Связанное состояние в двумерном точечном потенциале - 3

В прошлый раз мы попытались решить двумерное уравнение Шредингера с потенциалом в виде притягивательной 2D дельта-функции, и пришли к заключению, что связанного состояния в нем нет. Однако препятствие выглядело настолько мелким и техническим, что возникает желание слегка изменить определение точечного потенциала (т.е. использовать не дельта-функцию, а что-то иное), и тогда задача должна решиться.

Именно это мы сейчас и проделаем.

Переформулировка задачи

Вспомним, с чего мы начинали. Мы хотели научиться описывать связанные состояния в двумерном потенциале нулевого радиуса. Мы предположили, что такой потенциал можно описать дельта-функцией -Gδ⁽²⁾(r) с некоторым конечным G. Но дельта-функция подразумевает вполне конкретный предельный переход. Попробуем тогда переформулировать задачу так: мы хотим найти такой предельный переход, который по-прежнему дает потенциал нулевого радиуса, по при этом в котором всё хорошо вычисляется.

Для того, чтобы сделать это, начнем с приема, который называется регуляризацией. Мы вводим в задачу некоторый параметр, из-за которого все промежуточные формулы становятся регулярными, корректно определенными с математической точки зрения. Мы вычисляем те физические наблюдаемые, которые хотим, а потом делаем предельный переход -- устремляем параметр регуляризации к своему предельному значению так, чтобы в итоге восстановился старый метод вычисления. При этом мы будем внимательно следить за поведением ответа, т.е. физической наблюдаемой, и постараемся понять, что нам надо сделать с задачей, как ее переформулировать, чтобы ответ стремился к конечному, физически осмысленному значению.

После выполнения предельного перехода некоторые промежуточные величины становятся бесконечными (т.е. неопределенными), но это не должно нас беспокоить, поскольку эти величины ненаблюдаемы. Это вполне отвечает духу квантовой механики, в которой мы получаем право манипулировать с промежуточными величинами, не отвечающими никаким наблюдаемым. Главное, чтобы манипуляции были однозначными и чтобы наблюдаемые были хорошо определены.

Имеется множество способов регуляризовать нашу задачу. Рассмотрим самый простой с вычислительной точки зрения способ -- регуляризация в импульсном представлении. Сводится она к простому правилу: все интегралы по модулю импульса тянутся на верхнем пределе не до бесконечности, а до некоторого очень большого значения Λ, которое много больше (неизвестной пока, но конечной) κ. В этом случае интеграл I₂(κ) становится хорошо определенным:

и в результате возникает связь между κ и g:

Это позволяет нам "найти" энергию связанного состояния:

Впрочем, в таком виде ответ не годится: энергия связанного состояния выражена не только через параметры задачи, но и через вспомогательный регуляризационный параметр Λ. При снятии регуляризации (устремлении Λ к бесконечности) энергия стремится к бесконечности.

Перенормировка константы связи

Исправить этот недостаток можно с помощью требования, чтобы параметр g, описывающий "силу притяжения", не был фиксированным, а сам бы менялся с параметром регуляризации: g→g_Λ. Причем мы хотим, чтобы он зависел от Λ таким образом, чтобы в конечном выражении для энергии связи вся зависимость от этого вспомогательного нефизического параметра исчезла.

Но величина g_Λ безразмерна, и поэтому если мы хотим сделать ее зависящей от размерного параметра Λ, то нам неизбежно придется вводить еще один размерный параметр (назовем его μ), так чтоб g_Λ зависела только от отношения Λ/μ.

Можно легко убедиться, что для того, чтобы Λ исчезла из окончательного ответа, можно выбрать g_Λ в следующем виде:

Такая форма 1/g_Λ содержит "расходящуюся" часть (которая будет стремиться к бесконечности при снятии регуляризации) и конечную часть, которую мы выразили через новую букву g_R. Эта величина называется перенормированной константой связи, в отличие от g_Λ, параметра, стоявшего в потенциале, который принято называть неперенормированной, или затравочной константой связи. (Словосочетание "константа связи" в данной задаче просто означает связь частицы с внешним потенциалом, т.е. "силу", с которой она цепляется к точечной потенциальной яме.)

Стоит отметить, что g_R не определена однозначно, а зависит от выбора μ: увеличение и уменьшение μ можно скомпенсировать изменением g_R, и это по-прежнему будет та же самая формула для g_Λ.

Если это выражение подставить в формулу для энергии связи, то действительно вся зависимость от Λ исчезает, и получится ответ:

Этот ответ не зависит от Λ, а значит, он "выживает" и при снятии регуляризации Λ→∞.

Осталось понять, какой физический смысл имеет выбранная нами процедура регуляризации. То, что мы не хотим включать компоненты с импульсами выше Λ, означает, что мы "не различаем" пространственные осцилляции с длиной волны меньше, чем 1/Λ. Так получится, если мы будем реально работать не с настоящим точечным потенциалом, а с потенциалом, сглаженным на масштабах 1/Λ. В импульсном УШ вместо константы gψ(0) у нас будет стоять честный фурье-образ потенциала, т.е. некоторая функция от импульсов, которая остается константой вплоть до импульсов порядка Λ, а затем резко спадает до нуля. Она-то и эффективно ограничивает область интегрирования в определении I₂(κ).

Общая картина

Сведем теперь воедино то, что мы сделали.

Итак, мы решаем задачу о поиске связанного состояния в потенциале:

где g_Λ(g_R;μ) задается выписанной выше формулой, а f_Λ(r) -- некая компактная функция с характерной протяженностью порядка 1/Λ и с единичным интегралом. В пределе Λ→∞ она стремится к двумерной дельта-функции, но из-за стоящей впереди величины g_Λ(g_R;μ), которая стремится к нулю, в целом дельта-функционного потенциала не получается. Получается другой притягивательный потенциал нулевого радиуса, который в некотором вполне конкретном смысле чуть-чуть слабее дельта-функции.

Этот потенциал по построению зависит от перенормированной константы связи g_R и от размерной величины μ. Это свободные (и взаимосвязанные) параметры задачи: мы задаем эти числа, а затем строим через предельный переход потенциал, который на них опирается. Построенный потенциал не является просто какой-то функцией, и не сводится к дельта-функции, это объект из более широкого класса. Однако в такой задаче уже имеется связанное состояние с некоторой конечной энергией, которая выражается через g_R и μ. Это связанное состояние надо вычислять до выполнения предельного перехода (так что обозначение предела в формуле выше является чисто символическим), и только после этого выполнять предельный переход в полученном ответе.

Стоит еще раз подчеркнуть необычность переформулировки задачи. Обычно, когда мы формулируем задачу, мы подразумеваем, что все величины в ней уже имеют физический смысл ("Пружинка массы m жесткости k ..."). В квантовой механике это обычно тоже работает -- и потенциал, и масса частицы обычно наблюдаемы. А тут мы вынуждены для корректной формулировки задачи использовать некую величину, которая точно не является наблюдаемой (g_Λ). Такая ситуация как раз характерна для физики элементарных частиц.

Именно таким образом нам удается решить исходную задачу, т.е. построить математическую модель двумерного точечного потенциала со связанным состоянием.

Это решение может породить ощущение неудовлетворенности: мы не вычислили энергию связи, а фактически заложили ее в формулировку задачи, в определение потенциала. Это ощущение, однако, исчезает после того, как мы обратимся к другим задачам, связанным с этим потенциалом. Скажем, можно теперь изучать рассеяние налетающих частиц на этом потенциале. Безразмерная амплитуда рассеяния в s-волне должна как-то зависеть от энергии частиц. Если бы у нас была "чистая" дельта-функция, у нас не имелось бы в распоряжении никаких обезразмеривающих параметров, и значит, не было бы возможности построить конечную амплитуду рассеяния. Сейчас же, при правильной формулировке, такой параметр есть, так что амплитуда рассеяния будет зависеть от безразмерного отношения энергии налетающей частицы и энергии связанного состояния. Таким образом, мы действительно смогли построить модель, в которой можно вычислять физические наблюдаемые.

Нарушение масштабной инвариантности

Еще полезно заметить вот что. В прошлый раз мы обратили внимание, что УШ с "чистой" 2D дельта-функцией обладает масштабной инвариантностью. В результате, если бы какая-то конечная ненулевая энергия E являлась собственным числом гамильтониана, то и любая другая конечная ненулевая E' тоже бы была бы собственным значением. Т.е. получился бы непрерывный спектр отрицательных собственных значений, отвечающих связанным состояниям!

Так вот, в описанной выше переформулировке задачи мы вынуждены для корректного определения вводить размерный параметр μ. Он закладывается в потенциал, и он приводит к тому, что масштабная инвариантность потенциала пропадает. В результате, только что выписанный аргумент уже не работает, и никакого непрерывного спектра (в отрицательной области энергий) не получается.

Явление неизбежного возникновения размерного параметра в казалось бы безразмерной задаче называется размерной трансмутацией. Оно играет ключевую роль в современной теории сильных взаимодействий, КХД. Там тоже все начинается лагранжиана, содержащего только безразмерные параметры. Однако затем оказывается, что просто так формулой его не задашь, требуется его доопределять, и тут-то и возникает соответствующий размерный параметр.

Явление нарушения исходной симметрии задачи в процессе регуляризации и перенормировки называется аномалией. Аномалии тоже играют важную роль в современной физике элементарных частиц.

Вообще, в этой квантовомеханической задаче приходится использовать на удивление много приемов, которые характерны именно для квантовой теории поля, на которой базируется теоретическая физика элементарных частиц.

Литература

Имеется довольно большая литература, посвященная различным схемам регуляризации и другим математическим тонкостям в этой и других подобных задачах (в задачах с масштабно-инвариантными или с сингулярными потенциалами). Мое изложение близко к статье R.Jackiw, Delta function potentials in two-dimensional and three-dimensional quantum mechanics, из сборника Diverse topics in theoretical and mathematical physics, 1991 (по этой ссылке доступны сканы полного текста статьи). Эту статью можно порекомендовать для следующего "раунда" погружения в проблему.

Есть также относительно недавняя статья H.E.Camblong, C.R.Ordonez, Renormalized Path Integral for the Two-Dimensional Delta-Function Interaction, Phys.Rev. A65 (2002) 052123 (она же hep-th/0110176), в которой развивается подход к ней с помощью интегралов по путям, а кроме того, там есть много ссылок на более ранние работы.

В статье R.Jackiw описан также и другой, более строгий с математической точки зрения подход к этой проблеме -- через самосопряженные расширения. Насколько я понял, с вычислительной точки зрения этот подход полностью эквивалентен более физическому подходу с перенормировкой, но он позволяет избежать манипулирование расходящимися при снятии регуляризации выражениями. Этот подход начался с работ Березина и Фаддеева, и сейчас есть целая книга S.Albeverio et al, "Solvable Models in Quantum Mechanics", Springer-Verlag, 1988, в которой этот метод применяется систематически.