23 июля 2009 г.

Связанное состояние в двумерном точечном потенциале - 3

В прошлый раз мы попытались решить двумерное уравнение Шредингера с потенциалом в виде притягивательной 2D дельта-функции, и пришли к заключению, что связанного состояния в нем нет. Однако препятствие выглядело настолько мелким и техническим, что возникает желание слегка изменить определение точечного потенциала (т.е. использовать не дельта-функцию, а что-то иное), и тогда задача должна решиться.

Именно это мы сейчас и проделаем.

Переформулировка задачи

Вспомним, с чего мы начинали. Мы хотели научиться описывать связанные состояния в двумерном потенциале нулевого радиуса. Мы предположили, что такой потенциал можно описать дельта-функцией -Gδ(2)(r) с некоторым конечным G. Но дельта-функция подразумевает вполне конкретный предельный переход. Попробуем тогда переформулировать задачу так: мы хотим найти такой предельный переход, который по-прежнему дает потенциал нулевого радиуса, по при этом в котором всё хорошо вычисляется.

Для того, чтобы сделать это, начнем с приема, который называется регуляризацией. Мы вводим в задачу некоторый параметр, из-за которого все промежуточные формулы становятся регулярными, корректно определенными с математической точки зрения. Мы вычисляем те физические наблюдаемые, которые хотим, а потом делаем предельный переход -- устремляем параметр регуляризации к своему предельному значению так, чтобы в итоге восстановился старый метод вычисления. При этом мы будем внимательно следить за поведением ответа, т.е. физической наблюдаемой, и постараемся понять, что нам надо сделать с задачей, как ее переформулировать, чтобы ответ стремился к конечному, физически осмысленному значению.

После выполнения предельного перехода некоторые промежуточные величины становятся бесконечными (т.е. неопределенными), но это не должно нас беспокоить, поскольку эти величины ненаблюдаемы. Это вполне отвечает духу квантовой механики, в которой мы получаем право манипулировать с промежуточными величинами, не отвечающими никаким наблюдаемым. Главное, чтобы манипуляции были однозначными и чтобы наблюдаемые были хорошо определены.

Имеется множество способов регуляризовать нашу задачу. Рассмотрим самый простой с вычислительной точки зрения способ -- регуляризация в импульсном представлении. Сводится она к простому правилу: все интегралы по модулю импульса тянутся на верхнем пределе не до бесконечности, а до некоторого очень большого значения Λ, которое много больше (неизвестной пока, но конечной) κ. В этом случае интеграл I2(κ) становится хорошо определенным:


и в результате возникает связь между κ и g:


Это позволяет нам "найти" энергию связанного состояния:


Впрочем, в таком виде ответ не годится: энергия связанного состояния выражена не только через параметры задачи, но и через вспомогательный регуляризационный параметр Λ. При снятии регуляризации (устремлении Λ к бесконечности) энергия стремится к бесконечности.

Перенормировка константы связи

Исправить этот недостаток можно с помощью требования, чтобы параметр g, описывающий "силу притяжения", не был фиксированным, а сам бы менялся с параметром регуляризации: g→gΛ. Причем мы хотим, чтобы он зависел от Λ таким образом, чтобы в конечном выражении для энергии связи вся зависимость от этого вспомогательного нефизического параметра исчезла.

Но величина gΛ безразмерна, и поэтому если мы хотим сделать ее зависящей от размерного параметра Λ, то нам неизбежно придется вводить еще один размерный параметр (назовем его μ), так чтоб gΛ зависела только от отношения Λ/μ.

Можно легко убедиться, что для того, чтобы Λ исчезла из окончательного ответа, можно выбрать gΛ в следующем виде:


Такая форма 1/gΛ содержит "расходящуюся" часть (которая будет стремиться к бесконечности при снятии регуляризации) и конечную часть, которую мы выразили через новую букву gR. Эта величина называется перенормированной константой связи, в отличие от gΛ, параметра, стоявшего в потенциале, который принято называть неперенормированной, или затравочной константой связи. (Словосочетание "константа связи" в данной задаче просто означает связь частицы с внешним потенциалом, т.е. "силу", с которой она цепляется к точечной потенциальной яме.)

Стоит отметить, что gR не определена однозначно, а зависит от выбора μ: увеличение и уменьшение μ можно скомпенсировать изменением gR, и это по-прежнему будет та же самая формула для gΛ.

Если это выражение подставить в формулу для энергии связи, то действительно вся зависимость от Λ исчезает, и получится ответ:


Этот ответ не зависит от Λ, а значит, он "выживает" и при снятии регуляризации Λ→∞.

Осталось понять, какой физический смысл имеет выбранная нами процедура регуляризации. То, что мы не хотим включать компоненты с импульсами выше Λ, означает, что мы "не различаем" пространственные осцилляции с длиной волны меньше, чем 1/Λ. Так получится, если мы будем реально работать не с настоящим точечным потенциалом, а с потенциалом, сглаженным на масштабах 1/Λ. В импульсном УШ вместо константы gψ(0) у нас будет стоять честный фурье-образ потенциала, т.е. некоторая функция от импульсов, которая остается константой вплоть до импульсов порядка Λ, а затем резко спадает до нуля. Она-то и эффективно ограничивает область интегрирования в определении I2(κ).

Общая картина

Сведем теперь воедино то, что мы сделали.

Итак, мы решаем задачу о поиске связанного состояния в потенциале:


где gΛ(gR;μ) задается выписанной выше формулой, а fΛ(r) -- некая компактная функция с характерной протяженностью порядка 1/Λ и с единичным интегралом. В пределе Λ→∞ она стремится к двумерной дельта-функции, но из-за стоящей впереди величины gΛ(gR;μ), которая стремится к нулю, в целом дельта-функционного потенциала не получается. Получается другой притягивательный потенциал нулевого радиуса, который в некотором вполне конкретном смысле чуть-чуть слабее дельта-функции.

Этот потенциал по построению зависит от перенормированной константы связи gR и от размерной величины μ. Это свободные (и взаимосвязанные) параметры задачи: мы задаем эти числа, а затем строим через предельный переход потенциал, который на них опирается. Построенный потенциал не является просто какой-то функцией, и не сводится к дельта-функции, это объект из более широкого класса. Однако в такой задаче уже имеется связанное состояние с некоторой конечной энергией, которая выражается через gR и μ. Это связанное состояние надо вычислять до выполнения предельного перехода (так что обозначение предела в формуле выше является чисто символическим), и только после этого выполнять предельный переход в полученном ответе.

Стоит еще раз подчеркнуть необычность переформулировки задачи. Обычно, когда мы формулируем задачу, мы подразумеваем, что все величины в ней уже имеют физический смысл ("Пружинка массы m жесткости k ..."). В квантовой механике это обычно тоже работает -- и потенциал, и масса частицы обычно наблюдаемы. А тут мы вынуждены для корректной формулировки задачи использовать некую величину, которая точно не является наблюдаемой (gΛ). Такая ситуация как раз характерна для физики элементарных частиц.

Именно таким образом нам удается решить исходную задачу, т.е. построить математическую модель двумерного точечного потенциала со связанным состоянием.

Это решение может породить ощущение неудовлетворенности: мы не вычислили энергию связи, а фактически заложили ее в формулировку задачи, в определение потенциала. Это ощущение, однако, исчезает после того, как мы обратимся к другим задачам, связанным с этим потенциалом. Скажем, можно теперь изучать рассеяние налетающих частиц на этом потенциале. Безразмерная амплитуда рассеяния в s-волне должна как-то зависеть от энергии частиц. Если бы у нас была "чистая" дельта-функция, у нас не имелось бы в распоряжении никаких обезразмеривающих параметров, и значит, не было бы возможности построить конечную амплитуду рассеяния. Сейчас же, при правильной формулировке, такой параметр есть, так что амплитуда рассеяния будет зависеть от безразмерного отношения энергии налетающей частицы и энергии связанного состояния. Таким образом, мы действительно смогли построить модель, в которой можно вычислять физические наблюдаемые.

Нарушение масштабной инвариантности

Еще полезно заметить вот что. В прошлый раз мы обратили внимание, что УШ с "чистой" 2D дельта-функцией обладает масштабной инвариантностью. В результате, если бы какая-то конечная ненулевая энергия E являлась собственным числом гамильтониана, то и любая другая конечная ненулевая E' тоже бы была бы собственным значением. Т.е. получился бы непрерывный спектр отрицательных собственных значений, отвечающих связанным состояниям!

Так вот, в описанной выше переформулировке задачи мы вынуждены для корректного определения вводить размерный параметр μ. Он закладывается в потенциал, и он приводит к тому, что масштабная инвариантность потенциала пропадает. В результате, только что выписанный аргумент уже не работает, и никакого непрерывного спектра (в отрицательной области энергий) не получается.

Явление неизбежного возникновения размерного параметра в казалось бы безразмерной задаче называется размерной трансмутацией. Оно играет ключевую роль в современной теории сильных взаимодействий, КХД. Там тоже все начинается лагранжиана, содержащего только безразмерные параметры. Однако затем оказывается, что просто так формулой его не задашь, требуется его доопределять, и тут-то и возникает соответствующий размерный параметр.

Явление нарушения исходной симметрии задачи в процессе регуляризации и перенормировки называется аномалией. Аномалии тоже играют важную роль в современной физике элементарных частиц.

Вообще, в этой квантовомеханической задаче приходится использовать на удивление много приемов, которые характерны именно для квантовой теории поля, на которой базируется теоретическая физика элементарных частиц.

Литература

Имеется довольно большая литература, посвященная различным схемам регуляризации и другим математическим тонкостям в этой и других подобных задачах (в задачах с масштабно-инвариантными или с сингулярными потенциалами). Мое изложение близко к статье R.Jackiw, Delta function potentials in two-dimensional and three-dimensional quantum mechanics, из сборника Diverse topics in theoretical and mathematical physics, 1991 (по этой ссылке доступны сканы полного текста статьи). Эту статью можно порекомендовать для следующего "раунда" погружения в проблему.

Есть также относительно недавняя статья H.E.Camblong, C.R.Ordonez, Renormalized Path Integral for the Two-Dimensional Delta-Function Interaction, Phys.Rev. A65 (2002) 052123 (она же hep-th/0110176), в которой развивается подход к ней с помощью интегралов по путям, а кроме того, там есть много ссылок на более ранние работы.

В статье R.Jackiw описан также и другой, более строгий с математической точки зрения подход к этой проблеме -- через самосопряженные расширения. Насколько я понял, с вычислительной точки зрения этот подход полностью эквивалентен более физическому подходу с перенормировкой, но он позволяет избежать манипулирование расходящимися при снятии регуляризации выражениями. Этот подход начался с работ Березина и Фаддеева, и сейчас есть целая книга S.Albeverio et al, "Solvable Models in Quantum Mechanics", Springer-Verlag, 1988, в которой этот метод применяется систематически.

18 комментариев:

  1. Ну хорошо, а вот как бы я подошел к задаче с позиции честного физика, но не специалиста в КЭД и КХД. Берем примитивную цилиндрическую потенциальную яму радиусом R_0 и глубиной U_0. Решаем уравнение Шредингера и находим связанное состояние. Потом для перехода к дельта-функционной яме устремляем радиус к 0, а глубину - к бесконечности. Понятно, что это можно сделать разными способами, поэтому возникает параметр х: R_0 (U_0^х) = const. Вся задача сводится к тому, чтобы найти зависимость энергии связанного состояния от х, и найти области х, когда эта энергия конечна (а не 0 и не минус бесконечность).

    По-моему, это та же самая задача, только сформулированная по-другому, в более естественном, что ли, виде. Не так?

    ОтветитьУдалить
  2. Вот фишка в том, что никакая степень x не даст желаемого результата. Ты пытаешься "отклониться" от дельта-функции степенным образом, а нужно логарифмическим.

    ОтветитьУдалить
  3. Хорошо. Но если просто решить ур-е Шредингера для конечных U_0 и R_0, то уже из решения будет видно, как делать предельный переход, чтобы для бесконечно малого радиуса получить конечную энергию связи. Особенно если есть аналитическое решение (наверняка оно есть, хотя бы и через специальные функции?) Ну получится предельный переход типа R_0 exp(xh^2/(U_0mR_0^2)) или еще как - тоже нормально.

    ОтветитьУдалить
  4. Может быть, можно, надо посмотреть. Но так или иначе, там возникнет новый размерный параметр.

    ОтветитьУдалить
  5. Вот кстати есть статья quant-ph/9702042, в которой так и делается: берется цилиндрическая яма радиуса a и подбирается нужная глубина, а потом a стремился у нулю.

    Правда авторы той статьи делают странный вывод, что нарушение масштабной инвариантности явное, а не аномальное. Ну это вопрос дефиниций, по-моему.

    ОтветитьУдалить
  6. Применительно к сингулярным потенциалам метод регуляризации мне представляется математически не совсем ясным. А именно, предполагается, что существует конечный предел отношения 0/0. Этого удается избежать, если применить теорию самосопряженных расширений. Кроме того, подход с позиции о самосопряженности рассматриваемого оператора вскрывает причину проблем, возникающих при решении уравнения Шредингера (или другой задачи на собственные значения)(несамосопряженность гамильтониана или другого оператора,например, оператора импульса).

    Спасибо.

    ОтветитьУдалить
  7. Ну, непосредственно про такие пределы речи не идет. Ответ для наблюдаемых получается регулярным, он остается регулярным и при снятии регуляризации. Это промежуточные величины становятся в этом пределе неопределенными.

    Конечно, теория самосопряженных расширений более удовлетворительна с математической точки зрения. Вычислительные результаты получаются теми же.

    ОтветитьУдалить
  8. Sergey Gagarin26/7/09 02:56

    Не очень понятно, почему некоторые из комментирующих делают такой упор на самосопряженных расширениях и свысока смотрят на "обычную" регуляризацию :)
    Теория самосопряженных расширений дифференциальных операторов, конечно, могучая теория, но в других вопросах, по-моему. Потому как в данном случае встает вопрос, а какой, собственно, оператор мы собираемся расширять ? И здесь, по-видимому, приходится либо посмотреть в потолок и написать такой оператор (к тому же поставив в нужное место параметр расширения :) ), либо сначала провести некоторое исследование задачи, чтобы понять характер сингулярности и как с ней бороться. А именно это, собственно, и делалось в изложенных рассуждениях (хотя, по понятным причинам, и с недостаточной глубиной, учебный пример все-таки).

    ОтветитьУдалить
  9. Я не смотрю свысока на метод регуляризацию, т.к. с этим методом практически не знаком (только на примере сингулярных потенциалов)(сейчас поступаю в магистратуру). С методом самосопряженных расширений знаком немного больше.

    В данном случае нужно ответить вопрос: является ли гамильтониан рассматриваемой задачи самосопряженным? Дело в том, что, как известно, динамическим переменным в квантовой механике сопоставляются линейные самосопряженные операторы (это не тоже самое, что эрмитовые операторы), действующие в гильбертовом пространстве векторов состояний. В большинстве случаев условие самосопряженности выполнено. Но если гамильтониан не является самосопряженным,то возникают проблемы в нахождении его спектра. И поэтому для корректного рассмотрения надо сделать, если это возможно, его самосопряженным путем наложения специальных граничных условий на волновую функцию.

    Как я написал выше, применение метода усреднения к сингулярным потенциалам приводит к предположению о существовании конечного предела отношения 0/0. Под этим я имею в виду такую зависимость g от delta, что при стремлении delta к бесконечности, k остается конечным. Вот как раз выбор функции g=g(delta) мне представляется несколько искусственным, а Вам? :)

    ОтветитьУдалить
  10. Sergey Gagarin27/7/09 13:55

    to andro:

    Конечно, выбор зависимости для g кажется искусственным :). Ведь все промежуточные шаги по ее подбору опущены. В реальной жизни приходится [не]много повозиться, прежде чем понять, в чем проблема и как ее устранить.
    А поводу гамильтониана - проблема в том, что его, собственно, и нет, поскольку постановка задачи и является предметом рассмотрения. После того, как прояснилось, что должно получиться в итоге, можно думать и о правильном гамильтониане. Я не поленился и заглянул в указанную Игорем статью :). Насколько я понял, там именно такой случай. Когда автор заводит речь о самосопряженных расширениях, выписывается некий гамильтониан (как в слчае с зависимостью для g), который чудесным образом оказывается обладающим нужными свойствами. Причем правильность его выбора обосновывается (в том числе) и тем, что получающийся результат согласуется с результатом регуляризации :).

    ОтветитьУдалить
  11. Анонимный28/7/09 06:28

    К списку литературы я бы добавил задачник Левитова-Шитова по диаграммной технике, там эта задача как раз разбирается как простейший пример ренорм группы.

    ОтветитьУдалить
  12. Анонимный31/7/09 15:34

    Игорь, спасибо за интересную и такую полезную статью. Хотелось бы видеть побольше таких "обучающих" статей!

    С уважением,
    Виктор

    ОтветитьУдалить
  13. Лично мне как математику совершенно не понятен весь этот сыр-бор. Почему бы просто не взять функцию, являющуюся решением уравнения Шредингера (точнее уравнения D\psi=\lambda\psi, где D - оператор Шредингера) во всех точках кроме нулевой и объявить особенность в нуле такой, что эта функция является решением. Исходя из этого уже можно рассчитывать все остальное. В результате никаких умных слов типа перенормировки не надо.

    ОтветитьУдалить
  14. Sergey Gagarin31/7/09 19:37

    to halyavin:
    Ну да, вся проблема в том, как задать "граничное условие" в нуле. Это и служит предметом разбирательства в данной задаче. Просто, ввиду простоты задачи с точки зрения "продвинутого" математика или физика, что-то может показаться ненужным. Однако (см. самую первую часть) цель изложения заключалась в использовании простейших средств без привлечения "высокой" теории.
    А что касается умных слов, то меня тоже, как математика, коробит, когда вместо "собственные функции" говорят "связанные состояния", но это дело привычки, думаю :)

    ОтветитьУдалить
  15. Sergey Gagarin, обратите внимание, что собственные функции и связанные состояния - это разные вещи. :)

    Связанное состояние - это такое состояние, в котором система (частица) совершает финитное движение, т.е. все время находится в ограниченной области пространства. Волновая функция в таком состоянии обращается в нуль при больших по модулю значениях координат.

    Так, плоская волна, описывающая свободное движение частицы, является собственной функцией, но частица не находится в связанном состоянии, т.к. она может находится в любой области пространства.

    ОтветитьУдалить
  16. Sergey Gagarin4/8/09 14:19

    to andro:

    А Вы в каком пространстве рассматриваете гамильтониан ? Наверное, в L2 ? Так функция exp(ix) не лежит в этом пространстве. Видимо, Вы имеете в виду жаргонный термин "собственная функция непрерывного спектра" ? Ну, жаргон, он и есть жаргон :)

    ОтветитьУдалить
  17. Игорь,
    Скажите, пожалуйста, а как вы переносите TeX формулы в HTML. C опозданием Вам большое спасибо за рекомендацию использовать Маyura. Очень хорошая вещь (лучше Inkscape)!
    Asymptotical (LJ)

    ОтветитьУдалить
  18. рекомендацию использовать Маyura. Очень хорошая вещь (лучше Inkscape)! C этого места поподробнее,пожалуйста.

    ОтветитьУдалить