Решение задачки

Выкладываю отдельным постом решение задачки про колебание бруска.


Сначала — качественное обсуждение.

На первый взгляд кажется, что брусок упадет при любом отклонении от положения (неустойчивого) равновесия. И жизненная интуиция подсказывает, что отсутствующее трение только усугубляет проблему: без трения брусок может свалиться, как перевернувшись, так и просто соскользнув. Поэтому первый шаг к решению — это понять, где тут вообще колебание и представить его себе наглядно.

На самом деле, отсутствующее трение — такое, казалось бы, безобидное предположение — «расширяет» свободу движений бруска. Он теперь не просто качается на бревне, но и может скользить. То есть, у бруска есть две степени свободы. Это значит, что надо попытаться представить себе, что будет, если бруску придать эти два типа движения «в фазе» или «в противофазе». Немножко подумав, можно ощутить, что именно движение «в противофазе» имеет шанс быть колебанием.

На рисунке выже показаны три момента такого движения. Первая картинка — крайнее левое положение: брусок отклонился влево, но наклонился вправо, и в этот момент всё на мгновение замерло. Центр масс находится немножко левее точки опоры. В таком состоянии брусок стремится соскользнуть вправо и начать прокручиваться влево (т.е. против часовой стрелки). Через четверь периода он перейдет в симметричное состояние (средняя картинка), при котором у него будет угловая скорость вращения влево и линейная скорость смещения вправо. Затем еще через четверть периода он займет крайнее правое положение и на мгновение замрёт в нём, а затем снова начнет скользить-вращаться обратно.

Получается, что брусок не «колеблется», а — как удачно выразились на форуме linux.org.ru — «елозит» по бревну.

Еще один момент — про положение центра масс. Я пронаблюдал, что в трех разных местах независимо люди пришли к предположению о том, что центр масс всегда находится строго над точкой опоры, — и именно поэтому брусок н падает. В рамках этого предположения всё считается и получается некий ответ. Проблема только в том, что это предположение (казалось бы, такое «интуитивно-физическое») неверно.

Вот самый простой способ это понять. Если бы центр масс был строго над точкой опоры, то силя тяжести не создавала бы никакого вращательного момента сил. Сила реакции опоры тоже не может создать вращательный момент, поэтому никакого вращения никогда бы не было. Но брусок обязан вращаться! Апдейт: это был неправильный аргумент. Я имел в виду моменты сил относительно точки опоры, но смотреть их нужно относительно центра масс, а тут уже сила реакции опоры имеет плечо. Поэтому для простого пояснения лучше всего заметить, что у силы реакции опоры есть горизонтальная составляющая, и из-за неё центр масс не может всё время оставаться на вертикали, а будет смещаться вбок.

Наконец, замечание про устойчивость. Конечно, брусок может и упасть. В системе с двумя степенями свободы существует два независимых типа движения. Одно из них описано выше, а второе — когда сдвиг и наклон в одну сторону — приводит к тому, что брусок тут же падает. Поэтому для того, чтобы реализовать именно колебание, надо так выверенно толкнуть брусок в начальный момент времени, чтобы «раскачалось» только правильное, колебательное, движение, а амплитуда «убегающего» движения равнялась бы строго нулю. В реальном эксперименте этого, конечно, добиться нельзя. В результате даже микроскопически неправильное (например, на один размер атома) начальное отклонение будет экспоненциально нарастать, и брусок опрокинется максимум через пару периодов.

Количественное решение. Аккуратное решение состоит в стандартной последовательности: выбрать две координаты, характеризующие движение, честно записать кинетическую энергию и потенциальную энергию бруска, упростить выражения в предположении о том, что амплитуда движения много меньше размеров бруска, записать кинетическую и потенциальную энергию как квадратичные формы с матрицами M и K, составить матрицу M⁻¹K и найти собственные числа этой матрицы, которые и будут квадратами частоты колебания. Получив ответ, в нем можно уже сделать упрощение, что длина бруска 2L много больше его толщины, d.

Всё это аккуратно это написал в своем блоге Григорий Кирилин (правда, не через матрицы, а через уравнение четвертого порядка). А я здесь напишу решение попроще, сразу с учетом d << L. Это, конечно, нечестно, т.к. в ходе решения будет использоваться ответ (в том смысле, что я буду знать, где и чем можно пренебрегать), но зато формулы должны быть доступны и тем, изучал механику совсем чуть-чуть.

Вот брусок, выведенный из положения равновесия. Две координаты, которые характеризуют движение, это x, смещение вдоль бруска, и α, угол наклона. Именно они должны периодически и синхронно колебаться во времени. Обе эти величины считаются малыми; в частности, x << d.

Кинетическая энергия движущегося и вращающегося тела есть сумма кинетических энергий центра масс и вращения тела вокруг центра масс:

Момент инерции I для удобства запишем как ml₀² (для палочки длины 2L введенная здесь величина l₀ равна ). В предположении d << L скорость центра масс равна скорости изменения x (именно здесь заключается маленький обман: для этого вывода уже надо знать ответ). Поэтому кинетическую энергию можно записать как

Теперь удобно вместо угла α ввести переменную размерности длины:

Тогда кинетическая энергия будет совсем симметричной:

Потенциальная энергия (относительно положения равновесия) записывается просто:

Так как угол мал, можно разложить синус и косинус и записать

Опять пренебрегая d/L и заменяя угол на q, получим

Теперь можно сделать поворот на 45 градусов между x и q, введя две настоящие степени свободы бруска, не связанные друг с другом в этом приближении:

Тогда и кинетическая, и потенциальная энергия запишутся как суммы двух слагаемых: одно зависит только от q₁, другое — только от q₂:

Всё, вычисления закончены. Теперь смотрим на результат. Для координаты q₁ потенциальная энергия выглядит «правильным» образом: квадратично растет с отклонением q₁ от нуля. Это и есть нужное колебание. Его частота получается делением коэффициентов в потенциальной энергии и кинетической энергии:

. А вот для колебания типа q₂ потенциальная энергия квадратично убывает с ростом |q₂| — это неустойчивое движение, приводящее к опрокидыванию бруска. Поэтому для того, чтобы наблюдать колебания, надо сделать так, чтобы q₂=0, т.е. чтобы q=x. Если брусок вывести из положения равновесия так, чтобы это соотношение выполнялось, то брусок начнет колебаться.

Послесловие. Эту систему, конечно, можно изучать не только в пределе малых колебаний, но правда при больших отклонениях формулы становятся существенно нелинейными. Кстати, эта же самая система изучалась вот в этой статье: physics/0409154.

А еще у этой задачи есть «практическая» польза. Представьте себе, что в вас бросили копье, а у вас для защиты нет ничего, кроме другого такого копья. Зато вы можете аккуратно рассчитать движение копья и свою реакцию. Так вот, когда копье будет подлетать к вам, вы сможете (держа свое копье вертикально вверх двумя руками) так провести им из стороны в сторону, что вражеское копье опишет похожую траекторию скольжения-вращения древку вашего копья, развернется и улетит обратно. Так можно отражать летящие на вас копья :) Для человека это, конечно, нереально, но какой-нибудь робот с быстрой реакцией вполне может справиться с этой задачей.

Update: для пущей визуализации выкладываю анимацию, сделанную Александром Макушкиным (за что ему спасибо!). Движущаяся картинка откроется по клику.