Плащ-невидимка и современная математика

Некоторое время назад в СМИ было большое оживление, связанное с открытием принципиальной возможности сделать объект невидимым для постороннего наблюдателя и практической реализацией этой идеи в микроволновом диапазоне (см. статью Эльфийский плащ стал реальностью).

Вчера я наткнулся на очень интересную статью math.AP/0611185, "Full-wave invisibility of active devices at all frequencies", в которой доказываются еще более сильные результаты.

Во-первых, на меня произвело очень сильное впечатление, что такая понятная и знакомая всем задача :) как возможность создания плаща-невидимки формулируется в виде четкой математической теоремы: неединственность решения задачи Кальдерона для уравнений Максвелла. Второе сильное впечатление я получил, когда полез искать информацию про эту задачу и выяснил, что та же самая высокая математика уже давно и вовс используется в медицине, в электроимпедансной томографии.

Суть математического утверждения, стоящего за плащом-невидимкой, очень простая. Когда мы рассматриваем объект (освещая его, например, фонариком), мы решаем обратную задачу: зная то, как мы освещаем тело, и видя то, какой свет попадает к нам в глаза, мы восстанавливаем форму, цвет и прочие свойства объекта. Свет -- это электромагнитные волны, поэтому, в более строгой формулировке, мы посылаем электромагнитные волны, а сами сидим снаружи некоторой области и меряем все электрические и магнитные поля на её границе. Имея все эти данные, мы пытаемся восстановить распределение коэффициента преломления (точнее, эл. и магн. восприимчивостей) внутри этой области. Это и есть задача Кальдерона.

Единственность решения задачи Кальдерона означала бы, что если мы на границе "видим" распределение полей от пустого пространства, то ничего кроме пустого пространства там быть не может -- т.е. объект никогда нельзя абсолютно спрятать от наблюдения. И наоборот, если абсолютный плащ-невидимка может существовать (хотя бы в принципе), то это значит, что две различные ситуации -- пустое пространство и тело, "покрытое плащом" -- приводят к идентичным наблюдательным данным на границе, что возможно только при неединственности решения задачи Кальдерона.

Предыдущие теоретические работы на самом деле трактовали задачу в очень упрощенном виде -- в пределе гометрической оптики. Т.е. рассматривалось распространение не волн, а бесконечно тонких лучей света (т.е. длина световой волны считается нулевой или по крайней мере много меньше размеров области). В данной работе доказано, что утверждение справедливо и для произвольных волн, сколь угодно длинных. Более того, если я правильно понял, дается конструктивное доказательство невидимости: т.е. по заданном телу можно построить такую оболочку, которая его делает полностью невидимым.

Но не это даже главное. Авторы утверждают, что "спрятать" не только пассивный, но и активный объект -- т.е. имеющий поглотители и излучатели ЭМ волн, токи и т.д. Говоря простыми словами, "спрятать" можно и работающие ЭМ устройства! (Какие перспективы для военных, однако!)

Вот тут начинаются, правда, тонкости, которые я не улавливаю. Утверждается, что для невидимости активных обхектов требуется использовать некое "двойное" покрытие, которе обладает какими-то математическими свойствами, невозможными для "одинарного". Бло бы интересно, если бы кто-нибудь разъяснил подробнее.

Впрочем стоит сказать, что всё это, конечно, красиво, но для практического применения наверно не сильно важно -- реально нужна не абсолютная, а приблизительная невидимость. Хотя методы, использованные в статье, могут пригодиться при реальном конструировании "плащей-невидимок".

[Комментарии на Элементах]