27 декабря 2005 г.

Новости математики

В интернете полным-полно научно-популярных новостей астрономии, физики, биологии, химии, геологии и т.д. Однако новостей математики практически не сыщешь. А то, что встречается, почти всегда касается сугубо прикладной математики ("Математики рассчитали, как правильно садиться в самолет") или вычислительной математики (недавно например нашли 43-е прстое число Мерсенна). Причем ситуация такова не только в Рунете, но и в большом интернете. Новости про настоящие математические открытия и находки встречаются крайне редко.

Интересно, в чем причина такой "удаленности от народа" достижений математики? Действительно ли существенных открытий в математике настолько меньше, чем в естественных науках? Или же эти достижения гораздо сложнее подать популярно, из-за чего они в прессу и не проникают?

[Комментарии на Элементах]

19 декабря 2005 г.

Математика как высокое искусство

Если вам математика кажется скучной, если вам надоели длинные формулы, идущие вереницей одна за другой, попробуйте теорию категорий! В ней формулы такие непривычные, такие возвышенные, можно распечатать, повесить на стенку и медитировать.



[Комментарии на Элементах]

Когда информации бывает слишком много

Молчаливо подразумевается, что главная цель настоящей науки -- это извлечь как можно больше информации, максимальное количество информации, которое только можно вообразить, о каком-то конкретном объекте. Так вот, это не всегда так.

Поясню сначала на физическом примере.
Пусть у нас есть тело из большого числа частиц, которые взаимодействуют по какому-то закону. Возникает ощущение, что "самая истинная" физическая теория должна абсолютно полностью описать эту систему, то есть описать движение каждой конкретной частицы. И когда выясняется, что физика (по крайней мере, основанная на современной математике) это не способна сделать даже в принципе, появляется разочарование.

На самом деле, это по-настоящему нигде не требуется.
Когда речь идет о большиъ системах, то всегда (для получения хоть сколько-нибудь разумных выводов) требуется знать вовсе не максимально полное состояние системы, а некоторое небольшое число общих характеристик. Например, температуру, давление, величину их флуктуаций и корреляции этих флуктуаций между различными точками.

Я не знаю ни одной физической задачи, когда требовалось бы знать положение и скорость всех конкретных частиц.

Получается интересная вещь. Физика интересуется не полным знанием о системе, а "проекцией" этого знания на "некоторый экран". Несколько спекулятивно можно даже сказать, что физика не приспособлена к работе с абсолютно полной информацией. И в этом нет ничего плохого и зазорного.

На днях я прочел заметку-размышление (pdf, 190 kb) математика Барри Мазура и впервые увидел, что аналог этого есть и в математике, казалось бы самой точной, даже больше -- абсолютно точной! -- из всех наук.

В своей заметке он рассказывает о смещении точки зрения на математические объекты, которое постепенно происходит сейчас (хотя, похоже, началось давно). Он пишет, что во все большем числе ситуаций в самых разных областях математики более полезным, более интересным и глубоким является не равенство двух объектов, а их эквивалентность. Т.е. не полная их идентичность, а их эквивалентность с какой-то определенной точки зрения. Все чаще в результате некоторого рассуждения появляется не однозначно определенный, "уникальный" объект, а "уникальный объект с точностью до (четко определенного) изоморфизма".

Совсем грубо это можно пояснить на примере признаков делимости. Представим себе, что мы строим какую-то теорию, в которой натуральные числа встречаются только в единственном контексте: а именно, делится ли число на 10 или нет. В этом аспекте числа 10, 100, 27180 и т.д. -- полностью эквивалентны. В рамках нашей теории совершенно нет необходимости различать их, для нас они по сути совершенно одно и то же, хотя -- формально -- они все же различаются.

Развитие математики показывает, что именно такие объекты оказываются более интересными, именно с ними можно получать более глубокие математические результаты. А то, что эти объекты, строго говоря, различны, мало кого интересует. Это как бы "излишняя информация" для постояния теории.

Такое смещение точки зрения в математике сопровождается смещением языка, изменением того фундамента, который лежит под всей математической деятельностью. Вместо теории множеств с его четким понятием, кто чему принадлежит и кто кому равен, более подходящим оказывается язык теории категорий, в котором "единственность с точностью до эквивалентности" появляется самым естестенным образом.

А на десерт я упомяну, что есть точка зрения, что именно теория категорий станет тем неопробованным пока математическим языком, который поможет теории суперструн выйти из кризиса.

[Комментарии на Элементах]

О конкурсе научно-популярных статей: 1. О неудачной организации

В связи с международным годом физики созданный В.Л.Гинзбургом фонд "Успехи физики" при спонсировании ряда компаний провел конкурс научно-популярных статей на тему "Физика как мировоззренческая и технологическая основа современной цивилизации" (я слегка сократил формулировку). Подробное описание целей, которые преследовал этот конкурс, можно найти на его веб-странице.

Предупрежу вопросы. Я тоже посылал две статьи на этот конкурс, одна из них опубликована здесь. Эти статьи не получили никаких призов, хотя я убежден, что они существенно лучше многих из статей победителей. Можно предположить, что нижеследующий текст написан под влиянием недовольства, что мне не дали приз. Недовольство действительно есть, но как раз настолько, чтобы не полениться и описать факты и мои выводы из них.

Суть конкурса

Фундаментальная наука -- это деятельность людей в мире закономерностей, явлений и формул. Жизнь людей в этом мире связана и с жизнью обычной, повседневной, но чтобы рассказать о этом, требуется сделать перевод с довольно специфического языка науки на общепонятный язык.
Этот конкурс, по сути, и был конкурсом таких переводов.
Как и любой перевод литературного произведения, популяризация современной науки -- дело непростое. Необходимо максимально сохранить структуру и дух исходного текста, не придумывать никакой отсебятины, и все это изложить доступными изобразительными средствами другого языка. Профессиональные переводчики классической литературы это прекрасно понимают.

Результаты этого конкурса оказались грустными. Я их буду обсуждать чуть позже, а пока что я хочу остановиться на поразительной по бездарности (или наоборот, характерной?) организации конкурса.

Однобокое жюри

В работе оргкомитета было два огромных ляпа, которые, похоже, свели на нет всю идею конкурса.

Первый грубый ляп заключается в том, что жюри почти полностью из журналистов. Да, два члена жюри (Е.А.Андрюшин и С.А.Цыганков) в свое время работали в физике, но сейчас они занимаются скорее администрированием науки, чем непосредственно наукой. Возвращаясь к лингвистической аналогии, можно сказать, что в жюри не было ни одного активно работающего специалиста по языку оригинала.

Результат легко предвидеть: такое жюри способно оценить популярность и доступность изложения, но не адекватность перевода с "научного" на "русский". Фактические ошибки, неверная информация, недобросовестный подбор фактов: ничего из этого жюри попросту не заметит. Знать это -- вне их квалификации.

Чтоб лучше прочувствовать всю паталогичность ситуации, представим себе, скажем, всероссийский конкурс на лучший перевод какого-нибудь из сонетов Шекспира. Задача, конечо, непростая. Школьного курса английского языка не хватит: надо хорошо знать именно язык шекспировской эпохи. Нужно также хорошо владеть и русским языком, чтоб наиболее точно выразить то, что написано явно и что читается у Шекспира между строк.

По окончании конкурса выясняется, что судьи -- как на подбор -- специалисты исключительно по русскому языку. С довольно умеренным знанием английского языка вообще и лишь очень отдаленным понятием о специфике шекспировского слога. Они могут прекрасно оценить качество представленного перевода, отметить пару недостаточно глубоких рифм или удачную фонетическую игру нерифмованных слов. Но они -- неизбежно! -- не смогут в полной мере оценить соответствие представленного текста оригиналу, просто потому что не чувствуют всего того, что выразил Шекспир.

Такое жюри будет на равных рассматривать какое-нибудь складное стихотворение в сонетном размере, слегка напоминающее оригинал, и попытку как можно более точного перевода всех аспектов шекспировского текста. И вполне вероятно, отдаст предпочтение первой работе как более "симпатично написанному" варианту.

Абсолютная непрозрачность

Второй промах заключается в непрозрачности оценок. Вначале, в качестве примера, расскажу, как выглядит система оценок научных заявок на международные гранты ИНТАС.

При объявлении конкурса четко, по пунктам разъясняется, что будет оцениваться в первую очередь, что во-вторую и т.д., причем критерии вполне конкретные и многочисленные.Считается само собой очевидным, что "жюри", оценивающее проекты, будет состоять действительно из настоящих экспертов, способных оценить соответствие заявки ВСЕМ критериям.

После подведения результатов авторам высылается подробная разбалловка: сколько пунктов из скольки возможных по каждому критерию получила заявка. Наконец, в конце следует краткая словесная рецензия от каждого из экспертов.

Что же имело место в нашем конкурсе? В письме всем участникам конкурса оргкомитет сообщил, цитирую:
В конкурсе приняло участие 297 авторов, приславших 537 работ. После предварительного отбора оргкомитетом на рассмотрение жюри было представлено 56 статей.


Получается следующая картина. Оргкомитет, очевидно, не справился с потоком работ, хотя его можно было бы предвидеть. В этой ситуации (без увеличения численности жюри и без продления срока его работы) можно было бы честно, пусть и задним числом,
сказать, что отбор проводился в два тура. Однако в этом случае необходима полная отчетность по каждом туру: кто именно оценивал, на основании каких именно критериев, и, конечно же, кто их прошел.

Ничего этого предъявлено не было. Можно только догадываться, что этот отсев, по-видимому, производился не самим жюри, а кем-то еще менее
квалифицированным
, и что он проходил на основании гораздо более поверхностного знакомства, чем последующая оценка жюри оставшихся 56 работ. Вполне вероятно, что на этом этапе никто на смысл текста вообще не смотрел, а отбор осуществлялся по каким-либо статистическим параметрам.

Кстати, еще такая пикантная деталь. Спустя некоторое время после объявления результатов с сайта конкурса исчезли слова про предварительный отбор 56 статей (но из писем-то авторам эти слова не исчезли). Оргкомитет, вероятно, осознал и устыдился этого ляпа. Но суть-то от этого замалчивания -- увы! -- не изменилась.

Из приведенной цитаты видно, что ни один из авторов не получил не то, чтобы отклика о своей работе или разбалловки по критериям, но и даже
простейшего упоминания, на каком этапе ее отсеяли.

Резюме

Трудно понять, что мешало организаторам конкурса включить с жюри наряду с журналистами и действующих ученых. Трудно понять, почему оргкомитет предпочел "силовое решение" вознишей проблемы с наплывом статей.
Так или иначе, но сама организация, неудачная и однобокая, начисто убила первоначальную идею. Вместо конкурса "Фундаментальная наука как мировоззренческая и технологическая основа цивилиации" получилось соревнование на тему "Что-нибудь очень популярное, каким-нибудь боком затрагивающее науку"

PS
А вопрос о том, что "журналисты награждали собратьев-журналистов", я предпочитаю вообще не рассматривать.

Окончание -- здесь.

[Комментарии на Элементах]

15 декабря 2005 г.

Печаль про группы SU(N)

Постоянно хочется соединить слишком разнородное.
Некоторый матетический аппарат, который бы был приятно кратким и общим, позволял бы умственно "увидеть" явление целиком, но при этом был бы способен и вычислять конкретные вещи.

Вот, например, сейчас уткнулся в то, что групповые множители диаграмм в случае группы SU(N) для произвольного N становится удручающе сложными для крупных диаграмм. В принципе, есть алгоритм вычисления групповых множителей для любой диаграммы; первое такое систематическое исследование появилось еще в 1976 году в статье Phys. Rev. D 14, 1536 (1976). Но для человека он становится слишком длинным, так что уж проще его компьютеризироват, ну и кроме того не остается никакого интуитивного понимания, что там происходит-то в процессе преобразований.

Фишка еще и в том, что конечные ответы получаются зачастую очень краткие. А промежуточные выкладки -- длинные, с разложением на отдельные члены, раскрытием скобок, сокращениями. Само собой напрашивается вывод, что это не самый экономичный способ вычисления.

С другой стороны, встречались недавно некоторые статьи про геометрию и топологию групп SU(N). Это все конечно хорошо и красиво, но как с помощью этого посчитать конкретные длинные свертки?

Может, кто-нибудь посоветует литературу по этому вопросу? Все-таки, давно люди этим занимаются, может чего-то уже выработалось?

[Комментарии на Элементах]