6 августа 2010 г.

«Для всех» и «для каждого» в контексте мегагрантов

«Словесный» язык, которым математики озвучивают утверждения, очень жесткий, и это позволяет избежать двусмысленностей. Например, есть два стандартных выражения: «для всех» и «для каждого». Содержащие их фразы могут выглядеть очень похоже, но имеют они разный смысл. Вот например:
  • Для каждого x из множества A существует такой y, что ... (выполняется некое условие)...
  • Для всех x из множества A существует такой y, что ... (выполняется некое условие)...
Причем, вторую фразу можно сформулировать и вот так:
  • Существует такой y, что для каждого x из множества A ... (выполняется некое условие)...
В обоих фразах каждому иксу сопоставляется некоторый игрек, выполняющий условие. Разница в том, что в первой фразе игреки могут быть разными для разных иксов, а во второй — игрек один, универсальный, удовлетворяющий условию сразу для всех иксов. Это более сильное утверждение.

[Дополнение. Раз вторая фраза вызывает недопонимание, я скажу так: в первой фразе делается сразу много копий утверждения о существовании специального игрека, по одному для каждого икса. Во второй фразе делается одно утверждение — о существовании одного игрека сразу для всех иксов. Если вторая фраза вызывает двусмысленность, то тогда лучше действительно ее избегать и проговаривать ее в виде третьей фразы.]

Так вот, в контексте мегагрантов МинОбрНауки. В официальном списке принятых заявок есть чудесная фраза, как раз иллюстрирующая эту разницу:

Всего в конкурсную комиссию поступило 512 конвертов с 507 заявками от 179 вузов. Все поступившие заявки будут направлены на экспертизу 2 российским и 2 зарубежным экспертам.
Конечно, тут имелось в виду, что каждая заявка (а не все вместе!) будет направлена 4 экспертам, и эти эксперты для разных заявок могут быть разными (но могут и совпадать, частично или полностью).

Но из наличия этой фразы в официальном документе ясно видно, что написавший ее человек — а также, корректоры, если они были — не имеет (настоящего) математического образования. Иначе бы эта разница смыслов, сидящая в подкорке, не позволила бы такое написать.

12 комментариев:

  1. Анонимный6/8/10 16:56

    Понял смысл только со второго раза. А сначала у меня моск сломался...

    ОтветитьУдалить
  2. Анонимный6/8/10 17:38

    Вы не совсем правы
    первая фраза да
    "Для любого x существует у, такой, что" -- означает, что y может быть разный для разных иксов. А вот вторую фразу математики записывают наоборот:
    "Существует y, такой что, для каждого x выполнено ..."

    Я очень хорошо это помню: разница вылезает при обсуждении поточечной сходимости системы функций -- первая фраза и ее (системы) равновномерной сходимости (вторая фраза)

    ОтветитьУдалить
  3. У меня в переформулировке второй фразы так и сказано. Но в принципе можно делать утверждение и «для всех» (см. дополнение к посту).

    ОтветитьУдалить
  4. А вдруг комиссии так важно мнение о каждой заявке, что было решено, получить отзыва 4 экспертов по каждому случаю :)?

    ОтветитьУдалить
  5. Студентам-юристам вроде бы логику читают, но, судя по результатам законотворчества, какую-то неаристотелеву. Например, в законе (кодексе, указе, приказе, распоряжении, инструкции...) приводится список условий, при выполнении которых следует выполнить некоторое действие (дать Героя, дать по шапке и т.п.). Однако практически никогда из текста нельзя понять, должны эти условия быть связаны по ИЛИ или по И, т.е. из выполнения любого или только из одновременно всех условий должно следовать данное действие.

    ОтветитьУдалить
  6. Анонимный6/8/10 21:17

    Позволю себе не согласится. Оба слова в символьной записи запишутся как ∀ x, т.е. неразличимы. Различие в символьном описании обозначенных смыслов появляется дальше: "∃ y=y(x):" и "∃ y", в то время как в словесном оно не появляется.

    а откуда известно, что "каждая" заявка будет отправлена своей четвёрке экспертов?

    _glav_.livejournal.com

    ОтветитьУдалить
  7. К формальной записи вопросов нет: первое утверждение пишется как ∀x ∃y P(x,y), а второе — как ∃y ∀x P(x,y). Вы говорите, что в первом случае лучше уточнить y=y(x); я согласен, но иногда встречается запись и без уточнения. Я же хотел подчеркнуть то, что возникает при словесной формулировке записи.

    > а откуда известно, что "каждая" заявка будет отправлена своей четвёрке экспертов?

    Ну я всё же надеюсь, что эта четверка не универсальна, это по-моему разумное толкование фразы. :) Но четверки, конечно, могут и частично пересекаться.

    ОтветитьУдалить
  8. * Для каждого x из множества A существует такой y, что ... (выполняется некое условие)...
    * Для всех x из множества A существует такой y, что ... (выполняется некое условие)...

    Причем, вторую фразу можно сформулировать и вот так:

    * Существует такой y, что для каждого x из множества A ... (выполняется некое условие)....


    Первую фраза записывается как ∀x ∃y P(x,y)
    Вторая фраза записывается тоже как ∀x ∃y P(x,y)
    Третья фраза записывается как ∃y ∀x P(x,y)

    Почему третья фраза эквивалента второй, мне абсолютно не понятно. Когда пишется ∃y, если он стоит после квантора всеобщности ∀x, то подразумевается, что он может быть y=y(x). Например,

    ∀ε>0 ∃δ>0 |x-x0|0 ∀ε>0 |x-x0|<δ |f(x)-f(x0)|<ε

    т.е. существует неотрицательное значение δ, которое для всех неотрицательных значений ε выполнить заданное условие), однако обычно δ=δ(ε), т.е. для одного неотрицательного значение ε можно выбрать одно неотрицательное значение δ, для другого неотрицательного значение ε можно выбрать другое неотрицательное значение ε и соответственно "поменять местами квантор всеобщности и квантор существования нельзя". Таки образом, мне не понятно почему вы сделали такую замену.

    ОтветитьУдалить
  9. Значок «∀» надо проговаривать «для любого». Словесная формулировка «для всех» отображается иначе.

    ОтветитьУдалить
  10. то что это не для всех, это точно ))))))

    ОтветитьУдалить
  11. > Словесная формулировка «для всех» отображается иначе.

    Как иначе?
    ∃y ∀x P(x,y)?

    Всегда считал, что значок «∀» читается «для всех», «∀» - это перевёрнутая первая буква слова «ALL», т. е. «все», но не думал, что это означает что y(x) равен константе в выражении
    ∀ x ∃ y = y(x)

    ОтветитьУдалить
  12. Если вам в посленей формуле чтение значка «∀» как «для всех» не вызывает никаких недопониманий, то хорошо. В принципе, оно может вызывать недопонимание, и поэтому его лучше читать «для каждого». Главное, чтобы в конце концов и писатель, и читатель понимали одно и то же, и в формульном виде это и достигается.

    ОтветитьУдалить