Динамический хаос как информационная белая дыра

Черные дыры -- это астрономические объекты, в которые все падает и ничего не может выйти наружу. Белые дыры -- это гипотетические объекты, их которых, наоборот, всё сыпется наружу и ничего нельзя туда засунуть. Но речь тут пойдет не про астрофизику, а про информацию.

Читая статью Phys. Rev. Lett. 97, 024101 (2006), я познакомился с забавной точкой зрения на динамический хаос.

Динамический хаос -- это, вкратце, такая ситуация. Законы, описывающие движения системы, простые, четкие и не содержат ни капли случайности, но предсказать поведение системы, начальное состояние которой нам известно, удается только для очень близкого будущего.

Причина заключается в том, что слова "нам известна" всегда означают "нам известна с какой-то точностью". Система с динамическим заосом -- это такая система, в которой погрешности нашего знания о начальном состоянии системы с ходом времени катастрофически возрастают.

Самый простой пример: эволюция некоторого начального числа под действием пошагового преобразования:

z_n+1 = дробная часть от (2*z_n).

Пусть известно начальное число: z₀ от 0 до 1. Запишем его число в двоичном виде: 0,11011000101. В природе все величины всегда известны с какой-то точностью, поэтому будем считать, что число z₀ известно с точностью до нескольких (N) битов. Но само по себе оно существует как абсолютно точное число, это важно.

Наше преобразование -- это просто сдвиг битов влево и отбрасывание целой части. Мы пытаемся предсказать, что будет с исходным числом после нескольких последовательных шагов,

0,1011000101?
0,011000101??
0,11000101???
.....................
0,01??????????
0,1???????????
0,????????????

Здесь знак вопроса означает бит, значение которого мы, исходя из известного нам начального состояния, предсказать не можем. Число в последней строчке получается поэтому вообще неопределенным.

В то же время, если этот процесс "запустить в эксперименте" и постоянно наблюдать за результатом каждого шага, то результаты "измерений" будут всегда какие-то конкретные. Т.е. эволюция сама нам поставляет те нули и единички, которые вначале мы не могли измерить. Другими словами:

динамический хаос -- это информационная белая дыра, которая "выдает" наблюдателю новые и новые биты информации, которые ранее ему были недоступны.

Получив эти биты, мы, задним числом, знаем куда больше о начальном состоянии системы, но, к сожалению, отправить в прошлое эту информацию уже нельзя.

Идем далее. Оказывается, существуют системы, про которые можно говорить, что у них есть динамический хаос при обращении времени. Именно про это и была статья Phys. Rev. Lett. 97, 024101 (2006).

Примером может служить любая затухающая система, которую время от времени "толкают" внешней случайной вынуждающей силой. На нашем математическом примере -- это система с таким законом:

z_n+1 = (z_n + q_n)/2

где q_n -- это случайный бит, добавляемый на n-ном шаге.
Начальное число при таком законе преобразования будет сдвигаться вправо, а после запятой будет дописываться бит q_n.
Этот процесс есть просто обращенный во времени предыдущий процесс.

В результате если мы будем следить за зволюцией какого-то начального числа (как всегда с какой-то определенной точностью!), то вскоре вся известная нам начальная информация как бы "исчезнет", станет нам недоступной, "уйдет за горизонт". Такой закон преобразования служит уничтожителем информации, своего рода "информационной черной дырой".

[Комментарии на Элементах]