29 июня 2006 г.

Тривиальный и банальный

В русском языке слова "тривиальный" и "банальный" имеют существенно отличающиеся значения. Тривиальный -- это простой, не обладающий сложностью. Банальный -- это не столько "простой", сколько не обладающий интересностью, самый наиобычнейший, и к тому же какой-то приземленный.

В русском математическом языке часто встречается слово тривиальный. Тривиальные решения, тривиальное преобразование -- это все, что похоже на "нуль", т.е. все, что не представляет собой ничего "нетривиального".

Интересно, что в итальянском эти слова имеют практически противоположный смысл!

Тривиальный -- значит приземленный, "по-крестьянски простецкий", глуповато-плосковато-грубый. Этимология слова -- от "трёх дорог", т.е. места в древних поселениях, где раньше собирался простой люд, которому было нечего делать, и вёл свой простецкий "базар". В научной речи это слово не используется.

А в итальянском математическом языке то, что у нас называется тривиальным, там называется банальным. Банальное преобразование, банальные корни уравнения и т.д.

Такие вот особенности.

[Комментарии на Элементах]

Технология детектирования гравитационных волн

Тут сообщением ниже развернулась дискуссия про точность детектора грав. волн и используемые там технологии (по мотивам Преодолено препятствие на пути к высокочувствительному детектору гравитационных волн). Мне кажется полезным вынести его в отдельную ветку.

Я хочу подчеркнуть очень простое соображение.

Эксперимент может обладать сногсшибательной точностью на изменения, колебания какой-то величины, но не иметь возможности найти абсолютное значение этой величины с такой же точностью.

Самый простой пример. Пусть у вас на столе стоит стакан, и у вашего друга в Австралии -- тоже. Пусть вы сдвинули ваш стакан ровно на миллиметр, а ваш друг свой стакан не трогал. Тогда вы можете сказать, что расстояние между двумя стаканами изменилось на вполне определенное расстояние, связанное с вашим сдвигом и углом между направлением сдвига и направлением на Австралию. Но измерить с такой же точностью САМО это расстояние, его абсолютное значение вы не можете. И эти два факта друг другу никак не мешают.

В детекторе гравитационных волн -- аналогично. Поскольку всё состоит из атомов, а атомы имеют нечеткие границы, то расстояние между зеркалами в принципе нереально измерить с точностью лучше чем несколько долей ангстрема. Тем не менее, измерить изменение этого расстояния на очень малую величину -- можно.

Всё это говорит о том, что высокой точности изменения можно достичь и без столь же высокой точности изготовления компонент. А вот то, чт действительно требуется -- это высокая стабильной и отсутствие шумов.

Так что для компенсации тепловой расстройки оптической системы надо проследить, чтоб эта расстройка была стабильна во времени, и компенсировать ее аналогичной "по силе" противоположной по "направлению" и, самое главное, столь же стабильной искусственной расстройкой.

[Комментарии на Элементах]

28 июня 2006 г.

Нехорошая тенденция

Какая-то прискорбная тенденция пошла. Уже не в первый раз вижу отклик о своих заметках в духе "Бред. Опять журналисты, небось, все напридумывали и переврали". Люди настолько свыклись с мыслью, что научно-популярные новости в онлайн изданиях пишут только журналисты, причем исключительно неграмотные журналисты, что на авторство статьи им даже лень смотреть. Хотя у меня и статьи всегда подписаны, и ссылки на оригиналы статей всегда стоят. А на поверку оказывается, что человеку просто не поверилось в то, что было сделано в исследовании.

[Комментарии на Элементах]

26 июня 2006 г.

Электрон-позитронная аннигиляция в состояние с положительной четностью

Удивительно, что такой простой процесс, как аннигиляция электрон-позитронной пары в адронное состояние с положительной чётностью (идущая через два фотона), впервые экспериментально измерили только сейчас, см. статью коллаборации BaBar hep-ex/0606054.

Конечно, сечение такого процесса подавлено в alpha^2 раз по сравнению с "однофотонной" аннигиляцией. Однако похоже там есть еще какое-то подавление, потому что сечение процесса e^+e^- --> rho^0 rho^0 составляет всего 20 фб, т.е. в миллионы раз меньше, чем "однофотонная" аннигиляция. Интересно, что это за дополнительное подавление.

[Комментарии на Элементах]

23 июня 2006 г.

Математическая задачка посложнее

Теперь вниманию публики предлагается задачка по стереометрии. Условия -- точно такие же, как в предыдущей плоской задаче, только на этот раз -- в трех измерениях.

Чтоб сразу не стало скучно, скажу, что ситуация тут получается чуть хитрее, и до конца я в ней и сам пока не разобрался. Не хватает трехмерной воображалки :)

[Комментарии на Элементах]

Когда начнется эра LHC

Коллайдер LHC (с которым сейчас связаны основные надежды на прогресс в физике элементарных частиц) вступит в строй в середине 2007 года, но, оказывается, в течение первого года он будет, по сути, тестироваться. Первые месяцы работы полная энергия столкновений в системе центра масс будет всего 1.8 ТэВ, что сравнимо с энергией на Тэватроне. За это время изучат и отладят детекторы (да и сам пучок), но никаких новых физических результатов получить там не надеются.

Подробнее тут.

Первые столкновения с полной энергией столкновений 14 ТэВ запланированы не ранее, чем на апрель 2008 года. Первые результаты, соответственно, можно ждать осенью 2008 года.

Кстати, оказывается LHC работать будет только весной-осенью, а с Ноября по март он будет замораживаться. Интересно, с чем именно это связано?

[Комментарии на Элементах]

21 июня 2006 г.

Простая математическая задачка

Задам-ка я простую математическую задачку. :)

Дана плоскость и на ней, для простоты -- координатная сетка. Двумерные вектора на этой плоскости обозначим ri.
Пусть задано отображение ri в r'i = Aijrj + Bi с некоторой симметричной и вещественной матрицей Aij и некоторым, тоже вещественным, двумерным вектором Bi.

Вопрос -- сколько на единичной окружности существует точек ri, для которых r'i окажется параллельно ri?

Если кому-то трудно представлять в терминах матрицы, то можно представить так: действие матрицы Aij на вектор -- это увеличение в ax раз иксовой координаты этого вектора и в ay раз -- игрековой координаты.

[Комментарии на Элементах]

17 июня 2006 г.

"Супер"-конференции

Сегодня закончилась конференция SUSY2006, посвященная суперсимметрии (SUSY = SUperSYmmetry) и основанным на ней теориям. Напомню, что одна из главных надежд, связанных с ускорителем LHC в ЦЕРНе -- это открытие суперсимметричных частиц и доказательство того, что придуманная физиками суперсимметрия действительно имеет место в природе.

Кроме того, среди докладов хочу обратить внимание на специальную сессию, посвященную тому, что такое "естественная теория" (naturalness).

Если кому интересно, вот пара блогов (1 , 2), освещавших эту конференцию в прямом блогэфире.

Кроме того, вскоре пройдет также конференция Strings-2006, посвященная теории суперструн. Напомню, что несмотря на оптимистичный тон лекции Дэвида Гросса, в теории суперструн сейчас кризис, связанный с проблемой ландшафта. За последний год появилось много статей, предлагающих выходы из тупика. Интересно будет узнать "совокупную" оценку текущей ситуации от участников конференции.

[Комментарии на Элементах]

13 июня 2006 г.

Геометрические аспекты систем линейных уравнений

У меня тут в процессе решения одной задачи появилась интересная геометрическая интерпретация системы линейных уравнений (зависящих еще и от параметра) в терминах каустик. Вроде такого: если вектор, дающий правую часть системы, лежит внутри некоторого конуса, образованного каустиками, то решений 4, если снаружи -- то решений 2.

Кто-нибудь встречался с применением каустик к таким системам? Вещь-то простая, наверняка исследовалась уже.

[Комментарии на Элементах]

12 июня 2006 г.

Физика над конечными полями

Публичная лекция Арнольда про последовательности нулей и единиц навеяла вот какие мысли.

Практически вся физика описывается непрерывной математикой, в основе которой лежат вещественные числа. Отчасти из-за этого многие задачи являются (пока) неразрешимыми. Возникает вопрос: а если переформулировать разделы физики на ситуацию с дискретными или вообще конечными полями, удастся ли решить такие дискретные аналоги неразрешимых пока задач?

Речь идет не о дискретизации пространства(-времени), а о дискретности физических и математических объектов, которые на нем живут. Скажем, в обычной квантовой механике состояния системы описываются векторами в гильбертовом пространстве. Но всегда подразумевается, что это гильбертово пространство над полем комплексных чисел.

А если заставить вектора состояний "жить" в пространстве над конечными полями?

В частности, максимально упрощая ситуацию, можно рассмотреть квантовую механику над полем F2 -- т.е. грубо говоря, как у Арнольда, над полем нулей и единиц. При этом само гильбертово пространство, подчеркну, пусть остается бесконечномерным. Интуитивно кажется правдоподобным, что решать сложные задачи квантовой теории поля (например, конфайнмент?) над столь простым полем будет легче, чем над континуумом.

В принципе, в сети встречаются термины "finite quantum mechanics" и "finite quantum field theory", но, похоже, это не то.

[Комментарии на Элементах]

4 июня 2006 г.

Гравитация и хиггсовские поля

У читателя, изучающего современную физику по научно-популярным материалам, может сложиться впечатление, что гравитация возникает за счёт хиггсовского поля. Логика тут простая: везде пишут, что в стандартной модели есть специальный механизм (называемый хиггсовским), который придает частицам массу. А раз есть масса, от есть и гравитация. Нет массы -- нет гравитации. Так вот, все далеко не так.

Хиггсовский механизм действительно придает массу частицам, в частности, кваркам и электронам, из которых состоит вещество. Происходит это, образно говоря, так. Вначале все частицы были безмассовы, но зато были связаны с некоторым полем. Потом произошло нарушение симметрии, и вакуум оказался пронизан хиггсовским полем (не частицами, а именно вездесущим полем). Под действием сил, частицы продираются сквозь это поле так, словно у них есть масса. (Заметьте, тут речь идет про инертную массу.) И чем сильнее частицы была связана с полем, тем больше у нее получится масса.

Однако тут уже есть "но". Кварки, из которых сложено вещество, связаны с хиггсовским полем довольно слабо. Если бы масса вещества определялась только этой их связью, то протон и нейтрон весили бы примерно в сто раз меньше, чем на самом деле. Подавляющая же доля массивности протонов и нейтронов происходит из-за массивности того сгустка глюонного поля, который есть внутри них и который связывает кварки вместе.

Повторю еще раз: глюоны рассматриваемые как гипотетические отдельные частицы -- безмассовы. Но тот сгусток глюонных полей, который есть внутри нуклонов -- обладает массой. Удивительного в этом ничего нет. Точно так же фотоны как отдельные кванты безмассовы, но если запереть внутри маленькой идеально отражающей сферы много фотонов, но электромагнитное поле будет обладать плотностью энергии, и значит, будет придавать сфере в целом дополнительную массу. С глюонами, конечно, хитрее, там есть вакуумный конденсат, но суть похожая.

Вот и получается, что масса протона получается из-за глюонов, хотя глюоны сами с хиггсовским полем непосредственно не связаны. Это значит, что в мире и без хиггсовского поля у протона все равно была бы масса.

Второй шаг: переход к гравитации.
Фотоны массы не имеют, но гравитацию чувствуют, поэтому для выяснения интересующих нас вопросов ньютоновской гравитации, очевидно, недостаточно. В ОТО говорится, что гравитация -- это видимое нами проявление искривления пространства-времени. И порождает это искривление не масса, а тензор энергии-импульса. Т.е. любое "нечто", имеющее энергию и импульс, создает искривление пространства-времени. В частности, безмассовое поле -- в виде летящих вперед частиц или в виде локализованных полей, не важно -- обладает ненулевым тензором энергии-импульса, а значит, является источников гравитации.

Поэтому в мире без хиггсовского поля гравитация преспокойно бы осталась. Если бы там были массивные протоны -- то она была бы в привычном нам виде, Но даже если бы все частицы были безмассовы, то они бы все равно гравитационно притягивались, поскольку обладали бы энергией и импульсом.

PS
На самом деле, слова "гравитация" и "хиггсовское поле" вместе в научной литературе встречаются. См. например статьи hep-th/0503024 и gr-qc/9405013. Но там рассматривается другая идея: попытка представить гравитацию как явление спонтанного нарушения некоторого поля, в духе хиггсовского механизма. Это уже совсем не "то" хиггсовское поле.

[Комментарии на Элементах]