10 ноября 2006 г.

Плащ-невидимка и современная математика

Некоторое время назад в СМИ было большое оживление, связанное с открытием принципиальной возможности сделать объект невидимым для постороннего наблюдателя и практической реализацией этой идеи в микроволновом диапазоне (см. статью Эльфийский плащ стал реальностью).

Вчера я наткнулся на очень интересную статью math.AP/0611185, "Full-wave invisibility of active devices at all frequencies", в которой доказываются еще более сильные результаты.

Во-первых, на меня произвело очень сильное впечатление, что такая понятная и знакомая всем задача :) как возможность создания плаща-невидимки формулируется в виде четкой математической теоремы: неединственность решения задачи Кальдерона для уравнений Максвелла. Второе сильное впечатление я получил, когда полез искать информацию про эту задачу и выяснил, что та же самая высокая математика уже давно и вовс используется в медицине, в электроимпедансной томографии.

Суть математического утверждения, стоящего за плащом-невидимкой, очень простая. Когда мы рассматриваем объект (освещая его, например, фонариком), мы решаем обратную задачу: зная то, как мы освещаем тело, и видя то, какой свет попадает к нам в глаза, мы восстанавливаем форму, цвет и прочие свойства объекта. Свет -- это электромагнитные волны, поэтому, в более строгой формулировке, мы посылаем электромагнитные волны, а сами сидим снаружи некоторой области и меряем все электрические и магнитные поля на её границе. Имея все эти данные, мы пытаемся восстановить распределение коэффициента преломления (точнее, эл. и магн. восприимчивостей) внутри этой области. Это и есть задача Кальдерона.

Единственность решения задачи Кальдерона означала бы, что если мы на границе "видим" распределение полей от пустого пространства, то ничего кроме пустого пространства там быть не может -- т.е. объект никогда нельзя абсолютно спрятать от наблюдения. И наоборот, если абсолютный плащ-невидимка может существовать (хотя бы в принципе), то это значит, что две различные ситуации -- пустое пространство и тело, "покрытое плащом" -- приводят к идентичным наблюдательным данным на границе, что возможно только при неединственности решения задачи Кальдерона.

Предыдущие теоретические работы на самом деле трактовали задачу в очень упрощенном виде -- в пределе гометрической оптики. Т.е. рассматривалось распространение не волн, а бесконечно тонких лучей света (т.е. длина световой волны считается нулевой или по крайней мере много меньше размеров области). В данной работе доказано, что утверждение справедливо и для произвольных волн, сколь угодно длинных. Более того, если я правильно понял, дается конструктивное доказательство невидимости: т.е. по заданном телу можно построить такую оболочку, которая его делает полностью невидимым.

Но не это даже главное. Авторы утверждают, что "спрятать" не только пассивный, но и активный объект -- т.е. имеющий поглотители и излучатели ЭМ волн, токи и т.д. Говоря простыми словами, "спрятать" можно и работающие ЭМ устройства! (Какие перспективы для военных, однако!)

Вот тут начинаются, правда, тонкости, которые я не улавливаю. Утверждается, что для невидимости активных обхектов требуется использовать некое "двойное" покрытие, которе обладает какими-то математическими свойствами, невозможными для "одинарного". Бло бы интересно, если бы кто-нибудь разъяснил подробнее.

Впрочем стоит сказать, что всё это, конечно, красиво, но для практического применения наверно не сильно важно -- реально нужна не абсолютная, а приблизительная невидимость. Хотя методы, использованные в статье, могут пригодиться при реальном конструировании "плащей-невидимок".

[Комментарии на Элементах]

2 комментария:

  1. если мы на границе "видим" распределение полей от пустого пространства, то ничего кроме пустого пространства там быть не может
    Почему нам так важно видеть пустое пространство? Ведь когда мы смотрим на прозрачный объект (например, стекло), то мы видим то, что находится за объектом.
    Спасибо

    ОтветитьУдалить
  2. Анонимный24/9/10 04:28

    С позиций ур-ия мат физики ситуация понятна:
    для нелинейных гиперболических ур-ий существует понятие складки (место, где лучи решения ведут себя неоднозначно - могут перескакивать определенные отрезки).
    Аналогичные явления наблюдаются и в акустике, особенно гидро - там проще физика и математика, соответсвенно.
    При распространении отраженного сигнала в нелинейных средах возникают места, где сигнал пропадает (работы Бреховских).
    Работ такого плана достаточно много.

    ОтветитьУдалить