Вращающиеся магнитные шарики

Наверняка многие видели в продаже вот такие магнитные шарики. Это довольно сильные неодимовые магниты, из которых можно делать разные фигурки и вообще познавательно проводить время, вертя их в руках :) Оказывается, с ними можно поставить еще один тип экспериментов — сталкивать их (я до этого сам не догадался, мне показали).

Если два таких шарика катнуть навстречу друг другу с большой скоростью, они, столкнувшись, слипаются и начинают бешено крутиться. Выглядит это примерно так (если встроенное видео не работает, вот прямой линк):

Иногда при столкновении происходят и другие интересные явления: например, оба шарика, сцепившись, могут подпрыгнуть вверх на несколько сантиметров, а изредка они вместо сцепления упруго рассеиваются (без столкновения!) на довольно большие углы.

Но тут я хочу обратить внимание не на эти побочные явления, а на некоторые странности самого вращения.

Про погрешности и про резонанс Меркурия с Юпитером

Среди комментариев к заметке про столкновительные траектории Земли с другими планетами было два вопроса, ответ на которые я решил вынести в отдельный пост.

Критическая опалесцения фондовых рынков

Западные рынки в понедельник прыгнули вверх. Dow и NASDAQ поднялись на 11%, и говорят, что это самый большой однодневный прирост аж с 1933 года. Все радуются и рукоплещут!

Вот чем (еще) полезна теоретическая физика в практическом плане, так это тем, что в таких колебаниях видишь поведение динамической системы вблизи критической точки. И понимаешь, что радоваться тут нечему: система ведет себя так вовсе не потому, что ею движет какой-то мощный позитивный стимул, а потому, что она стала настолько "расхлябанной", что ее саму по себе носит из стороны в сторону даже при небольших внешних воздействиях. А расхлябанной она стала не потому, что в ней внутри "что-то развалилось", а потому, что она впала в околокритическое состояние.

В конденсированных средах критическое состояние -- это когда мелкие колебания могут перерасти в дальнодействующие, вовлекающими весь объем вещества. Можно сказать, что вещество перестает быть "локальным" -- отдельные его части могут влиять друг на друга даже на очень большом расстоянии.

При приближении к таким точкам собственные колебания среды становятся всё более медленными, а их амплитуда усиливается. Свободная энергия становится очень плоской функцией термодинамических переменных, и потому эти переменные могут сильно отклоняться от положения равновесия. Если взять воду и нагревать ее под давлением, то вблизи критической точки (T=374°C, P=218 атм) сжимаемость ее стремится к нулю, и флуктуации плотности становятся такими большими, что делают воду непрозрачной -- это и есть критическая опалесценция. Сильные колебания плотности (как в большу, так и в меньшую сторону) -- это сигнал того, что среда близка к критическому состоянию.

Критические явления существуют и в больших дискретных сетях. Особенно, если сеть имеет сложную топологию, петли обратной связи и к тому же обладает "памятью" (т.е. закон изменения величины в данном узле зависит не только от соседей в данных момент времени, но и в прошлом), как это имеет место для фондовых рынков. В результате динамика такой сети отражает не только внешние воздействия, но и внутренние, собственные колебания, характер которых без специального исследования и не поймешь.

Я не знаю, существуют ли надежные исследования фазовой диаграммы фондовых рынков, но почти наверняка на них должны быть критические точки. И воздействуя на рынки (например, законодательно, т.е. меняя параметры системы), этих точек следует избегать. Повторюсь: как именно рынки будут себя вести вблизи таких точек, сказать трудно, но точно ясно, что никакой стабильности тут ждать не приходится. Это в своем роде критическая опалесценция фондовых рынков, и сильные скачки вверх так же хорошо подчеркивают "расхлябанность" системы, как и скачки вниз.

Имеются кое-какие попытки предсказать в рамках эконофизики, чем закончится прохождение вблизи критической точки (например, есть попытки обнаружить лог-периодические колебания биржевых индексов и связать их с обвалами). Но конечно серьезно предсказывать будущее биржевые показатели, опираясь только на их динамику, нельзя. В реальном мире кроме внутренних колебаний рынка как динамической системы имеются и внешние воздействия: политика, войны, серьезные климатические изменения, и т.д. Однако пренебрегать характерной для околокритического состояния динамикой (полагая, например, что ход рынков послушно отражает внешние воздействия) тоже нельзя.

Школьная задачка и удивительный ответ

Кстати, насчет удивительных вещей в физике. Вспомнилась мне такая вот школьная задачка с очень простым решением, но удивительным -- и на первый наивный взгляд даже противоестественным -- ответом.

В школе механические колебания изучают на двух примерах: грузик на пружинке и материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити в поле тяжести.

источник картинки

В первом случае задают массу грузика m и жесткость пружины k, и тогда частота колебаний получается равной:

Во втором случае важными параметрами являются ускорение свободного падения g и длина нити L, и тогда частота (малых) колебаний равна


А теперь рассмотрим маятник на пружинке, подвешенный в поле тяжести. Он задается четырьмя параметрами: k, m, g, L₀ (последнее -- это длина нерастянутой пружинки). Этот маятник может колебаться как вертикально (т.е. словно грузик на пружинке), или горизонтально (словно обычный маятник). На основании написанных выше формул может возникнуть естественное ощущение, что частоты этих двух колебаний могут соотноситься друг с другом произвольно -- ведь они выражаются через разные, не связанные друг с другом параметры!

А на самом деле, частота вертикальных колебаний всегда строго больше частоты горизонтальных. Доказывается в одну строчку.

А вообще у этого маятника есть и гораздо более интересные свойства. При соотношении частот ω_y=2ω_x имеет место так называемый резонанс Ферми. Горизонтальные и вертикальные колебания начинают резонансно взаимодействовать, и энергия перетекает из одних колебаний в другие и обратно. Говорят, Энрико Ферми впервые понял, как за счет этого механизма объяснить спектр колебаний молекулы CO2.

Я всё хочу как-нибудь написать подробнее про этот резонанс, т.к. он, на мой взгляд, служит отличным примером визуализации нестабильных частиц. В данном случае "квант вертикальных колебаний" как бы распадается на два "кванта горизонтальных колебаний".

Хаос в сложных экосистемах -- экспериментальное доказательство

В последнем выпуске Nature появилась шикарная статья Chaos in a long-term experiment with a plankton community, в которой описывается экспериментальное наблюдение динамического хаоса в сложном экологическом сообществе. Причем доказано это было не с помощью какого-нибудь там компьютерного моделирования (как я сначала подумал), а в самом настоящем натурном эксперименте, который длился свыше 6 лет. Результаты эксперимента -- и вытекающие из него выводы -- очень впечатляют (по крайней мере меня как неспециалиста в экологии).


Проводился эксперимент так. Взяли большой бак, влили туда морскую воду и заселили его планктоном из Балтийского моря. Популяция была "многоярусной": был фитопланктон разного размера, зоопланктон, плюс бактерии и другие переработчики отмершей органики, которые замыкали биологический круговорот. В целом было 10 групп существ, и они образовывали сложные взаимодействующие пищевые цепочки. В этом было первое отличие от предыдущих экспреиментов, которые ограничивались двумя-тремя популяциями и искусственно простыми пищевыми цепочками.

Этот "мезокосм" запустили кваситься в собственном соку при постоянных внешних условиях (температура, цикл освещенности и т.п.), и два раза в неделю брали образцы и считали объем всех 10 популяций (плюс концентрацию питательных веществ). И так длилось 2319 дней (получился массив из 690 наборов данных). С точки зрения планктона эксперимент растянулся на несколько сотен поколений (и даже несколько тысяч поколений для бактерий). В этом состояло второе отличие от других экспериментов -- те длились всего месяц-другой и затрагивали от силы несколько поколений.


И вот какие получились результаты.

• Наблюдалась очень сильная (в десятки раз!) изменчивость популяций (см. рисунок). Эта изменчивость была вовсе не периодической -- там наблюдались осцилляции на самых разных частотах, от месяца и почти до года, причем у разных групп характер осцилляций был разный. Поскольку всё это происходило при постоянных внешних условиях, получается, что такая сильная изменчивость -- внутреннее свойство этой сложной системы, а не вызвана какими-то внешними силами.
  
• Наблюдались статистически значимые (из-за длительности эксперимента) корреляции между некотроыми популяциями, как положительные, так и отрицательные. Отрицательные корреляции отвечают, например, конкретным отношениями типа "хищник-жертва" между какой-то парой групп, а положительные -- это может быть результат косвенного кооперирования ("враг моего врага -- мой друг").
  
• Первая проверка на хаотичность состояла в том, что специально обученная нелинейная нейронная сеть пыталась предсказать дальнейшую эволюцию этого мезокосма. На несколько дней вперед она действительно предсказывала всё хорошо, но затем предсказательная способность неуклонно падала. Предсказать состояние мезокосма через месяц нейронная сеть была не в состоянии. Именно такими свойствами и обладает система со своим внутренне обусловленным динамическим хаосом (в отличие от регулярной системы, подверженной внешнему шуму).
  
• Наконец, были по-настоящему измерены ляпуновские экспоненты. Вообще, динамический хаос -- это когда два близких состояния экспоненциально расходятся с течением времени. Коэффициент в экспоненте -- это и есть ляпуновская экспонента. Обычно (например, в компьютерном моделировании) ляпуновские экспоненты вычисляют так: параллельно запускают два чуть-чуть отличающихся начальных условия и смотрят, как они расходятся.
  
  Но тут так не сделаешь -- ведь тут один-единственный эксперимент. Вместо этого авторы воспользовались большой длительностью эксперимента и просто проверяли данные за весь промежуток времени и искали такие моменты, когда состояния мезокосма случайно оказывались очень похожими. Вот такую пару (которая могла быть разделена годами) затем и сравнивали. Для планктонных популяций ляпуновская экспонента получилась 0.03-0.07/день, а для бактериальной -- 0.08-0.20/день.
  

Какие отсюда авторы делают выводы?

• Даже в постоянных внешних условиях экосистема с достаточно сложными пищевыми цепочками вовсе не стабильна, а спонтанно генерирует очень сильные непериодические осцилляции. Это настоящий динамический хаос, и по-видимому он вовсе не мешает устойчивому существованию экосистемы в целом, по крайней мере в течении сотен поколений. Это естественный способ "жизни" сложной экосистемы.
  
• Эти данные, по мнению авторов, решают "планктонный парадокс".
  
• Авторы предполагают, что эти законы вовсе не специфичны для планктонного сообщества, а вообще универсальны по всем достаточно сложным экосистемам. И вполне могут работать, например, для наземной экосистемы растения/травоядные/хищники/микробы. Более того, они предполагают, что типичное время, за которым теряется предсказуемость, составляет порядка десятков поколений для самых разных существ.
  

В общем, впечатляет :)

Вот только интересно еще было бы посмотреть, как меняется генотип этих популяций. В нем тоже развивается такой же динамический хаос? Наверняка лет через 10 будут уже и такие эксперименты.

Химеры в динамических системах

На днях в Physical Review Letters вышла забавная статья Chimera States: The Natural Link Between Coherence and Incoherence, Phys.Rev.Lett.100, 044105 (2008). В этой работе рассказывается, что химерные состояния в динамических системах, открытые несколько лет назад, играют роль переходных состояний между полным хаосом и полным порядком.

Динамическая система -- это, грубо говоря, любой набор предметов, который как-то движется по действием сил, действующих между ними. Очень интересный пример динамической системы -- это набор одинаковых осцилляторов, как-то действующих друг на друга. Если связь между ними слабая, то они будут колебаться не в фазе, некогерентно. Если же связь достаточно сильная, то может наступить синхронизация колебаний всех осцилляторов. Фазовый переход, связанный со спонтанной синхронизацией, возникает в разных областях физики, химии, биологии.

Долгое время во всех изученных случаях система вела себя или целиком некогерентно, или целиком когерентно. Но несколько лет назад обнаружился класс моделей, в которых возникали неожиданные, "противоестественные" решения: в них часть осцилляторов колеблется когерентно, а часть -- беспорядочно. Такие решения назвали "химерными", см. nlin/0407045 ("химера", в классическом значении слова, это животное, противоестественно составленное из нескольких других живых существ).

Вообще, их необычность состоит в том, что они возникают в системах глобально связанных осцилляторов, т.е. когда каждый осциллятор чувствует не соседей, а как бы "среднюю силу" от всех осцилляторов в системе. Казалось бы, если все связаны со всеми одинаковым образом, то тогда все осцилляторы должны колебаться одинаковым образом -- или синхронно, или беспорядочно. Так оно и происходит, когда связь каждого осциллятора со "средним полем" однородна. Химеры возникают тогда, когда сила этой связи неоднородна -- например, сильнее в центре и слабее по краям системы. Тогда в центре осцилляторы будут колебаться синхронно, а на периферии -- беспорядочно.

До сих пор считалось, что химерные решения очень "хрупки". Т.е. если они в какой-то модели и встречаются, то при очень избранных начальных условиях. Чуть изменить начальные условия -- и химеры исчезают. То есть, до сих пор во всех проверенных случаях они казались большой экзотикой.

А в новой работе показано, что в широком классе динамических систем химеры не только не являются экзотикой, но и возникают стабильно при типичных начальных условиях. Более того, показано, что химерные решения являются естественным переходным состоянием между полностью синхронным и беспорядочным колебанием; т.е. столь же полноправным "агрегатным состоянием" динамической системы, как и первые два.

Теперь предстоит узнать, в каких именно динамических системах возникают химеры. А там, может быть, найдутся и практические приложения (как это в свое время произошло со стохастическим резонансом).

Динамический хаос как информационная белая дыра

Черные дыры -- это астрономические объекты, в которые все падает и ничего не может выйти наружу. Белые дыры -- это гипотетические объекты, их которых, наоборот, всё сыпется наружу и ничего нельзя туда засунуть. Но речь тут пойдет не про астрофизику, а про информацию.

Читая статью Phys. Rev. Lett. 97, 024101 (2006), я познакомился с забавной точкой зрения на динамический хаос.

Динамический хаос -- это, вкратце, такая ситуация. Законы, описывающие движения системы, простые, четкие и не содержат ни капли случайности, но предсказать поведение системы, начальное состояние которой нам известно, удается только для очень близкого будущего.

Причина заключается в том, что слова "нам известна" всегда означают "нам известна с какой-то точностью". Система с динамическим заосом -- это такая система, в которой погрешности нашего знания о начальном состоянии системы с ходом времени катастрофически возрастают.

Самый простой пример: эволюция некоторого начального числа под действием пошагового преобразования:

z_n+1 = дробная часть от (2*z_n).

Пусть известно начальное число: z₀ от 0 до 1. Запишем его число в двоичном виде: 0,11011000101. В природе все величины всегда известны с какой-то точностью, поэтому будем считать, что число z₀ известно с точностью до нескольких (N) битов. Но само по себе оно существует как абсолютно точное число, это важно.

Наше преобразование -- это просто сдвиг битов влево и отбрасывание целой части. Мы пытаемся предсказать, что будет с исходным числом после нескольких последовательных шагов,

0,1011000101?
0,011000101??
0,11000101???
.....................
0,01??????????
0,1???????????
0,????????????

Здесь знак вопроса означает бит, значение которого мы, исходя из известного нам начального состояния, предсказать не можем. Число в последней строчке получается поэтому вообще неопределенным.

В то же время, если этот процесс "запустить в эксперименте" и постоянно наблюдать за результатом каждого шага, то результаты "измерений" будут всегда какие-то конкретные. Т.е. эволюция сама нам поставляет те нули и единички, которые вначале мы не могли измерить. Другими словами:

динамический хаос -- это информационная белая дыра, которая "выдает" наблюдателю новые и новые биты информации, которые ранее ему были недоступны.

Получив эти биты, мы, задним числом, знаем куда больше о начальном состоянии системы, но, к сожалению, отправить в прошлое эту информацию уже нельзя.

Идем далее. Оказывается, существуют системы, про которые можно говорить, что у них есть динамический хаос при обращении времени. Именно про это и была статья Phys. Rev. Lett. 97, 024101 (2006).

Примером может служить любая затухающая система, которую время от времени "толкают" внешней случайной вынуждающей силой. На нашем математическом примере -- это система с таким законом:

z_n+1 = (z_n + q_n)/2

где q_n -- это случайный бит, добавляемый на n-ном шаге.
Начальное число при таком законе преобразования будет сдвигаться вправо, а после запятой будет дописываться бит q_n.
Этот процесс есть просто обращенный во времени предыдущий процесс.

В результате если мы будем следить за зволюцией какого-то начального числа (как всегда с какой-то определенной точностью!), то вскоре вся известная нам начальная информация как бы "исчезнет", станет нам недоступной, "уйдет за горизонт". Такой закон преобразования служит уничтожителем информации, своего рода "информационной черной дырой".

[Комментарии на Элементах]