1.
Вы же тут пишете что какой бы малой ни была бы ошибка на начальный момент, уже через несколько сотен миллионов лет будет совсем хаос. Но ошибки порядка машинного эпсилон не устранимы в принципе ... Т.е. поведение на дольших масштабах времени обусловлено не физикой, а ошибками округлений на начальный момент вычислений. Тогда не ясно какая научная ценность в таких рассчетах, если нет возможности оценить влияние ошибки вычислений: уже за пол миллиарда лет ошибки набегут настолько, что вся дальнейшая траектория станет одним сплошным "артефактом".
Хотя я в комментариях уже пояснял это, но наверно полезно еще раз подчеркнуть.
Вначале терминологическое пояснение. Под словом "траектория" тут понимается не траектория одной планеты, а как бы совокупная траектория всех планет. Если следить только за 8 планетами, то в каждый момент времени состояние Солнечной системы будет описываться 24 числами -- пространственными координатами этих планет, т.е. некоторой точкой в 24-мерном пространстве состояний Солнечной системы. Под "траекторией" понимается траектория этой точки в 24-мерном пространстве.
Теперь ответ на вопрос. Да, из-за экспоненциального разбегания изначально близких траекторий с ляпуновским показателем около 5 млн. лет нет никаких шансов рассчитать истинную эволюцию Солнечной системы на миллиардо-летнем масштабе. Траектория начинает хаотично диффундировать в доступной ей области многомерного пространства, и в какую сторону она удиффундирует -- неизвестно.
Что можно сделать в этой ситуации, так это примерно попытаться очертить эту доступную для хаотического диффундирования область.
Ведь наличие хаоса еще не означает, что планеты смогут двигаться как угодно -- в конце концов, законы сохранения энергии и углового момента никто не отменял. Поэтому доступная для хаотического диффундирования область будет низкоразмерной и скорее всего какой-то хитрой формы. Эту область желательно очертить, выяснить, какие траектории для нее типичны, а какие -- нет. Выяснить, в какую сторону диффундирование идет легче, а в какую -- труднее. Именно с этой целью и запускается сразу тысячи сеансов моделирования, которые вначале отличаются на совершенно мизерную величину -- они как бы "зондируют" доступную для диффундирования область. И эта область -- это уже довольно достоверная, не вероятностая характеристика Солнечной системы, а не артефакт численных расчетов. Её форма уже должна быть нечувствительна к погрешностям округления, и такие вещи действительно проверяют.
В последние годы эту область только-только начали ощупывать, поэтому никакой общей картинки привести пока не могут. Могут лишь "рассказать словами" о том или ином уголке этой области. Заголовок оригинальной статьи в Nature Physics, если его перевести на этот язык, будет звучать примерно так: "Доступная для 5-млрд.-летнего диффундирования область включает в себя так же и далекий уголок со столкновениями".
2.
...показал ссылку знакомому, вот его комментарий. А что тут комментировать, резонанса между Меркурием и Юпитером не может быть по определению, Солнце рядом...
Что ж, пришлось копнуть немножко вглубь.
Речь тут идёт не об орбитальных резонансах между Юпитером и Меркурием, а о резонансе между частотами прецессии перигелия орбит этих двух планет.
Цитирую по статье того же Жака Ласкара, "Chaotic diffusion in the Solar System", Icarus 185, 312–330 (2008); статья свободно доступна как епринт arXiv:0802.3371.
В нынешнюю эпоху перигелий Меркурия прецессирует со скоростью 5,59" за год. Из них 0,43"/год -- вклад ОТО. Перигелий Юпитера прецессирует со скоростью 4,257"/год, вклад ОТО пренебрежимо мал. Т.е. обе орбиты вращаются, совершая оборот примерно за 200 тыс.лет.
Скорости прецессии этих двух планет довольно близки уже сейчас, и поскольку с течением времени параметры всех орбит немного меняются, вполне может наступить ситуация, когда они сравниваются и довольно долго остаются почти одинаковыми. Это будет означать, что в течение длительного времени (очень много периодов вращения) эллипс юпитерианской орбиты будет находиться под почти постоянным углом к эллипсу меркурианской орбиты, и значит слабое влияние Юпитера будет накапливаться, а не усредняться. Так и получается раскачка эксцентриситета Меркурия.
Вот одно конкретное моделирование (т.е. одна конкретная траектория) из этой же статьи:
Здесь показан угол между направлениями перигелия Меркурия и Юпитера (угол показан по модулю 6π, а не 2π, просто для визуального удобства). Моделирование делалось в прошлое. Видно, что в период времени между -1284 и -1286 млн. лет (т.е. в течение двух миллионов лет!) этот угол оставался примерно постоянным. А вот что в это время происходило с эксцентриситетом Меркурия:
Видно, что именно в течение этих двух млн. лет его эксцентриситет раскачался с 0,4 до 0,8.
Кстати, из приведенных выше чисел по скорости прецессии видна роль ОТО. Если не учитывать поправки ОТО, то частоты прецессии становятся еще ближе, т.е. резонанс наступает гораздо охотнее. Это, по-видимому, и объясняет, почему без ОТО примерно половина траекторий вырабатывает очень большой эксцентриситет Меркурия, а с поправками -- всего около 1%.
Но все-таки, если не сложно, что про машинный эпсилон? Какая разрядность чисел была использована? Или это в данном случае несущественно?
ОтветитьУдалитьНесущественно. Подробности наверно можно найти в статьях Ласкара. Могу привести такое число: в ходе моделирования проверялось, насколько сохраняется полная энергия системы. Относительная флуктуация составляла порядка 10^(-10), а при опасных пролетах поднималась до 10^(-8).
ОтветитьУдалитьАналогия с диффузией, т.е. газом очень удачна. Т.е. методом стат.моделирования оцениваются статистические параметры "газа". Может, это мои суеверия, но теория вероятностей - ИМХО самая мутная из всех математических дисциплин. Т.е. вот к примеру заведомо некорректная задача: методом стат.моделирования оценивать вероятность что случайное число (с равномерным распределением) отрезка [0, 1] будет рациональным (другими словами, вычислить методом Монте-Карло меру рациональных чисел; моделирование покажет что угодно, но не правду). Потому как-то всякие попытки оценивать вероятность таким образом (на таких, "рваных", множествах) вызывают у меня внутренее чувство тревоги. Скорее всего это моя параноййя, но таки.
ОтветитьУдалитьМашинный эпсилон принципиального значения не имеет. Можно самому написать библиотеки для работы с числами с миллионом или триллионом знаков после запятой (только считаться все будет медленно :) ). Гораздо интереснее вопрос, насколько влияют погрешности в определении мировых констант (гравитационная постоянная, скорость света). Авторов статьи, наверное, это не слишком интересовало, и они, думается, делали все расчеты в системе единиц, где все константы равны 1 :). Это отдельная проблема, как влияют ошибки в значениях констант, а особенно в измерении текущих координат/скоростей, на возможность предсказания траекторий. С какой точностью предсказываются траектории реальных тел на периоде, скажем, сто тысяч лет ?
ОтветитьУдалитьПро резонанс опять не понятно. Почему Меркурий-Юпитер выделяются в отдельную систему, и не учитывается влияние прочих тел (в первую очередь Солнца) на резонансные явления в системе? Все равно что в системе 10 сцепленных маятников выбрать два, увидеть там резонансные частоты и заявить что этот резонанс будет наблюдаться.
ОтветитьУдалитьto Sergey Gagarin:
ОтветитьУдалитьАвторов статьи, наверное, это не слишком интересовало, и они, думается, делали все расчеты в системе единиц, где все константы равны 1 :).
Ну это Вы на них наговариваете. Они вынуждены оперировать честными единицами, т.к. задача этого требует.
Это отдельная проблема, как влияют ошибки в значениях констант, а особенно в измерении текущих координат/скоростей, на возможность предсказания траекторий.
Можете полистать статьи, благо многие из них есть в архиве епринтов. Наверняка числа там есть. Погрешности координат и скоростей очень малы, и покуда ошибки накапливаются линейно (т.е. покуда нет хаоса), это все под контролем.
Насчет констант действительно может возникнуть такой вопрос, особенно в свете того, что G известна всего лишь с относительной точностью 10^(-4). Но на самом деле нам нужна не сама G, а G, помноженная на массы планет. Вот эта величина известна с намного лучшей точностью, т.к. за планетами уже много лет следят и все эти параметры уже определили из нынешних наблюдений.
анонимному комментатору:
ОтветитьУдалитьтам учитывается воздействие всех на всех, и при честном счете никто ничего не отбирает, всё считается, как оно есть. Это уже потом, для того, чтобы качественно понять те или иные явления, заходит речь про резонансы. Ну да, в какой-то момент оказывается так, что орбиты Меркурия и Юпитера крутятся в фазе, т.е. возникает резонансное взаимодействие. С другими планетами у Меркурия резонанса не наступает, либо он очень слабый, поэтомувсе возмущения усредняются и не приводят к каким-то качественно новым эфектам.
На счет точности расчетов -- это правильное замечание. Неточности за счет машинного эпсилон могут накапливаться и пример тому многие модели в теории хаоса, когда некоторые вещи при численном моделировании или остаются недостижимыми (например устойчивые орбиты в этракторах) или наоборот пропущенными (например преход с одного решения на другое за счет конечного размера шага -- потому погоду очень тяжело расчитывать).
ОтветитьУдалитьВадим