7 июня 2010 г.

Задачка про колебания бруска

У меня тут на днях придумалась вот какая задачка по классической механике.

Начну с одной «стандартной» задачи (рис.1).
На закрепленном круглом бревне радиуса R покоится палочка длины 2L и пренебрежимо малой толщины. Проскальзывания между бревном и палочкой нет, т.е. трение бесконечное. Палочку чуть-чуть толкнули, и она начала колебаться около положения равновесия. Дано ускорение свободного падения g. Найти частоту малых колебаний палочки.

Эта задача может быть решена даже с помощью школьной механики. А вот теперь я дам задачу с условием как бы «наоборот» (рис.2).
На закрепленном круглом бревне пренебрежимо малого радиуса находится брусок длины 2L и ширины d. Трение между бревном и бруском отсутствует. Дано ускорение свободного падения g. Найти частоту малых колебаний около положения равновесия.

Вообще у этой задачи есть решение при произвольном соотношении L и d, но для простоты будем считать, что L много больше d. Какие будут идеи?

Апдейт: раскрываю комментарии! См. также обсуждение этой задачи на форуме linux.org.ru.

Апдейт 2: с задачей справился Rostik. Решение задачи идет отдельным постом.

22 комментария:

  1. Анонимный7/6/10 00:46

    так ведь упадет, если толкнуть!

    ОтветитьУдалить
  2. Вот, возникает первый вопрос: где тут вообще колебательное движение?! Ищите :)

    ОтветитьУдалить
  3. Самый простой вариант более-менее устойчивых колебаний - стоячие акустические волны, хотя для них данных не хватает. Тоже самое с упругим колебанием концов, если приподнять брусок и отпустить.

    ОтветитьУдалить
  4. Брусок абсолютно жесткий. Здесь есть колебательный режим именно в движении бруска как целого.

    ОтветитьУдалить
  5. Наверно колебательный режим осуществляется так:

    Точку опоры смещают на dx и приподнимают брусок за длинный конец на dy. Тогда за половину периода он съедет на -2dx и противоположный конец поднимется на dy.

    Как записывать уравнения я уже забыл :-(

    ОтветитьУдалить
  6. Да, получаются колебания, хотя равновесие и неустойчивое. Если брусок сместить вправо и наклонить влево, то силы будут действовать в нужном напрпавлении. Но чтобы брусок не упал, начальный толчок должен быть строго выверен. Частота получается как sqrt(g/sqrt(m/I)), где I момент инерции бруска относительно точки касания с бревном.

    ОтветитьУдалить
  7. 99% перевалится через правый или левый край бруска.

    ОтветитьУдалить
  8. Центр масс должен находиться точно над бревном, иначе колебаний не будет, а балка упадет. Т.к. трения нет, то ц.м. всегда будет точно над опорой.

    Полная энергия балки - это сумма кинетической энергии поступательного вертикального движения ц.м., кинетической энергии вращения балки относительно ц.м. и потенциальной энергии ц.м. в поле тяжести. Энергией поступательного движения можно пренебречь при малых колебаниях. Тогда получим:

    ω^2 = 6gd/(4L^2+d^2) → 3gd/2L^2.

    На самом деле, этот формальный ответ не совсем корректный, т.к. равновесие балки на опоре без трения неустойчиво - достаточно сместить центр масс на бесконечно малое расстояние от вертикали, проходящей через "бревно", и балка обязательно упадет. Правда, если это боковое смещение мало, балка успеет сделать некоторое число колебаний. Похожая некорректная задачка — найти частоту малых колебаний грузика, скользящего без трения по седловине.

    ОтветитьУдалить
  9. Анонимный7/6/10 10:15

    Может нужно мыслить обратным образом: рассматривать колебания бруска относительно полочки?

    ОтветитьУдалить
  10. Во-первых, надо разобраться с малыми. Малым тут является угол колебаний, высота бруска и диаметр бревна. Вопрос в том, будут ли малы или велики отношения этих малых.

    Во-вторых, учитывая, что брусок скользит, то тут больше степеней свободы. Фактически, бесконечно тонкое (или пренебрежимо? есть ли разница?) бревно фиксирует лишь одну точку на поверхности бревна; вообще можно считать что это не бревно, а скользкое острие. А там уж бревно может и вращаться, и ездить влево и в право. Что делает задачу сложной, т.к. есть как минимум 4D пространство состояний (сдвиг, угол + линейная и угловые скорости). В общем, сложно сказать, будет ли оно тут УСТОЙЧИВО. Даже просто замкнутую траекторию тут найти затруднительно, мне в голову таких не приходит.

    ОтветитьУдалить
  11. Анонимный7/6/10 11:28

    Кажется забыл указать, что такое I_0 ^-^.

    За I_0 принят момент инерции относительно середины длинного ребра.

    ОтветитьУдалить
  12. to sitlar: я неправильно понял вначале, что Вы имели в виду. Точка опоры на бруске смещается на dx, да? Тогда возражений нет. :)

    Тогда я сейчас другие ответы пооткрываю.

    ОтветитьУдалить
  13. Насколько я понял, может установиться такой колебательный режим, когда движение доски будет похоже на движение больших качелей (лодка). При этом центр инерции будет описывать траекторию, похожую на параболу.

    ОтветитьУдалить
  14. Да, я имел ввиду систему отсчета связанную с ЦМ бруска.

    ОтветитьУдалить
  15. > Т.к. трения нет, то ц.м. всегда
    >будет точно над опорой.

    Это не верно. На брусок действуют силы: сила тяжести (приложена к ЦМ и всегда вертикальна) и реакция опоры (приложена в точке, где брусок лежит на опоре, перпендикулярно скользкой поверхности). В сумме эти 2 силы и сдвигают, и поворачивают брусок с ненулевым ускорением. В итоге получаем весьма сложное движение, о котором писал выше.

    ОтветитьУдалить
  16. Единственные малые колебания, которые я могу представить во второй системе, похожи на колебания в первой, с заменой R на d. Так что и ответ будет соответствующим.

    ОтветитьУдалить
  17. Решение чуть подробнее:
    Выберем две координаты для системы - смещение центра бруска с точки опоры - x и угол наклона бруска к горизонтали - a.
    Выпишем уравнения движения оставив только члены первого порядка малости по x и a.
    x" = ga
    a" = mgx/I
    I - момент инерции бруска относительно опоры.
    В матричном виде:
    |x|" |0    g| |x|
    | |=|        |*| |
    |a| |mg/I 0| |a|

    Собственные числе этой матрицы: L = (+/-)g*sqrt(m/I)
    Положительное соответствует расходящемуся решению - соскальзыванию бруска. Отрицательное - колебательному движению. Круговая частота этих колебаний - корень из |L|, то есть w = sqrt(g*sqrt(m/I)).

    ОтветитьУдалить
  18. Анонимный9/6/10 09:16

    Надо сначала без выбрасывания членов выяснить, существуют ли периодические решения.

    ОтветитьУдалить
  19. Строго говоря, периодических решений нет, т.к. потенциальная энергия не имеет минимума.

    ОтветитьУдалить
  20. Анонимный9/6/10 13:20

    Отсутствие минимума потенциальной энергии не препятствует существованию периодических решений. Например, для грузика в седловине существуют периодические решения. Неустойчивые, но существуют! А какие имеются доводы, что для рассматриваемой здесь задачи существуют хотя бы какие-то периодические решения?

    ОтветитьУдалить
  21. Похожая задачка
    http://lanl.arxiv.org/abs/physics/0409154

    ОтветитьУдалить
  22. Да-да, я собирался дать ссылку на эту статью после решения.

    ОтветитьУдалить