, и возникает сила вверх.
Для интереса можно порешать такую же задачку, но в которой магнитное поле направлено не строго горизонтально, а под некоторым углом к горизонту. Одними энергетическими соображениями ее уже, похоже, не решить.
6 октября 2008 г.
Задачка 3
Следующая задачка на электростатику.
Имеется полубесконечная цепочка из одинаковых точечных зарядов, связанных нерастяжимыми (и незаряженными) нитями одинаковой длины. Известно, что сила натяжения первой нити T1, а второй -- T2. Найти силу натяжения третьей нити.
На всякий случай замечу, что эта задача переопределена (в ней дано больше, чем надо). На самом деле, зная лишь T1, можно найти все остальные силы натяжения. Но поскольку от школьников нельзя требовать знание дзета-функции Римана, то задачу приходится переопределять. Такая постановка задачи тоже имеет право на существование и она уже по силам школьнику.
Имеется полубесконечная цепочка из одинаковых точечных зарядов, связанных нерастяжимыми (и незаряженными) нитями одинаковой длины. Известно, что сила натяжения первой нити T1, а второй -- T2. Найти силу натяжения третьей нити.
На всякий случай замечу, что эта задача переопределена (в ней дано больше, чем надо). На самом деле, зная лишь T1, можно найти все остальные силы натяжения. Но поскольку от школьников нельзя требовать знание дзета-функции Римана, то задачу приходится переопределять. Такая постановка задачи тоже имеет право на существование и она уже по силам школьнику.
3 октября 2008 г.
Задачка 2
Чтобы не скучали те, кто решил предыдущую задачку, предлагаю задачу номер 2.
На полубесконечной наклонной плоскости с трением на одинаковом расстоянии друг от друга расставлены одинаковые кирпичи. Угол наклона плоскости подобран так, что каждый кирпич покоится, но от малейшего сдвига он начинает съезжать вниз с ускорением a. Вначале все кирпичи покоятся. Затем чуть-чуть сдвинули верхний кирпич, он поехал, столкнулся со вторым, затем они поехали, столкнулись с третьим и т.д. Все столкновения между кирпичами абсолютно НЕупругие.
Требуется найти установившееся(*) ускорение движущегося "поезда из кирпичей" спустя большое время.
-----------
(*) имеется в виду не мгновенное ускорение, а усредненное по нескольким столкновениям.
Update: маленькое замечание -- ответ НЕ равен a. В рассуждении "раз суммарная масса движущихся кирпичей становится очень большой, то они просто не замечают столкновений, а значит установившееся ускорение равно a" имеется изъян. :)
Update 2: товарищи отвечающие! Ваши комментарии приходят, но до поры до времени скрываются, чтобы не портить кайф тем, кто с одной стороны хочет порешать сам, но с другой стороны не может удержаться от соблазна подглядеть ответ :) Поскольку правильные ответы уже были, то я сегодня-завтра открою комментарии.
Update 3: комментарии открыл. Итак, правильный ответ -- a/3.
Решение.
Сразу введем для удобства массу одного кирпича m и расстояние между кирпичами d
(из окончательных формул эти величины исчезнут). Искомое установившееся ускорение обозначим буквой A.
Сначала предствим процесс физически. На движущиеся кирпичи суммарной массы M действует скатывающая сила, равная F=Ma (это проекция силы тяжести минус сила трения). Однако работа этой силы тратится не только на дальнейшее ускорение уже движущихся кирпичей, но и на придание скорости ранее покоившимся, но налепившимся спереди кирпичам. Поэтому следует ожидать, что получающееся ускорение кирпичей будет меньше, чем a.
Можно сказать и иначе: покоящиеся кирпичи, на которые натыкается "поезд", оказывают на него в среднем некоторую силу сопротивления. Она частично компенсирует скатывающую силу и уменьшает ускорение.
Теперь будем решать задачу в предположении, что при движении действительно устанавливается некоторое ускорение A. Тогда спустя достаточно большое время T скорость движущихся кирпичей будет равна
количество набранных кирпичей будет
масса поезда из кирпичей
и его импульс
Теперь запишем закон Ньютона:
Но скатывающая сила равна F = M a, откуда получаем, что искомое ускорение A = a/3.
Конечно, если быть совсем педантом, то вместо знаков равенства надо везде ставить "стремится при T, стремящемся к бесконечности". Но фраза в формулировке "спустя большое время" -- это такой физический жаргон, который и подразумевает, что нас интересует какая-то величина в пределе T, стремящемся к бесконечности.
А вот чуть иной ход вычисления:
Здесь ясно видно, что две трети работы скатывающей силы тратится на придание скорости покоившимся ранее грузам, и лишь одна треть -- на приращение скорости.
Кроме того, задачу можно решить и из энергетических соображений.
В принципе, на этом можно и остановиться (по крайней мере, для школьников), но всё же хорошо бы доказать, что установившееся ускорение действительно существует.
Для этого подумаем, какие независимые переменные есть в нашей задаче. Это M(t) и v(t). Если переписать приведенный выше ответ в такой форме
то становится понятно, что установившееся ускорение отвечает ситуации, когда M(t) и v2(t) растут пропорционально друг другу и причем в строгой пропорции. Если эта пропорция в какой-то момент времени нарушается, то и ускорение кирпичей A в согласии с этой формулой отличается от a/3. Наша задача -- показать, что A при этом не будет оставаться постоянным, а будет стремиться к a/3.
Имеем:
Дифференцируем по времени:
Подставляя выражение дле dM/dt, получаем
Из этой формулы и видно, что если A превышает a/3, то появляется тенденция уменьшить A (т.е. производная отрицательна), а если A не дотягивает до a/3, то тенденция наоборот, увеличить A.
В принципе, дифференцирования можно избежать, решая эту задачу "пошагово" -- просчитать скорости после первого столкновения, после второго столкновения и т.д., а потом найти предел. Но описанный выше подход более "сильный", он годится например и для случая, когда кирпичи расставлены не строго, а лишь примерно (в среднем) на одинаковом расстоянии.
На закуску предлагаю аналогичную задачу, но в трехмерном случае. Правда в отличие от задачи с кирпичами она не совсем физична.
Пусть в воздухе висит туман -- равномерно распределенные в пространстве одинаковые мельчайшие капельки воды. Сквозь туман под действием силы тяжести падает крупная капля. Весь туман, который попадается ей на пути, она абсолютно неупруго захватывает на себя и таким образом растет. Найти установившееся ускорение капли. Каплю считать строго сферической, сопротивлением воздуха при движении капли пренебречь.
На полубесконечной наклонной плоскости с трением на одинаковом расстоянии друг от друга расставлены одинаковые кирпичи. Угол наклона плоскости подобран так, что каждый кирпич покоится, но от малейшего сдвига он начинает съезжать вниз с ускорением a. Вначале все кирпичи покоятся. Затем чуть-чуть сдвинули верхний кирпич, он поехал, столкнулся со вторым, затем они поехали, столкнулись с третьим и т.д. Все столкновения между кирпичами абсолютно НЕупругие.
Требуется найти установившееся(*) ускорение движущегося "поезда из кирпичей" спустя большое время.
-----------
(*) имеется в виду не мгновенное ускорение, а усредненное по нескольким столкновениям.
Update: маленькое замечание -- ответ НЕ равен a. В рассуждении "раз суммарная масса движущихся кирпичей становится очень большой, то они просто не замечают столкновений, а значит установившееся ускорение равно a" имеется изъян. :)
Update 2: товарищи отвечающие! Ваши комментарии приходят, но до поры до времени скрываются, чтобы не портить кайф тем, кто с одной стороны хочет порешать сам, но с другой стороны не может удержаться от соблазна подглядеть ответ :) Поскольку правильные ответы уже были, то я сегодня-завтра открою комментарии.
Update 3: комментарии открыл. Итак, правильный ответ -- a/3.
Решение.
Сразу введем для удобства массу одного кирпича m и расстояние между кирпичами d
(из окончательных формул эти величины исчезнут). Искомое установившееся ускорение обозначим буквой A.
Сначала предствим процесс физически. На движущиеся кирпичи суммарной массы M действует скатывающая сила, равная F=Ma (это проекция силы тяжести минус сила трения). Однако работа этой силы тратится не только на дальнейшее ускорение уже движущихся кирпичей, но и на придание скорости ранее покоившимся, но налепившимся спереди кирпичам. Поэтому следует ожидать, что получающееся ускорение кирпичей будет меньше, чем a.
Можно сказать и иначе: покоящиеся кирпичи, на которые натыкается "поезд", оказывают на него в среднем некоторую силу сопротивления. Она частично компенсирует скатывающую силу и уменьшает ускорение.
Теперь будем решать задачу в предположении, что при движении действительно устанавливается некоторое ускорение A. Тогда спустя достаточно большое время T скорость движущихся кирпичей будет равна
количество набранных кирпичей будет
масса поезда из кирпичей
и его импульс
Теперь запишем закон Ньютона:
Но скатывающая сила равна F = M a, откуда получаем, что искомое ускорение A = a/3.
Конечно, если быть совсем педантом, то вместо знаков равенства надо везде ставить "стремится при T, стремящемся к бесконечности". Но фраза в формулировке "спустя большое время" -- это такой физический жаргон, который и подразумевает, что нас интересует какая-то величина в пределе T, стремящемся к бесконечности.
А вот чуть иной ход вычисления:
Здесь ясно видно, что две трети работы скатывающей силы тратится на придание скорости покоившимся ранее грузам, и лишь одна треть -- на приращение скорости.
Кроме того, задачу можно решить и из энергетических соображений.
В принципе, на этом можно и остановиться (по крайней мере, для школьников), но всё же хорошо бы доказать, что установившееся ускорение действительно существует.
Для этого подумаем, какие независимые переменные есть в нашей задаче. Это M(t) и v(t). Если переписать приведенный выше ответ в такой форме
то становится понятно, что установившееся ускорение отвечает ситуации, когда M(t) и v2(t) растут пропорционально друг другу и причем в строгой пропорции. Если эта пропорция в какой-то момент времени нарушается, то и ускорение кирпичей A в согласии с этой формулой отличается от a/3. Наша задача -- показать, что A при этом не будет оставаться постоянным, а будет стремиться к a/3.
Имеем:
Дифференцируем по времени:
Подставляя выражение дле dM/dt, получаем
Из этой формулы и видно, что если A превышает a/3, то появляется тенденция уменьшить A (т.е. производная отрицательна), а если A не дотягивает до a/3, то тенденция наоборот, увеличить A.
В принципе, дифференцирования можно избежать, решая эту задачу "пошагово" -- просчитать скорости после первого столкновения, после второго столкновения и т.д., а потом найти предел. Но описанный выше подход более "сильный", он годится например и для случая, когда кирпичи расставлены не строго, а лишь примерно (в среднем) на одинаковом расстоянии.
На закуску предлагаю аналогичную задачу, но в трехмерном случае. Правда в отличие от задачи с кирпичами она не совсем физична.
Пусть в воздухе висит туман -- равномерно распределенные в пространстве одинаковые мельчайшие капельки воды. Сквозь туман под действием силы тяжести падает крупная капля. Весь туман, который попадается ей на пути, она абсолютно неупруго захватывает на себя и таким образом растет. Найти установившееся ускорение капли. Каплю считать строго сферической, сопротивлением воздуха при движении капли пренебречь.
Задачка 1
Писать что-то серьезное о новостях науки сейчас времени нет, поэтому давайте я позадаю олимпиадные задачки по физике. :)
Начнем с такой задачи.
Две ровные стенки соединяются под углом α. Из бесконечности параллельно одной из стенок на расстоянии h от нее налетает точечная частица. Она влетает в угол, испытывает серию абсолютно упругих столкновений со стенками и вылетает из угла. На какое минимальное расстояние к вершине угла (точке, где стенки сходятся) приближается эта частица во время своего движения?
Силы тяжести нет.
Комментарии премодерируются. Поэтому правильные решения я публиковать не буду, а вопросы или неправильные решения -- буду. А через несколько дней дам ответ и скажу, кто правильно решил.
Update: поскольку решений много, в том числе и правильных, сегодня вечером (или когда найду в Польше интернет :) ) выложу комментарии.
Update 2: итак, правильный ответ -- h, вне зависимости от угла.
На всякий случай подчеркну, что требовалось найти именно минимальное расстояние от частицы до вершины угла по всей траектории, а не расстояние до ближайшего удара об стенку и не проекцию на стенку.
В принципе, эту задачу можно решить в лоб, вычисляя углы и расстояния при каждом отражении. В комментариях кто-то так и делал и получил при этом правильный ответ. Но ответ, не зависящий от угла, наводит на мысль, что должно быть и более короткое и "хитрое" решение.
Таких решений два, и именно благодаря им это всё же задача по физике, а не по математике. :)
Первое решение -- воспользоваться методом отражения, т.е. вместо того, чтобы отражать частицу, можно словно в зеркале многократно отразить угол, и тогда частица просто летит по прямой (см. объяснение от Rostik).
Второе "физическое" решение: заметим, что при каждом отражении сохраняется как модуль скорости, так и модуль момента импульса частицы относительно вершины угла. Всё -- отсюда следует, что в момент ближайшего пролета, когда вектор скорости частицы будет перпендикулярен вектору из угла на частицу, прицельный параметр будет тоже h. В принципе, именно это (правда другими словами) подметил Uri.
Остается загадкой, что де ответил Alexandr :)
Начнем с такой задачи.
Две ровные стенки соединяются под углом α. Из бесконечности параллельно одной из стенок на расстоянии h от нее налетает точечная частица. Она влетает в угол, испытывает серию абсолютно упругих столкновений со стенками и вылетает из угла. На какое минимальное расстояние к вершине угла (точке, где стенки сходятся) приближается эта частица во время своего движения?
Силы тяжести нет.
Комментарии премодерируются. Поэтому правильные решения я публиковать не буду, а вопросы или неправильные решения -- буду. А через несколько дней дам ответ и скажу, кто правильно решил.
Update: поскольку решений много, в том числе и правильных, сегодня вечером (или когда найду в Польше интернет :) ) выложу комментарии.
Update 2: итак, правильный ответ -- h, вне зависимости от угла.
На всякий случай подчеркну, что требовалось найти именно минимальное расстояние от частицы до вершины угла по всей траектории, а не расстояние до ближайшего удара об стенку и не проекцию на стенку.
В принципе, эту задачу можно решить в лоб, вычисляя углы и расстояния при каждом отражении. В комментариях кто-то так и делал и получил при этом правильный ответ. Но ответ, не зависящий от угла, наводит на мысль, что должно быть и более короткое и "хитрое" решение.
Таких решений два, и именно благодаря им это всё же задача по физике, а не по математике. :)
Первое решение -- воспользоваться методом отражения, т.е. вместо того, чтобы отражать частицу, можно словно в зеркале многократно отразить угол, и тогда частица просто летит по прямой (см. объяснение от Rostik).
Второе "физическое" решение: заметим, что при каждом отражении сохраняется как модуль скорости, так и модуль момента импульса частицы относительно вершины угла. Всё -- отсюда следует, что в момент ближайшего пролета, когда вектор скорости частицы будет перпендикулярен вектору из угла на частицу, прицельный параметр будет тоже h. В принципе, именно это (правда другими словами) подметил Uri.
Остается загадкой, что де ответил Alexandr :)
Подписаться на:
Сообщения (Atom)