Неэрмитовая квантовая механика

Листая последний номер PRL, набрел на интересную статью Faster than Hermitian Quantum Mechanics (она же quant-ph/0609032), посвященную неэрмитовой квантовой механике. Чуть-чуть почитал по этой теме -- оказалась интересная вещь.

Философия

Сначала поясню ситуацию в "философском разрезе". Вот есть у нас некая физическая реальность: наблюдения, эксперименты, эмпирические закономерности и т.п. Пытаясь обобщить эти данные, свести длинную цепочку численных значений измеренных величин к некоторому общему закону, мы строим некую теорию выбранного круга явлений.

Зачастую теория строится практически форсированно, сама собой, и получается она при этом ровно настолько "широкой", насколько нужно для описания имеющихся данных. Однако иногда выясняется, что такая конструкция не единственна (впрочем, единственность никто и не доказал). А именно, можно построить и более широкую разновидность этой же теории, которая будет по-прежнему описывать имеющиеся данные, по при этом допускать еще и некоторые экзотические ситуации.

Подчеркну, что речь идет не про другую теорию (каковой является, например, СТО по отношении к механике Ньютона), а про более широкую разновидность той же самой теории. Эта более широкая разновидность основывается на тех же фундаментальных принципах, но использует более широкий класс математических объектов, допустимых этими принципами.

Например, про более широкую разновидность специальной теории относительности я как-то описал в заметке Ну очень специальная теории относительности! Неэрмитовая квантовая механика тоже является более широкой разновидностью квантовой механики.

Основная мысль

Главная идея неэрмитовой квантовой механики состоит в следующем. Величины, которые мы измеряем в эксперименте, всегда описываются вещественными, а не комплексными числами. В квантовой теории каждой наблюдаемой величине ставится в соответствие оператор, действующий в пространстве векторов состояния, собственные значения которого и есть результаты измерения. Наше требование при конструировании операторов состоит в том, что их собственные числа должны быть вещественны.

Эрмитовы операторы обладают только вещественными собственными числами, поэтому постулировав, что все операторы физических наблюдаемых эрмитовы, мы автоматически удовлетворяем нашему требованию. Это достаточный, но вовсе не необходимый выбор! Действительно, неэрмитовы операторы тоже могут обладать вещественным спектром. Поэтому строго говоря, нет необходимости ограничиваться только эрмитовыми операторами
при конструировнии квантовой механики.

Однако это не единственная модификация. Неэрмитовый гамильтониан, пусть даже и обладающий вещественными собственными числами, приводит к неунитарному оператору эволюции во времени. Это необходимо устранить, так как неунитарная эволюция во времени приводит к несохранению нормы векторов состояния, а значит, вероятность куда-то утекает из нашего мира.

Устраняется это переопределением скалярного произведения, а значит, и нормы, в гильбертовом пространстве. Дуальный вектор состояния уже не определяется как эрмитово-сопряженный вектор (комплексно сопряженный и транспонированный), а строится новым, согласованным с гамильтонианом способом, так чтобы норма любого вектора состояния при эволюции во времени оставалась неизменной.

Таким образом, новшество сводится лишь к более широкому использованию свободы построение пространства дуальных векторов. В каком-то смысле, в гильбертовом пространстве вводится нетривиальная метрика.

Конкретная реализация и примеры

Конкретная реализация неэрмитовой квантовй механики, которой вот уже десяток лет занимается Carl Bender с коллегами (см. например статью hep-th/0303005), состоит в замене эрмитового сопряжения на преобразование PT-симметрии. Преобразование P-симметрии (отражение пространственных координат) состоит, например, в замене знака перед оператором координаты и импульса, а преобразование T-симметрии (обращение времени) состоит в изменении знака импульса (но не координаты), а также в замене i на -i. При PT-преобразовании сохраняется алгебра Гейзенберга (т.к. сохраняется [x,p]=i), т.е. PT-преобрзование является каноническим преобразованием.

Стандартный гамильтониан одночастичной квантовой задачи, например, в задаче одномерного гармонического осциллятора (в безразмерных величинах)

H = p² + x²

эрмитов, и кроме того, инвариантен относительно PT-преобразования. Теперь можно рассмотреть новый гамильтониан

H = p² + x² (i x)^с

который уже неэрмитов, но по-прежнему инвариантен относительно PT-преобразования. Таким образом, если вместо симметрии гамильтониана при эрмитовом сопряжении накладывать более физическое (с точки зрения автора) требование симметрии относительно PT-преобразования, то возникает целый новый класс допустимых задач.

Доказано, что при с > 0 и при аккуратной переформулировке граничных условий для задачи Штурма-Лиувилля уравнение Hψ(x) = E ψ(x) с этим гамильтонианом имеет чисто вещественный спектр. Кажется естественным определить скалярное двух волновых функций как

< f | g > = ∫ [PT(f)] g dx.

Однако при таком определении возникает индефенитная метрика: половина собственных состояний H обладает положительной нормой, а половина -- отрицательной. Автор справляется с этой проблемой хитрым способом, подсмотренным им у Дирака (Дирак получил вначале состояния электрона с отрицательной энергией, а потом нашел им правильную интерпретацию). Он ввел C-преобразование, некий аналог зарядового сопряжения, причем оператор C-преобразования коммутирует с PT и с H (и при этом C-преобразование зависит от H). Если теперь построить скалярное произведение по закону

< f | g > = ∫ [CPT(f)] g dx

то оказывается все проблемы устраняются: метрика положительно определена и согласована с гамильтонианом, так что норма векторов сохраняется рпи эволюции во времени. Правда, возникает забавное явление -- метрика сама становится динамической величиной, зависящей от гамильтониана. Начинает смутно прорисовываться ситуация, похожая на ОТО.

Некоторые приложения

Возникает закономерный вопрос: а не сводится ли неэрмитовая квантовая механика к обычной некой нетривиальной заменой переменных? Отчасти это так. Было доказано, что для любого PT-симметричного гамильтониана с вещественным спектром существует преобразование, переводящее его в эрмитовый гамильтониан с тем же спектром. Однако это преобразование приводит к перестройке гильбертова пространства векторов состояний, и потому полная эквивалентность отсутствует.

В частности, в статье Faster than Hermitian Quantum Mechanics описано очень интересное явление, возникающее при решении задачи о "квантовой брахистохроне" в неэрмитовой квантовой механике.

Пусть есть два состояния -- начальное и конечное. Задача состоит в том, чтоб подобрать такой гамильтониан с фиксированным спектром, оператор эволюции которого переводит начальное состояние в конечное за кратчайшее время.

В эрмитовой квантовой механике это время конечно. Это связано с тем, что "скорость эволюции" в гильбертовом пространстве ограничена шириной спектра гамильтониана. Поэтому кратчайшее время -- это дистанция между векторами состояния поделить на скорость.

В неэрмитовой квантовой механике, оказывается, можно сделать это время эволюции сколь угодно малым (этому и посвящена статья). Автор предлагает такую интерпретацию этого факта. Расстояние между двумя векторами, посчитанное по обычным правилам, может быть большим, но с точки зрения метрики оно может быть сделано сколь угодно малым. Это похоже на ситуацию в ОТО с "червоточинами", которые позволяют сразу перейти в отдаленную часть вселенной, минуя ограничение, связанное со скоростью света. Мне лично кажется, это довольно спекулятивная аналогия, основанная только на поверхнотной математической похожести явлений.

Возникает вопрос: а можно ли проверить экспериментально возможность такой сверхбыстрой эволюции квантового состояния? (Если она будет подтверждена, то это будет однозначным аргументом в пользу более широкой версии квантовой механики.) Вот это непонятно. С одной стороны, вроде бы квантовая механика до сих пор не встречалась с какими-либо трудностями при описании свободной эволюции состояний. С другой стороны, такой эксперимент "возможен" и даже описан в статье -- правда, для этого надо использовать статическое магнитное поле с мнимыми компонентами. Не очень понятно, есть ли вообще какой-то физический смысл в этом понятии.

Однако возникает желание подумать и в еще одном направлении: а нельзя ли сюда приплести "коллапс" волновой функции при измерении? Но насколько это плодотворная мысль, не знаю.

[Комментарии на Элементах]