8 октября 2009 г.

Квазичастицы с неабелевой статистикой

Вот, кстати, еще один пример плодотворного сотрудничества между разными разделами физики, а конкретно, между теоретической физикой элементарных частиц и физикой конденсированных сред, про которое я писал не так давно. Эксперименты, проведенные в последние год-два, похоже, подтверждают идею (пришедшую из квантовой теории поля) о том, что в некоторых конденсированных средах могут реализоваться совершенно экзотические неабелевы фазы. В этих фазах квазичастицы обладают не просто дробной (т.е. не-бозонной и не-фермионной), а неабелевой статистикой.

Бозоны и фермионы
Начну издалека. Обычные элементарные частицы, как известно, распадаются на два класса -- бозоны и фермионы. Если взять два идентичных фермиона и переставить их местами, то их коллективная волновая функция останется такой же, но только поменяет знак. Для бозонов еще проще -- волновая функция не изменится вообще. Выражаясь математическим языком, на системе из тождественных частиц действует группа перестановок, и бозоны/фермионы реализуют симметричное или антисимметричное представление этой группы.

Откуда берется то, что волновая функция при перестановке домножается либо на 1, либо на -1, и никаких других вариантов? Это берется из того, что одна и та же перестановка, выполненная два раза подряд, эквивалентна тривиальной перестановке (т.е. все частицы остаются на своих местах). Поэтому при однократной перестановке мы должны домножать на число, которое в квадрате даст единицу.

Если быть совсем педантом, то надо уточнить, что значит "переставить частицы". И объяснить, почему считается, что двойная перестановка эквивалентна тривиальной перестановке.

А это, оказывается, не совсем простой вопрос. Можно перестановку определить так: мы одновременно берем и непрерывно перемещаем обе частицы по какому-то пути так, чтоб в конце пути они встали на места друг друга. Однако затем надо доказывать, что результат не зависит от того, по какому именно пути мы перемещали частицы, т.е. что все пути эквивалентны. Это действительно так, и связано это с тем, что в обычном трехмерном пространстве любой замкнутый путь "вокруг точки" можно непрерывно стянуть в "точечный путь", т.е. в "стояние на месте", не задевая при этом вторую точку.

Энионы

Так вот, всё это перестает работать в двумерном мире, на плоскости. В двумерном мире очень тесно, там очень мало свободы для деформации путей. Собственно, у нас есть только два типа перемещений при перестановке: обходить вторую частицу слева или справа. Отсюда также следует, что замкнутый путь "вокруг точки" нельзя стянуть в "стояние на месте", не пересекая точку. А также то, что двойная перестановка вовсе не эквивалентна тривиальной.

В итоге нарушается требование, чтобы квадрат числа, на которое мы умножаем волновую функцию, давал единицу. Но это означает, что при перестановке двух тождественных частиц, живущих на плоскости, волновая функция может домножаться на любой фазовый множитель. Такие объекты называются энионами (anyons) -- у них статистика не бозонная, и не фермионная, а "any"-онная. (См. также новость А.Левина Квантовое беззаконие: Исключительные частицы.)

Математически, такая статистика отвечает не группе перестановок, а группе кос -- это как бы перестановки, для которых важна "топология переставления". На основании энионов даже предлагается построить топологический квантовый компьютер, который из-за своей топологической природы должен быть намного более толерантным к помехам и ошибкам, чем "обычный" квантовый компьютер (см. большую популярную статью Узелковый квантовый компьютер).

Неабелева статистика

Оказывается, энионы -- еще не самый экзотический вид квантовой статистики. В 1991 году был предложен новый тип квазичастиц с неабелевой статистикой; авторы назвали такие частицы "неабелионы" (nonabelions).

Неабелева статистика означает, что если у нас есть несколько тождественных частиц, то перестановки в разных парах не обязательно коммутируют друг с другом. Такое может быть, только если перестановка двух частиц приводит не просто к фазовому множителю, а вообще изменяет волновую функцию состояния. В принципе, в группе кос такие ситуации вполне реализуются; с точки зрения физики надо только, чтобы основное состояние системы квазичастиц было не единственным, а вырожденным.

И вот в последние годы накапливаются свидетельства в пользу того, что именно такая экзотическая ситуация реализуется во вполне конкретной системе -- электронной жидкости в режиме дробного квантового эффекта Холла с фактором заполнения 5/2. В пошлом году было показано экспериментально, что элементарные возбуждения при этом значении фактора заполнения имеют дробный заряд e/4 (см. новость на ПерсТе). Уже в этом году появлись новые интерферометрические данные, а сейчас вот в Phys.Rev.B вышла статья, их анализирующая и склоняющаяся к тому, что квазичастицы с неабелевой статистикой действительно обнаружены экспериментально. В журнале Physics по этому поводу появилась около-популярная статья про эту работу, которую я и рекомендую заинтересовавшимся.

14 комментариев:

  1. Анонимный8/10/09 09:05

    Как Вы считаете, каким образом размеры частиц (пусть характерным размером будет комптоновская длина волны) влияют на поведение общей волновой функции?

    ОтветитьУдалить
  2. Отклонения от привычной схемы бозоны/фермионы ищутся и для обычных частиц - как малые нарушения принципа Паули, приводящие к переходам фермионов на заполненные нижележащие оболочки в ядрах и атомах.

    ОтветитьУдалить
  3. анонимному комментатору: не совсем понятно, про что именно Вы спрашиваете, про какое поведение? И имеете в виду обычные частицы, энионы или коллективные возбуждения в двумерной электронной жидкости?

    Владу: ну, искать-то их может и ищут, но это наверняка из той же серии, что и поиски электрического заряда или массы фотона. Т.е. проверять экспериментально надо всё, но вряд ли кто-то рассчитывает, что отклонение реально обнаружится. А тут вовсе не маленькое отклонение, а вообще иная природа квазичастиц.

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный9/10/09 15:29

    "обычные частицы"

    ОтветитьУдалить
  5. Что поделать, есть люди (и я среди них), находящие извращённое удовольствие в установлении всё более сильных верхних ограничений на вероятности невозможных процессов :) Вот теоретики придумают, почему обычные (не квази)частицы могут изредка вести себя как неабелионы, а тут и наши результаты понадобятся, чтобы их теориям кислород перекрыть. Кстати, не-абелевой статистике должны подчиняться аксионные струны, см. http://arxiv.org/abs/hep-th/0307005

    ОтветитьУдалить
  6. анонимному комментатору: Коллективная волновая функция определяет всё про частицы; если частицы не точечны, то это тоже включено в волновую функцию.

    Владу:
    > ... Вот теоретики придумают, почему обычные (не квази)частицы могут изредка вести себя как неабелионы, а тут и наши результаты понадобятся, чтобы их теориям кислород перекрыть.

    Это называется превентивный удар по теоретикам :)

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный11/10/09 16:32

    Я не вполне понял рассуждения о "перестановке" частиц местами. Насколько я понимаю, в квантовой механике нет речи о месте положения частиц. Есть волновая функция, заданная на пространственно-временных координатах, и она определяет распределение вероятностей в спектре того или иного оператора, ассоциированного с какой-то интересующей нас физической величиной.
    Мне хочется понять, что все-таки имеется ввиду, когда говорят, что частицы меняют местами, ведь фактически, в задаче с N частицами мы имеем одну волновую функцию, заданную на (3N+1)-мерном пространстве (пусть). Интуитивно кажется, что должно говорить о каком-то преобразовании области определения с сопутствующим изменением функции. Однако тут сразу возникают подозрения о негладкости такового преобразования со всеми вытекающими.
    Я, наверное, путано излагаю, но надеюсь, что как-то сумел передать смысл своего недоумения.

    ОтветитьУдалить
  8. > Мне хочется понять, что все-таки имеется ввиду, когда говорят, что частицы меняют местами...

    Всё очень просто. Двухчастичная волновая функция в координатном представлении -- это Psi(r1,r2). Перестановка частиц -- это перевод этой в.ф. в Psi(r2,r1). Можно взглянуть и иначе: если вместо координат частиц r1 и r2 ввести сумму и разность, то перестановка -- это преобразование координат, при котором разность меняет знак, а сумма неизменна.

    ОтветитьУдалить
  9. Насчет областей определения. Ну, обычно волновые функции определены во всем пространстве. В модельных задачах с жесткими стенками можно, конечно, рассматривать ситуации, когда область определения в.ф. не совпадает со всем пространством, но тогда она должна быть одинаковой для обоих частиц. В ситуациях, когда одна частица "живет" в одной области, а другая -- в другой, перестановка частиц, конечно, не определена. Но для тождественных частиц таких ситуацих не возникает.

    ОтветитьУдалить
  10. >Это называется превентивный удар по теоретикам :)

    Зачем экспериментаторы читают hep-th и hep-ph в arXive? С целью найти очередной полёт теоретической фантазии и цинично оборвать этой бабочке крылышки грубыми мозолистыми лапами. :)

    ОтветитьУдалить
  11. В общем,как я понял,ничего там толком не известно, и всё может быть...

    ОтветитьУдалить
  12. > ... ничего там толком не известно, и всё может быть...

    Жаль, что Вы именно так поняли. Я как раз пытался рассказать, что известно толком многое, и что возможно не всё, а лишь определенные сочетания вариантов.

    По-моему, можно даже сказать, что физика как раз и занимается тем, что при кажущемся "в мире возможно всё" выискивает то, что на самом деле в нем возможно.

    ОтветитьУдалить
  13. Благодарю за быстрый и точный ответ.Обязательно перечитаю ещё раз.И повнимательнее.

    ОтветитьУдалить
  14. >По-моему, можно даже сказать, что физика как раз и занимается тем, что при кажущемся "в мире возможно всё" выискивает то, что на самом деле в нем возможно.<
    И не только по-Вашему.Так оно и есть в действительности.Правда,физика занимается не только этим...

    ОтветитьУдалить