13 февраля 2009 г.

Задачка по оптике

Вот вам на выходные задачка по физике :).

Как известно, даже самая четкая собирающая линза не может сфокусировать свет в точку -- в фокальной плоскости всё равно будет пятнышко размером порядка длины волны. Хорошо, мы сфокусировали свет в такое пятно, а потом перешли в систему отсчета, движущуюся с релятивистской скоростью вдоль оптической оси, в направлении движения света. Все поперечные размеры при этом остаются неизменными, но длина волны света во много раз увеличится из-за эффекта Доплера. Получается, нам удалось сделать пятно во много раз меньше длины волны электромагнитного излучения!

В чём тут подвох?


UPDATE: появился правильный ответ, но я его пока скрываю.

UPDATE 2: пояснение.
В комментариях люди беспокоятся по поводу источника света и по поводу линзы: ведь линза в новой системе отсчета ультрарелятивистская, почему она должна подчиняться тем же правилам, что и неподвижная? Правильно, не подчиняется, про это собственно и задача, но это не объясняет, почему так происходит.

Я хочу подчеркнуть, что главным действующим лицом тут является не линза, а сам свет. Линза лишь модулирует световую волну, превращая исходный параллельный свет в такой пучок, который в дальнейшем сам сфокусируется в нужное пятно. Релятивистская линза, следовательно, умудряется промодулировать свет так, чтобы он фокусировался более эффективно, чем неподвижная линза. Вот вопрос и заключается в том, как именно линза это делает, что происходит со светом после прохождения через релятивистскую линзу.

UPDATE 3: итак, ответ:

я вас немножко обманул, сказав, что пятнышко будет порядка длины волны. На самом деле оно будет порядка λ/α, где α -- угол к оси, под которым идет в фокус луч с самого края линзы. Если этот угол мал, то пятно будет заметно больше длины волны. До этой формулы можно догадаться, вспомнив соотношение неопределенностей для сигналов: Δx ~ 1/Δkx. В эту формулу входит поперечная компонента волнового вектора, т.е. примерно k*α ~ α/λ.

В новой системе отсчета изменится не только длина волны, но и угол фокусировки. Опять же это легко увидеть, если вспомнить, что поперечный импульс остается неизменным, а продольный уменьшается из-за эффекта Доплера. В результате увеличивается и длина волны, и угол, и они компенсируют друг друга. Или с другой стороны, еще проще, раз kx остается неизменным, то и поперечные размеры пятна тоже.

Отдельный интерес представляет ситуация, когда угол становится порядка единицы и больше. При ещё большем бусте свет сходится уже с большого телесного угла, почти 4π. В том числе, будут лучи, прилетающие под углом с обратной стороны, в направлении движения линзы! Вдобавок, в этом случае свет станет уже сильно немонохроматичным.

А пытаться проследить ход света в релятивистской линзе -- это отдельная нетривиальная задача, как раз из-за того, что свет "сдувается" линзой, когда идет в ней. Можно сказать, что в некотором смысле релятивистская линза преломляет свет сильнее, чем неподвижная.

Правильных ответов было два: от vayun и от анонима, см. комментарии ниже.

17 комментариев:

  1. источник света ведь тоже движется с релятивистской скоростью. так ли ?

    ОтветитьУдалить
  2. В задачу можно вообще не вводить источник света. Просто прилетает свет издалека и преломляется в линзе.

    ОтветитьУдалить
  3. А что будет с пятном-то? :-)

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный13/2/09 22:03

    Если двигаться в "в направлении движения света", то фокус потеряем :)

    ОтветитьУдалить
  5. Возможный ответ на стр. 195 II Теория Поля Ландавшица. Минимальный размер пятна ~lambda/theta, где theta угол раствора пучка. При переходе в движущуюся систему отсчета изменится не только длина волны, но и угол theta => Противоречия нет.

    ОтветитьУдалить
  6. Если откуда-то издалека прилетает свет, то его скорость равна c вне зависимости от того, как и куда мы движемся. Если его длина волны поменялась (эффект Допплера или еще какой эффект) - то, насколько я понимаю, это приведет (в силу дифракции) к размазыванию пятна.

    ОтветитьУдалить
  7. to free researcher: почему это? Ведь не изменяем ни саму линзу, ни свет. Свет не начнет по-другому преломляться или дифрагировать, он как двигался, так и двигается. Это мы просто перешли в другую систему отсчета и при этом мы пользуемся тем свойством, что поперечные расстояния и поперечные компоненты импульсов не меняются.

    ОтветитьУдалить
  8. Про потерю фокуса. Да, фокус будет двигаться вслед за линзой, правда он и по оси z может быть растянут. Но мы имеем право рассмотреть моментальный снимок фокуса. Ведь в обычной оптике не говорится, что этот фокус должен держаться в течение длительного времени.

    ОтветитьУдалить
  9. Анонимный14/2/09 11:56

    Разве мы можем сказать что движущаяся (а тем более с релятивистской скоростью) линза, будет преломлять свет также как неподвижная? Согласно принципу относительности, в своей системе отсчета линза должна формировать пятно ~lambda. При переходе в другую систему поперечный размер не меняется, значит движущаяся линза преломляет отлично от неподвижной.

    ОтветитьУдалить
  10. Верно, но это еще не объясняет, как именно это происходит, см. дополнение к посту.

    ОтветитьУдалить
  11. Анонимный14/2/09 22:42

    Релятивистская линза -- это плоский блин, который в пределе ничего сфокусировать не может :) Надо бы посчитать, но физическая интуиция говорит, что и тут природа устроена честно, и релятивистское уплощение линзы в точности компенсирует сокращение длины волны.

    ОтветитьУдалить
  12. Интуиция -- это хорошо, но надо внимательно ей следовать :)

    В новой системе отсчета линза уплощается, а длина волны увеличивается. Кто что компенсирует тогда?

    Но это даже не сильно важно. Главно, что ультрарелятивистская линза не плоская, а уплощенная -- кривизна же ненулевая. Свет, попадая в такую линзу, увлекается линзой, летит вперед вместе с ней. Относительная скорость света внутри линзы и самой линзы очень мала, так что свет летит внутри линзы довольно долго. Набег фазы получается нетривиальный, он разный на разных прицельных параметрах, так что линза вполне себе фокусирует свет.

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный15/2/09 21:41

    "в фокальной плоскости всё равно будет пятнышко размером порядка длины волны."

    Не совсем корректно указали все величины, входяшие в разрешение. В действительности формула для разрешающей способности delta x= lambda/sin(theta/2), содержит апертурный угол, который при переходе в релятивистскую систему будет стремиться к нулю, что и обеспечит постоянство размера поперечного пятна.

    ОтветитьУдалить
  14. А если так: если линза уплощается - то получается, что как бы эффективный радиус поверхности линзы растет, т.е. уменьшается отношение размера линзы к радиусу. А уменьшение линзы всегда приводит к ухудшению качества фокусировки, т.е. к росту диаметра перетяжки.

    ОтветитьУдалить
  15. Анонимный16/2/09 12:24

    так ведь свет после преломления идёт уже по другой траектории... Т.е. длина света после прохождения линзы по её краям должна умньшиться, т.к. свет будет идти по гипотенузе... Соответственно, пятно размажеться по линии движения... Или что-то я намудрил? :)

    ОтветитьУдалить
  16. Хорошо, когда ультрарелятивистские линзы кажутся интересными :)

    ОтветитьУдалить