28 апреля 2008 г.

Про нуклоны и принцип запрета Паули

В конце школы/начале университета, когда я уже знал про принцип запрета Паули и строение ядра, но еще не прошел настоящего курса квантовой механики, меня смущал такой момент. С одной стороны, утверждается, что протон и нейтрон можно представить себе как два проявления одной и той же частицы -- нуклона. Но нуклоны являются фермионами, поэтому по принципу запрета Паули два нуклона в одном и том же состоянии находиться не могут. Но с другой стороны, мы же знаем, что протон и нейтрон на самом деле разные частицы, поэтому принцип запрета Паули для протон-нейтронной пары -- не указ.

Конечно, после курса квантовой механики всё становится ясно; но мне кажется, объяснить выход из этого кажущегося противоречия можно и на "любительском" уровне. Попробую это сделать -- может быть, кому-то это и пригодится.

Возьмем протон или нейтрон, находящийся в ядре. У него есть какое-то пространственное состояние и спиновое состояние. Но если его рассматривать как нуклон, то у него появляется еще и третья характеристика -- изоспиновое состояние, которое характеризует его "протонность" или "нейтронность".

У одного нуклона есть два базисных изоспиновых состояния: p или n. У двух нуклонов есть 4 базисных изоспиновых состояния: pp, nn, pn и np. На этот набор удобно взглянуть под слегка иным углом и отклассифицировать эти состояния по их симметричности при замене первого нуклона на второй. Тогда возникают три симметричных состояния: pp, nn, (pn + np) и одно антисимметричное: (pn - np).

Перемешанные состояния надо понимать так: есть один протон и один нейтрон, но неизвестно, кто из двух частиц есть кто. Что значит знак плюс или минус на таком любительском уровне, мне кажется, не объяснишь; просто надо поверить, что эти плюс и минус имеют некоторый вполне конкретный смысл.

Решение парадокса заключается в четком понимании того, что именно запрещает принцип Паули. Он говорит, что два тождественных фермиона обязаны быть в антисимметричном состоянии при одновременном изменении всех своих переменных. То есть, он запрещает двум тождественным фермионам находиться в полностью одинаковом квантовом состоянии, но разрешает им быть одинаковыми по некоторым переменным -- при условии, что они антисимметричны по другим.

Два нуклона в ядре не могут находиться в симметричном состоянии сразу по всем трем характеристикам -- пространственной, спиновой и изоспиновой. Однако они могут быть симметричны по двум характеристикам, и антисимметричны по третьей. Например, они могут находиться в одинаковом координатном и спиновом состоянии, только в том случае, они антисимметричны по изоспиновому состоянию. А это бывает, только когда изоспиновое состояние (pn-np), т.е. для протон-нейтронной, но не для протон-протонной или нейтрон-нейтронной пары.

Вот так получается, что принцип Паули в применении к нуклонам вовсе не запрещает протону и нейтрону сидеть в одинаковом координатном и спиновом состоянии.

8 комментариев:

  1. Анонимный28/4/08 19:39

    Если два события происходят в одной и тоЙ же точке пространства и в одно и тоже время, то как их отличить друг от друга?

    ОтветитьУдалить
  2. Если эти события относятся к одним и тем же наблюдаемым, то это не два, а одно событие. Если они относятся к разным наблюдаемым, то вот оно и отличие. Вопрос, по-моему, какой-то сугубо терминологический; или Вы что-то более конкретное имели в виду?

    ОтветитьУдалить
  3. Alexander29/4/08 16:37

    Игорь! Вполне интересное и ясное замечание на интуитивном уровне. Только вот студенты (может только мои), не упустят возможности задать вопрос, что же означает этот самый знак плюс или минус в смешанных состояниях. То есть есть тенденция продолжить эту интуитивную нить рассуждений до самого конца.

    ОтветитьУдалить
  4. Александр, ну если это студенты любой естественнонаучной дисциплины, то им уже не грех и про волновую функцию рассказать -- именно она меняет знак.

    ОтветитьУдалить
  5. Спасибо. А не можете ли Вы популярно объяснить, почему не бывает ядер из двух нейтронов?

    ОтветитьУдалить
  6. Два нейтрона находятся в изоспин-симметричном состоянии. Поэтому смотрим на их спиновую и координатную волновую функции -- она должна быть антисимметричной.

    Это можно сделать либо когда спиновая функция симметрична (спин-триплетное состояние), и тогда координатная антисимметрична, или когда спиновая функция антисимметрична (спин-синглетное состояние), и тогда координатная симметрична.

    Симметричная координатная в.ф. -- это хорошо, это значит, она может быть S-волной. Антисимметричная координатная в.ф. -- это плохо, это значит, что будет минимум P-волна, а кинетическая энергия у нее выше, чем в S-волне, да и частицы находятся в среднем дальше друг от друга, т.е. взаимодействуют слабее. С другой стороны, спиновое взаимодействие между двумя нейтронами таково, что оно притягивает сильнее симметричные (спин-триплетные) спиновые состояния. Поэтому в целом получается, что в любом из двух вариантов потенциал притяжения между двумя нейтронами слабее, чем между протоном и нейтрноном в дейтроне (ведь там можно одновременно сделать S-волну и спин-триплетное состояние!).

    Ну и наконец вспоминаем факт и квантовой механики, что слишком слабый трехмерный притягивательный потенциал может оказаться недостаточным для образования связанного состояния. Сила притяжения должна превышать некоторый порог для этого. Вот в дейтроне этот порог превышен, а в нейтрон-нейтронной системе -- нет. Но этот порог очень, очень близок.

    ОтветитьУдалить
  7. Спасибо, я даже немножко понял идею рассуждений.

    А можно ли сказать, что время жизни состояния n-n (если корректно о нём говорить) не меньше времени жизни состояния p-p?

    ОтветитьУдалить
  8. У них нет времени жизни, они не являются даже квазистационарными уровнями. Они характеризуются длиной рассеяния, которая у обоих пар примерно равна -17фм. Различие между ними какое-то есть, но ошибки измерения (а точнее интерпретации) не позволяют пока сказать, чему она равна. См. например arXiv:0704.0443.

    ОтветитьУдалить