Орбитальный угловой момент фотона

После недавнего поста Сергея Попова и моего (и не только) спора с ним про фотоны, приобретающие орбитальный угловой момент в окрестностях вращающихся черных дыр, я решил кое-что поподробнее написать про закрученный свет вообще.

Добавление: раз тут такой интерес возник, то почитайте и второй мой пост про орбитальный угловой момент фотона, в котором среди прочего подробно объясняется отличие ОУМ от поляризации.

Вращающиеся волны

В классической механике есть два типа движения твердого тела — поступательное движение (т.е. перемещение центра масс) и вращательное. Величину поступательного движения задают с помощью вектора скорости, величину вращательного — с помощью вектора угловой скорости (направление этого вектора указывает ось, относительно которой вращается тело). То же самое, но немножко в других величинах — импульс и момент импульса; эти величины удобны тем, что для изолированной системы они не меняются во времени (а угловая скорость, например, может меняться).

Обе эти величины — импульс и момент импульса относительно какой-то оси — существуют и для волн. Правда, волна — штука размазанная в пространстве, не точечная, поэтому для нее надо сначала определить плотность импульса и плотность момента импульса, а потом уж говорить про всю волну.

Волна, несущая импульс — это вещь стандартная. А как представить себе волну, несущую момент импульса? Особенно, если речь идет про линейную волну, т.е. волну, которая сама себя не чувствует, сама себя не искажает. Ведь момент импульса — это вращение, а вращение — это движение по кривой траектории, а линейная волна вроде как движется по прямой, она не может сама себя закрутить — по крайней мере так подсказывает интуиция.

На самом деле, тут интуиция дает сбой — как раз потому что волна не точечная штука, а мы привыкли иметь дело с более-менее локализованными объектами. Волны можно накладывать друг на друга, и это наложение будет иметь разные последствия в разных местах пространства. В результате этого в каждой точке пространства волна — локально! — будет бежать в какую-то свою сторону, иногда даже вбок от общего движения волны. Иными словами, энергия волны не просто бежит вперед, но и по пути перераспределяется в пространстве. Это нормально, это одно из следствий интерференции волн.

Так вот, наложение волн можно организовать так, чтоб эти локальные направления движения, этот поток энергии волны закручивался относительно выделенной оси. Вот картинка, которая это примерно иллюстрирует:

Поверхность постоянной фазы в «закрученной» волне. Рис. из статьи Science, 296 (2002) 2316.

Поверхность в виде штопора на этом рисунке — это поверхность постоянной фазы, т.е. те точки пространства, в которых волна находится в одинаковой фазе колебания. Стрелочки, перпендикулярные этой поверхности и идущие по винтовым линиям, показывают локальное направление движения волны. Для обычной плоской волны поверхности постоянной фазы — это просто плоскости, а перпендикулярные стрелочки везде были бы строго параллельны друг другу. А тут поверхность закручивается, и эти стрелочки как бы «обертывают» ось движения.

Именно это обертывающее движение и придает волне «в целом» некоторое вращение: волна летит вперед и вращается вокруг оси движения. Но получается это не из-за того, что волна крутится как твердое тело, а из-за коллективного эффекта наложения волн. Тем не менее это самое настоящее вращение в пространстве. Такая волна несет момент импульса, и если какое-то тело ее поглотит, то момент импульса передастся ему, и оно начнет вращаться.

Немножко формул

На рисунок можно взглянуть и чуть иначе. Представьте себе, что вы рассекаете эту волну плоскостью, перпендикулярной оси z (оси движения волны «в целом»). Тогда разные точки на этой плоскости будут отвечать разным фазам волны. Если на этой плоскости вы обходите вокруг центральной точки по кругу, фаза волны будет постоянно расти, и на полном обороте набег фаз составит 2π. В комплексных обозначениях волновая функция обладает угловой зависимостью exp(iφ), где φ — угол на этой плоскости. Закрутить волну можно и сильнее, организовав на полном обороте набег фаз кратный 2π. Зависимость от угла будет exp(imφ) с каким-то целым числом m.

В классической механике момент импульса точечной частицы определяется через ее положение и импульс:
В волновой механике можно тоже использовать эту формулу (только для плотности момента импульса), но только надо уточнить, чему равен импульс волны (это ключевой шаг!). Это можно сделать, например, на квантово-механическом языке: . Тогда оказывается, что оператор момента импульса в этой ситуации будет выражаться через угловую зависимость: . То есть, волна с множителем exp(imφ) несет m квантов момента импульса.

Спин и орбитальный угловой момент

В квантовой механике момент импульса имеет две разных составляющих: орбитальный угловой момент и спин. Всё, о чем говорилось выше — это именно орбитальный угловой момент, т.е. механическая закрученность волнообразного объекта вокруг оси. Спин — это другая характеристика, которая не связана с механическим движением объекта.

При описании света и в калибровочных теориях вообще осмысленное разделение полного момента импульса волны на орбитальный угловой момент и спин — это отдельная длинная песня, я пока этого касаться не буду. Я просто хочу подчеркнуть, что ОУМ — это совсем не спин, он существует и у бесспиновых частиц (выше как раз такой случай и рассматривался).

Экспериментальные достижения

Я наверно напишу потом более технический пост про частицы с ОУМ, но пока что кратко опишу экспериментальную ситуацию.

Может показаться, что такие закрученные волны организовать очень трудно. На самом деле лазерные лучи, несущие орбитальный угловой момент, были реализованы еще в 1992 году. Такой закрученный свет можно получить, выделяя и складывая возбужденные поперечные моды из лазерного луча, а можно и просто пропустить обычный луч через фазовую пластинку или специальную голограмму. Сейчас такой «закрученный свет» уже рутинно используется в атомной физике, в физике поверхности, им также очень интересуются люди из квантовой теории информации.

Без труда можно получить и закрученные радиоволны. Я как-то писал про станцию HAARP на Аляске, которая облучает ионосферу и смотрит, что там происходит. Так вот, в том же посте есть картинки свечения ионосферы, облученной радиоволнами с ненулевым орбитальным угловым моментом.

Получать закрученные фотоны с энергией выше оптического диапазона трудно. Сейчас есть предложения, как это можно сделать в рентгене и даже в области высоких энергий (в ГэВ-ной области), но пока что это не реализовано. Зато уже получены электронные волны, несущие орбитальный угловой момент. Буквально несколько месяцев назад были получены электроны с энергией 300 кэВ и орбитальным числами m ~ 100.

Тот или не тот орбитальный угловой момент?

А теперь я вернусь к спору, который состоялся у Сергея Попова в ЖЖ. Комментируя недавнюю работу про то, как фотоны приобретают орбитальный угловой момент при пролете вблизи вращающихся черных дыр, он отдельно выделял, что это «не совсем тот» угловой момент, что есть у крутящихся предметов; похожий, но не тот.

Я хочу подчеркнуть еще раз — и надеюсь, благодаря предыдущему тексту это станет яснее — что это не какой-то новый особый вид углового момента, а именно тот самый, обычный, родной вращательный момент импульса, связанный с движением в пространстве. Единственная необычность в его описании связана с тем, что мы его пишем для волны, а не для частицы. Разница тут не в самом угловом моменте, а в том, про какой объект мы говорим — про волну или про частицу.

И кирпич, вращающийся вокруг своей оси, и электрон, сидящий в атоме, скажем, в P-волне, и вот эти закрученные состояния света — все они обладают обычным орбитальным угловым моментом. Этот орбитальный угловой момент описывается одной и той же формулой . Только в случае кирпича эта формула трактуется на классическом языке, а в случае электрона в атоме или световой волны — на квантовом. В обоих случаях имеется поток энергии, обертывающий ось движения, только описывается он иначе — механически или волнообразно.