17 ноября 2009 г.

Школьная задачка про LHC

А вот предлагаю попробовать свои силы в такой простенькой, но симпатичной школьной задачке про Большой адронный коллайдер.



На рисунке схематично изображено ускорительное кольцо LHC. В нем по двум очень близким трубам одинаковой длины летают встречные сгустки протонов. На кольце на одинаковом расстоянии друг от друга расположены восемь точек, в которых две трубы скрещиваются под маленьким углом, так что в этих точках сгустки могут сталкиваться (реально они сталкиваются не во всех восьми точках, но мы для простоты будем считать, что во всех). В каждом из двух встречных направлений мы запускаем несколько коротких сгустков (не обязательно поровну), причем все сгустки движутся с одинаковой скоростью.

Вопрос: какое минимальное число сгустков надо запустить в ускоритель и как именно их расположить относительно друг друга для того, чтобы во всех восьми точках происходили столкновения и причем с одинаковой частотой, равной один раз за цикл? (Цикл -- это время полного оборота сгустков по кольцу.)

Одно важное пояснение: после столкновений сгустки не исчезают, а просто пролетают дальше, т.к. реально в столкновениях сгустков сталкивается лишь по несколько протонов, а остальные миллиарды просто пролетают мимо.

Открыл комментарии на блогспоте. Правильный ответ -- 4 сгустка, по два в каждую сторону, например в точках 1,5 в одну сторону и 1,7 в другую. В комментариях есть подробные объяснения этого решения (в комментариях к ЖЖ-синдикату тоже). Это кстати совершенно реальная схема заполнения LHC на самых первых стадиях работы, см. например вот этот доклад, страница 12. Решившие эту задачу, можно сказать, приобщились к современной физике :)

Что лично мне понравилось в этой задаче -- это нарушение симметрии: ответ совсем не такой симметричный, как постановка задачи.

8 комментариев:

  1. Мой ответ: пять сгустков. Один крутится против 4асовой стрелки и 4етыре - по 4асовой. В момент времени t=0 крутящийся против 4асовой сгусток находится, скажем, в то4ке 5, а 4етыре других - в то4ках 5,7,1,3. Тогда, если скорости одинаковы, они будут встре4аться в каждой то4ке.

    ЗЫ. Сорри за проблемы с буквой 4. :)

    ОтветитьУдалить
  2. Ну, наверное, четыре пучка - два в одну сторону и два в другую.
    В начальный момент времени два пучка находятся в точках 1 и 5, а два встречных в точках 1 и 3.
    Последовательность точек в которых будут происходить столкновения - 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 2.

    ОтветитьУдалить
  3. Как доказать, что 4 пучка - это минимум?

    Пусть четные пучки вращаются в одну сторону, а нечетные в другую. Если происходят столкновения пучков i и j в точке a, то так же происходят столкновения в противоположной точке.
    Т.е. для столкновений во всех 8 точках нам надо что бы было 4 уникальных пары четных и нечетных чисел.
    Например:
    (1, 2)
    (1, 3)
    (3, 2)
    (3, 4)
    Очевидно, что для 4-х пар надо минимум 4 числа, два четных и два нечетных.

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный18/11/09 14:39

    ээмм...четыре сгустка длина которых равна длине окружности =)

    ОтветитьУдалить
  5. Достаточно восьми пучков — четыре пары. Если считать, что первый пучек пары вылетает из точки 1 в момент времени, равный 0, а T - период, тогда моменты вылета первого и второго пучка пары будут соответственно равны следующим значениям:
    1. 0; 0 (столкновения в точках 1, 5)
    2. 0; 2T/8 (столкновения в точках 2, 6)
    3. 0; 4T/8 (столкновения в точках 3, 7)
    4. 0; 6T/8 (столкновения в точках 4, 8)

    ОтветитьУдалить
  6. По поводу моего решения: пучков не 8, а 5. В каждой паре пучков первый - один и тот же. Т.е. один пучок движется в одном направлении, четыре - в другом. Возможно, можно взять меньшее кочиество пучков. Думаю дальше )

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный18/11/09 15:53

    Столкновения одного сгустка в одной трубе с одним в другой происходят в диаметрально противоположных точках, поэтому достаточно рассмотреть конфигурацию приводящую к столкновениям в половине непротивоположных точек. В другой половине столкновения произойдут автоматически.
    Ясно что для столкновений нужно как минимум два сгустка в противоположных направлениях, но они покроют только одну из четырёх несимметричных точек. Три сгустка можно разместить лишь 2 против одного, так что этот один столкнётся только в двух несимметричных точках.
    А вот четыре сгустка можно уже разместить 1 против трёх либо 2 против двух. Один против трёх покрывает три из четырёх точек и не решает задачу.
    Два сгустка при встрече с выделенным сгустком, движущимся напротив должны встречаться через кратную 1/8 часть окружности, то есть могут быть расположены через кратную 1/4 часть окружности. Это даёт два варианта расположения сгустков: диаметральный и через 1/4.
    Если сгустки на разных направлениях расположены диаметрально, то они покрывают только одну несимметричную точку. Если сгустки расположены через 1/4 то они покрывают 3 точки. А вот если на одном направлении диаметрально противоположны, а на другом - через четверь, то столкновения происходят в последовательности, например, 1,8,3,2, ну и далее в симметричных точках 5,4,7,6.
    Это и есть решение задачи.

    ОтветитьУдалить
  8. Чет я накосячвил с циферками. не быть мне физиком теоретиком :))

    ОтветитьУдалить