19 декабря 2005 г.

Когда информации бывает слишком много

Молчаливо подразумевается, что главная цель настоящей науки -- это извлечь как можно больше информации, максимальное количество информации, которое только можно вообразить, о каком-то конкретном объекте. Так вот, это не всегда так.

Поясню сначала на физическом примере.
Пусть у нас есть тело из большого числа частиц, которые взаимодействуют по какому-то закону. Возникает ощущение, что "самая истинная" физическая теория должна абсолютно полностью описать эту систему, то есть описать движение каждой конкретной частицы. И когда выясняется, что физика (по крайней мере, основанная на современной математике) это не способна сделать даже в принципе, появляется разочарование.

На самом деле, это по-настоящему нигде не требуется.
Когда речь идет о большиъ системах, то всегда (для получения хоть сколько-нибудь разумных выводов) требуется знать вовсе не максимально полное состояние системы, а некоторое небольшое число общих характеристик. Например, температуру, давление, величину их флуктуаций и корреляции этих флуктуаций между различными точками.

Я не знаю ни одной физической задачи, когда требовалось бы знать положение и скорость всех конкретных частиц.

Получается интересная вещь. Физика интересуется не полным знанием о системе, а "проекцией" этого знания на "некоторый экран". Несколько спекулятивно можно даже сказать, что физика не приспособлена к работе с абсолютно полной информацией. И в этом нет ничего плохого и зазорного.

На днях я прочел заметку-размышление (pdf, 190 kb) математика Барри Мазура и впервые увидел, что аналог этого есть и в математике, казалось бы самой точной, даже больше -- абсолютно точной! -- из всех наук.

В своей заметке он рассказывает о смещении точки зрения на математические объекты, которое постепенно происходит сейчас (хотя, похоже, началось давно). Он пишет, что во все большем числе ситуаций в самых разных областях математики более полезным, более интересным и глубоким является не равенство двух объектов, а их эквивалентность. Т.е. не полная их идентичность, а их эквивалентность с какой-то определенной точки зрения. Все чаще в результате некоторого рассуждения появляется не однозначно определенный, "уникальный" объект, а "уникальный объект с точностью до (четко определенного) изоморфизма".

Совсем грубо это можно пояснить на примере признаков делимости. Представим себе, что мы строим какую-то теорию, в которой натуральные числа встречаются только в единственном контексте: а именно, делится ли число на 10 или нет. В этом аспекте числа 10, 100, 27180 и т.д. -- полностью эквивалентны. В рамках нашей теории совершенно нет необходимости различать их, для нас они по сути совершенно одно и то же, хотя -- формально -- они все же различаются.

Развитие математики показывает, что именно такие объекты оказываются более интересными, именно с ними можно получать более глубокие математические результаты. А то, что эти объекты, строго говоря, различны, мало кого интересует. Это как бы "излишняя информация" для постояния теории.

Такое смещение точки зрения в математике сопровождается смещением языка, изменением того фундамента, который лежит под всей математической деятельностью. Вместо теории множеств с его четким понятием, кто чему принадлежит и кто кому равен, более подходящим оказывается язык теории категорий, в котором "единственность с точностью до эквивалентности" появляется самым естестенным образом.

А на десерт я упомяну, что есть точка зрения, что именно теория категорий станет тем неопробованным пока математическим языком, который поможет теории суперструн выйти из кризиса.

[Комментарии на Элементах]

Комментариев нет:

Отправить комментарий