17 июня 2009 г.

Про погрешности и про резонанс Меркурия с Юпитером

Среди комментариев к заметке про столкновительные траектории Земли с другими планетами было два вопроса, ответ на которые я решил вынести в отдельный пост.

1.
Вы же тут пишете что какой бы малой ни была бы ошибка на начальный момент, уже через несколько сотен миллионов лет будет совсем хаос. Но ошибки порядка машинного эпсилон не устранимы в принципе ... Т.е. поведение на дольших масштабах времени обусловлено не физикой, а ошибками округлений на начальный момент вычислений. Тогда не ясно какая научная ценность в таких рассчетах, если нет возможности оценить влияние ошибки вычислений: уже за пол миллиарда лет ошибки набегут настолько, что вся дальнейшая траектория станет одним сплошным "артефактом".

Хотя я в комментариях уже пояснял это, но наверно полезно еще раз подчеркнуть.

Вначале терминологическое пояснение. Под словом "траектория" тут понимается не траектория одной планеты, а как бы совокупная траектория всех планет. Если следить только за 8 планетами, то в каждый момент времени состояние Солнечной системы будет описываться 24 числами -- пространственными координатами этих планет, т.е. некоторой точкой в 24-мерном пространстве состояний Солнечной системы. Под "траекторией" понимается траектория этой точки в 24-мерном пространстве.

Теперь ответ на вопрос. Да, из-за экспоненциального разбегания изначально близких траекторий с ляпуновским показателем около 5 млн. лет нет никаких шансов рассчитать истинную эволюцию Солнечной системы на миллиардо-летнем масштабе. Траектория начинает хаотично диффундировать в доступной ей области многомерного пространства, и в какую сторону она удиффундирует -- неизвестно.

Что можно сделать в этой ситуации, так это примерно попытаться очертить эту доступную для хаотического диффундирования область.

Ведь наличие хаоса еще не означает, что планеты смогут двигаться как угодно -- в конце концов, законы сохранения энергии и углового момента никто не отменял. Поэтому доступная для хаотического диффундирования область будет низкоразмерной и скорее всего какой-то хитрой формы. Эту область желательно очертить, выяснить, какие траектории для нее типичны, а какие -- нет. Выяснить, в какую сторону диффундирование идет легче, а в какую -- труднее. Именно с этой целью и запускается сразу тысячи сеансов моделирования, которые вначале отличаются на совершенно мизерную величину -- они как бы "зондируют" доступную для диффундирования область. И эта область -- это уже довольно достоверная, не вероятностая характеристика Солнечной системы, а не артефакт численных расчетов. Её форма уже должна быть нечувствительна к погрешностям округления, и такие вещи действительно проверяют.

В последние годы эту область только-только начали ощупывать, поэтому никакой общей картинки привести пока не могут. Могут лишь "рассказать словами" о том или ином уголке этой области. Заголовок оригинальной статьи в Nature Physics, если его перевести на этот язык, будет звучать примерно так: "Доступная для 5-млрд.-летнего диффундирования область включает в себя так же и далекий уголок со столкновениями".

2.
...показал ссылку знакомому, вот его комментарий. А что тут комментировать, резонанса между Меркурием и Юпитером не может быть по определению, Солнце рядом...

Что ж, пришлось копнуть немножко вглубь.

Речь тут идёт не об орбитальных резонансах между Юпитером и Меркурием, а о резонансе между частотами прецессии перигелия орбит этих двух планет.

Цитирую по статье того же Жака Ласкара, "Chaotic diffusion in the Solar System", Icarus 185, 312–330 (2008); статья свободно доступна как епринт arXiv:0802.3371.

В нынешнюю эпоху перигелий Меркурия прецессирует со скоростью 5,59" за год. Из них 0,43"/год -- вклад ОТО. Перигелий Юпитера прецессирует со скоростью 4,257"/год, вклад ОТО пренебрежимо мал. Т.е. обе орбиты вращаются, совершая оборот примерно за 200 тыс.лет.

Скорости прецессии этих двух планет довольно близки уже сейчас, и поскольку с течением времени параметры всех орбит немного меняются, вполне может наступить ситуация, когда они сравниваются и довольно долго остаются почти одинаковыми. Это будет означать, что в течение длительного времени (очень много периодов вращения) эллипс юпитерианской орбиты будет находиться под почти постоянным углом к эллипсу меркурианской орбиты, и значит слабое влияние Юпитера будет накапливаться, а не усредняться. Так и получается раскачка эксцентриситета Меркурия.

Вот одно конкретное моделирование (т.е. одна конкретная траектория) из этой же статьи:


Здесь показан угол между направлениями перигелия Меркурия и Юпитера (угол показан по модулю 6π, а не 2π, просто для визуального удобства). Моделирование делалось в прошлое. Видно, что в период времени между -1284 и -1286 млн. лет (т.е. в течение двух миллионов лет!) этот угол оставался примерно постоянным. А вот что в это время происходило с эксцентриситетом Меркурия:


Видно, что именно в течение этих двух млн. лет его эксцентриситет раскачался с 0,4 до 0,8.

Кстати, из приведенных выше чисел по скорости прецессии видна роль ОТО. Если не учитывать поправки ОТО, то частоты прецессии становятся еще ближе, т.е. резонанс наступает гораздо охотнее. Это, по-видимому, и объясняет, почему без ОТО примерно половина траекторий вырабатывает очень большой эксцентриситет Меркурия, а с поправками -- всего около 1%.

8 комментариев:

  1. Но все-таки, если не сложно, что про машинный эпсилон? Какая разрядность чисел была использована? Или это в данном случае несущественно?

    ОтветитьУдалить
  2. Несущественно. Подробности наверно можно найти в статьях Ласкара. Могу привести такое число: в ходе моделирования проверялось, насколько сохраняется полная энергия системы. Относительная флуктуация составляла порядка 10^(-10), а при опасных пролетах поднималась до 10^(-8).

    ОтветитьУдалить
  3. Аналогия с диффузией, т.е. газом очень удачна. Т.е. методом стат.моделирования оцениваются статистические параметры "газа". Может, это мои суеверия, но теория вероятностей - ИМХО самая мутная из всех математических дисциплин. Т.е. вот к примеру заведомо некорректная задача: методом стат.моделирования оценивать вероятность что случайное число (с равномерным распределением) отрезка [0, 1] будет рациональным (другими словами, вычислить методом Монте-Карло меру рациональных чисел; моделирование покажет что угодно, но не правду). Потому как-то всякие попытки оценивать вероятность таким образом (на таких, "рваных", множествах) вызывают у меня внутренее чувство тревоги. Скорее всего это моя параноййя, но таки.

    ОтветитьУдалить
  4. Sergey Gagarin19/6/09 14:02

    Машинный эпсилон принципиального значения не имеет. Можно самому написать библиотеки для работы с числами с миллионом или триллионом знаков после запятой (только считаться все будет медленно :) ). Гораздо интереснее вопрос, насколько влияют погрешности в определении мировых констант (гравитационная постоянная, скорость света). Авторов статьи, наверное, это не слишком интересовало, и они, думается, делали все расчеты в системе единиц, где все константы равны 1 :). Это отдельная проблема, как влияют ошибки в значениях констант, а особенно в измерении текущих координат/скоростей, на возможность предсказания траекторий. С какой точностью предсказываются траектории реальных тел на периоде, скажем, сто тысяч лет ?

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный19/6/09 18:47

    Про резонанс опять не понятно. Почему Меркурий-Юпитер выделяются в отдельную систему, и не учитывается влияние прочих тел (в первую очередь Солнца) на резонансные явления в системе? Все равно что в системе 10 сцепленных маятников выбрать два, увидеть там резонансные частоты и заявить что этот резонанс будет наблюдаться.

    ОтветитьУдалить
  6. to Sergey Gagarin:
    Авторов статьи, наверное, это не слишком интересовало, и они, думается, делали все расчеты в системе единиц, где все константы равны 1 :).

    Ну это Вы на них наговариваете. Они вынуждены оперировать честными единицами, т.к. задача этого требует.

    Это отдельная проблема, как влияют ошибки в значениях констант, а особенно в измерении текущих координат/скоростей, на возможность предсказания траекторий.

    Можете полистать статьи, благо многие из них есть в архиве епринтов. Наверняка числа там есть. Погрешности координат и скоростей очень малы, и покуда ошибки накапливаются линейно (т.е. покуда нет хаоса), это все под контролем.

    Насчет констант действительно может возникнуть такой вопрос, особенно в свете того, что G известна всего лишь с относительной точностью 10^(-4). Но на самом деле нам нужна не сама G, а G, помноженная на массы планет. Вот эта величина известна с намного лучшей точностью, т.к. за планетами уже много лет следят и все эти параметры уже определили из нынешних наблюдений.

    ОтветитьУдалить
  7. анонимному комментатору:
    там учитывается воздействие всех на всех, и при честном счете никто ничего не отбирает, всё считается, как оно есть. Это уже потом, для того, чтобы качественно понять те или иные явления, заходит речь про резонансы. Ну да, в какой-то момент оказывается так, что орбиты Меркурия и Юпитера крутятся в фазе, т.е. возникает резонансное взаимодействие. С другими планетами у Меркурия резонанса не наступает, либо он очень слабый, поэтомувсе возмущения усредняются и не приводят к каким-то качественно новым эфектам.

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный13/8/09 13:37

    На счет точности расчетов -- это правильное замечание. Неточности за счет машинного эпсилон могут накапливаться и пример тому многие модели в теории хаоса, когда некоторые вещи при численном моделировании или остаются недостижимыми (например устойчивые орбиты в этракторах) или наоборот пропущенными (например преход с одного решения на другое за счет конечного размера шага -- потому погоду очень тяжело расчитывать).

    Вадим

    ОтветитьУдалить