Задачка по оптике

Вот вам на выходные задачка по физике :).

Как известно, даже самая четкая собирающая линза не может сфокусировать свет в точку -- в фокальной плоскости всё равно будет пятнышко размером порядка длины волны. Хорошо, мы сфокусировали свет в такое пятно, а потом перешли в систему отсчета, движущуюся с релятивистской скоростью вдоль оптической оси, в направлении движения света. Все поперечные размеры при этом остаются неизменными, но длина волны света во много раз увеличится из-за эффекта Доплера. Получается, нам удалось сделать пятно во много раз меньше длины волны электромагнитного излучения!

В чём тут подвох?


UPDATE: появился правильный ответ, но я его пока скрываю.

UPDATE 2: пояснение.
В комментариях люди беспокоятся по поводу источника света и по поводу линзы: ведь линза в новой системе отсчета ультрарелятивистская, почему она должна подчиняться тем же правилам, что и неподвижная? Правильно, не подчиняется, про это собственно и задача, но это не объясняет, почему так происходит.

Я хочу подчеркнуть, что главным действующим лицом тут является не линза, а сам свет. Линза лишь модулирует световую волну, превращая исходный параллельный свет в такой пучок, который в дальнейшем сам сфокусируется в нужное пятно. Релятивистская линза, следовательно, умудряется промодулировать свет так, чтобы он фокусировался более эффективно, чем неподвижная линза. Вот вопрос и заключается в том, как именно линза это делает, что происходит со светом после прохождения через релятивистскую линзу.

UPDATE 3: итак, ответ:

я вас немножко обманул, сказав, что пятнышко будет порядка длины волны. На самом деле оно будет порядка λ/α, где α -- угол к оси, под которым идет в фокус луч с самого края линзы. Если этот угол мал, то пятно будет заметно больше длины волны. До этой формулы можно догадаться, вспомнив соотношение неопределенностей для сигналов: Δx ~ 1/Δk_x. В эту формулу входит поперечная компонента волнового вектора, т.е. примерно k*α ~ α/λ.

В новой системе отсчета изменится не только длина волны, но и угол фокусировки. Опять же это легко увидеть, если вспомнить, что поперечный импульс остается неизменным, а продольный уменьшается из-за эффекта Доплера. В результате увеличивается и длина волны, и угол, и они компенсируют друг друга. Или с другой стороны, еще проще, раз k_x остается неизменным, то и поперечные размеры пятна тоже.

Отдельный интерес представляет ситуация, когда угол становится порядка единицы и больше. При ещё большем бусте свет сходится уже с большого телесного угла, почти 4π. В том числе, будут лучи, прилетающие под углом с обратной стороны, в направлении движения линзы! Вдобавок, в этом случае свет станет уже сильно немонохроматичным.

А пытаться проследить ход света в релятивистской линзе -- это отдельная нетривиальная задача, как раз из-за того, что свет "сдувается" линзой, когда идет в ней. Можно сказать, что в некотором смысле релятивистская линза преломляет свет сильнее, чем неподвижная.

Правильных ответов было два: от vayun и от анонима, см. комментарии ниже.