tag:blogger.com,1999:blog-14655419.post4757781604241299376..comments2023-11-21T17:24:40.785+01:00Comments on Что интересного происходит в науке: Задачка про колебания брускаIgor Ivanovhttp://www.blogger.com/profile/00567251406214176660noreply@blogger.comBlogger22125tag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-8520077733597150502010-06-11T13:19:30.314+02:002010-06-11T13:19:30.314+02:00Да-да, я собирался дать ссылку на эту статью после...Да-да, я собирался дать ссылку на эту статью после решения.Igor Ivanovhttps://www.blogger.com/profile/00567251406214176660noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-18664158675021453962010-06-11T13:16:26.236+02:002010-06-11T13:16:26.236+02:00Похожая задачка
http://lanl.arxiv.org/abs/physics/...Похожая задачка<br />http://lanl.arxiv.org/abs/physics/0409154Иван Першинhttp://elementy.ru/blogs/users/lesnik/noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-86323015073156735162010-06-09T13:20:53.199+02:002010-06-09T13:20:53.199+02:00Отсутствие минимума потенциальной энергии не препя...Отсутствие минимума потенциальной энергии не препятствует существованию периодических решений. Например, для грузика в седловине существуют периодические решения. Неустойчивые, но существуют! А какие имеются доводы, что для рассматриваемой здесь задачи существуют хотя бы какие-то периодические решения?Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-22903255869775158682010-06-09T12:02:45.000+02:002010-06-09T12:02:45.000+02:00Строго говоря, периодических решений нет, т.к. пот...Строго говоря, периодических решений нет, т.к. потенциальная энергия не имеет минимума.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/17032028043728646126noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-30958193675461492882010-06-09T09:16:14.985+02:002010-06-09T09:16:14.985+02:00Надо сначала без выбрасывания членов выяснить, сущ...Надо сначала без выбрасывания членов выяснить, существуют ли периодические решения.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-37316105202895983062010-06-08T06:30:58.927+02:002010-06-08T06:30:58.927+02:00Решение чуть подробнее:
Выберем две координаты для...Решение чуть подробнее:<br />Выберем две координаты для системы - смещение центра бруска с точки опоры - x и угол наклона бруска к горизонтали - a.<br />Выпишем уравнения движения оставив только члены первого порядка малости по x и a.<br />x" = ga<br />a" = mgx/I<br />I - момент инерции бруска относительно опоры.<br />В матричном виде:<br />|x|" |0 g| |x|<br />| |=| |*| |<br />|a| |mg/I 0| |a|<br /><br />Собственные числе этой матрицы: L = (+/-)g*sqrt(m/I)<br />Положительное соответствует расходящемуся решению - соскальзыванию бруска. Отрицательное - колебательному движению. Круговая частота этих колебаний - корень из |L|, то есть w = sqrt(g*sqrt(m/I)).Rostikhttps://www.blogger.com/profile/06824747032900881740noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-56661086611986323822010-06-07T17:44:23.352+02:002010-06-07T17:44:23.352+02:00Единственные малые колебания, которые я могу предс...Единственные малые колебания, которые я могу представить во второй системе, похожи на колебания в первой, с заменой R на d. Так что и ответ будет соответствующим.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-20448294937184971942010-06-07T16:04:41.400+02:002010-06-07T16:04:41.400+02:00> Т.к. трения нет, то ц.м. всегда
>будет то...> Т.к. трения нет, то ц.м. всегда <br />>будет точно над опорой.<br /><br />Это не верно. На брусок действуют силы: сила тяжести (приложена к ЦМ и всегда вертикальна) и реакция опоры (приложена в точке, где брусок лежит на опоре, перпендикулярно скользкой поверхности). В сумме эти 2 силы и сдвигают, и поворачивают брусок с ненулевым ускорением. В итоге получаем весьма сложное движение, о котором писал выше.PavelSnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-83718492624916056402010-06-07T14:04:40.353+02:002010-06-07T14:04:40.353+02:00Да, я имел ввиду систему отсчета связанную с ЦМ бр...Да, я имел ввиду систему отсчета связанную с ЦМ бруска.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-40778192874346628392010-06-07T12:54:41.645+02:002010-06-07T12:54:41.645+02:00Насколько я понял, может установиться такой колеба...Насколько я понял, может установиться такой колебательный режим, когда движение доски будет похоже на движение больших качелей (лодка). При этом центр инерции будет описывать траекторию, похожую на параболу.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/15562053556345955826noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-89826461257223835262010-06-07T11:48:13.445+02:002010-06-07T11:48:13.445+02:00to sitlar: я неправильно понял вначале, что Вы име...to <b>sitlar</b>: я неправильно понял вначале, что Вы имели в виду. Точка опоры <b>на бруске</b> смещается на dx, да? Тогда возражений нет. :)<br /><br />Тогда я сейчас другие ответы пооткрываю.Igor Ivanovhttps://www.blogger.com/profile/00567251406214176660noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-29302227040336803922010-06-07T11:28:39.141+02:002010-06-07T11:28:39.141+02:00Кажется забыл указать, что такое I_0 ^-^.
За I_0 ...Кажется забыл указать, что такое I_0 ^-^.<br /><br />За I_0 принят момент инерции относительно середины длинного ребра.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-87678992684187055052010-06-07T11:25:19.442+02:002010-06-07T11:25:19.442+02:00Во-первых, надо разобраться с малыми. Малым тут яв...Во-первых, надо разобраться с малыми. Малым тут является угол колебаний, высота бруска и диаметр бревна. Вопрос в том, будут ли малы или велики отношения этих малых. <br /><br />Во-вторых, учитывая, что брусок скользит, то тут больше степеней свободы. Фактически, бесконечно тонкое (или пренебрежимо? есть ли разница?) бревно фиксирует лишь одну точку на поверхности бревна; вообще можно считать что это не бревно, а скользкое острие. А там уж бревно может и вращаться, и ездить влево и в право. Что делает задачу сложной, т.к. есть как минимум 4D пространство состояний (сдвиг, угол + линейная и угловые скорости). В общем, сложно сказать, будет ли оно тут УСТОЙЧИВО. Даже просто замкнутую траекторию тут найти затруднительно, мне в голову таких не приходит.PavelSnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-15587638970402616002010-06-07T10:15:57.398+02:002010-06-07T10:15:57.398+02:00Может нужно мыслить обратным образом: рассматриват...Может нужно мыслить обратным образом: рассматривать колебания бруска относительно полочки?Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-24216002060751397732010-06-07T10:13:40.533+02:002010-06-07T10:13:40.533+02:00Центр масс должен находиться точно над бревном, ин...Центр масс должен находиться точно над бревном, иначе колебаний не будет, а балка упадет. Т.к. трения нет, то ц.м. всегда будет точно над опорой.<br /><br />Полная энергия балки - это сумма кинетической энергии поступательного вертикального движения ц.м., кинетической энергии вращения балки относительно ц.м. и потенциальной энергии ц.м. в поле тяжести. Энергией поступательного движения можно пренебречь при малых колебаниях. Тогда получим:<br /><br />ω^2 = 6gd/(4L^2+d^2) → 3gd/2L^2.<br /><br />На самом деле, этот формальный ответ не совсем корректный, т.к. равновесие балки на опоре без трения неустойчиво - достаточно сместить центр масс на бесконечно малое расстояние от вертикали, проходящей через "бревно", и балка обязательно упадет. Правда, если это боковое смещение мало, балка успеет сделать некоторое число колебаний. Похожая некорректная задачка — найти частоту малых колебаний грузика, скользящего без трения по седловине.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/17032028043728646126noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-83594177618340749682010-06-07T09:21:44.251+02:002010-06-07T09:21:44.251+02:0099% перевалится через правый или левый край бруска...99% перевалится через правый или левый край бруска.malistovhttps://www.blogger.com/profile/04649550787635910346noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-83348075217805473692010-06-07T06:16:42.490+02:002010-06-07T06:16:42.490+02:00Да, получаются колебания, хотя равновесие и неусто...Да, получаются колебания, хотя равновесие и неустойчивое. Если брусок сместить вправо и наклонить влево, то силы будут действовать в нужном напрпавлении. Но чтобы брусок не упал, начальный толчок должен быть строго выверен. Частота получается как sqrt(g/sqrt(m/I)), где I момент инерции бруска относительно точки касания с бревном.Rostikhttps://www.blogger.com/profile/06824747032900881740noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-64517368343048488932010-06-07T02:23:39.750+02:002010-06-07T02:23:39.750+02:00Наверно колебательный режим осуществляется так:
Т...Наверно колебательный режим осуществляется так:<br /><br />Точку опоры смещают на dx и приподнимают брусок за длинный конец на dy. Тогда за половину периода он съедет на -2dx и противоположный конец поднимется на dy. <br /><br />Как записывать уравнения я уже забыл :-(Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-52522929343566693772010-06-07T01:36:44.395+02:002010-06-07T01:36:44.395+02:00Брусок абсолютно жесткий. Здесь есть колебательный...Брусок абсолютно жесткий. Здесь есть колебательный режим именно в движении бруска как целого.Igor Ivanovhttps://www.blogger.com/profile/00567251406214176660noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-8560061690613866302010-06-07T01:23:09.227+02:002010-06-07T01:23:09.227+02:00Самый простой вариант более-менее устойчивых колеб...Самый простой вариант более-менее устойчивых колебаний - стоячие акустические волны, хотя для них данных не хватает. Тоже самое с упругим колебанием концов, если приподнять брусок и отпустить.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-46101034485732846282010-06-07T00:56:53.484+02:002010-06-07T00:56:53.484+02:00Вот, возникает первый вопрос: где тут вообще колеб...Вот, возникает первый вопрос: где тут вообще колебательное движение?! Ищите :)Igor Ivanovhttps://www.blogger.com/profile/00567251406214176660noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-14655419.post-81076896427322440622010-06-07T00:46:34.263+02:002010-06-07T00:46:34.263+02:00так ведь упадет, если толкнуть!так ведь упадет, если толкнуть!Anonymousnoreply@blogger.com