Вот, совсем проглядел: метаматериалы с отрицательным показателем преломления наконец-то добрались и до оптического диапазона. См. статью Optics Letters, Vol. 32, Issue 1, pp. 53-55, "Negative-index metamaterial at 780 nm wavelength" (она же physics/0607135), популярное изложение на сайте New Scientist.
[Комментарии на Элементах]
28 декабря 2006 г.
27 декабря 2006 г.
Ровно столько несимметричности, сколько нужно
Я тут занимаюсь переписыванием двухдублетной хиггсовской модели на геометрическом языке. В процессе этого выясняется, что многие результаты, полученные вычислениями в лоб, имеют простую и прозрачную геометрическую или алгебраическую суть.
Вот например есть такое явление в двух-дублетной модели: спонтанное CP-нарушение в хиггсовском секторе. Спонтанное нарушение какой-то симметрии означает, что задача симметрией обладает, а её решение -- нет.
Оказывается, для того, чтоб в двух-дублетной модели наблюдалось спонтанное CP-нарушение, надо, чтоб хиггсовский потенциал имел немножко "необязательной" симметрии, но не слишком много. Если симметрии нет совсем, то никакого CP-сохранения нет уже на уровне лагранжиана -- это случай явного CP-нарушения, который не очень интересный. Если же симметрии будет слишком много, то не останется никакой возможности для спонтанного её нарушения. Т.е. несимметричности должно быть ровно столько, сколько нужно!
Это сказано в столь общих терминах, что думается, это явление не ограничивается моим конкретным случаем. Очень хотелось бы понять -- насколько это общий физический или математический факт. Надо попробовать построить еще примеры, желательно чисто математические.
[Комментарии на Элементах]
Вот например есть такое явление в двух-дублетной модели: спонтанное CP-нарушение в хиггсовском секторе. Спонтанное нарушение какой-то симметрии означает, что задача симметрией обладает, а её решение -- нет.
Оказывается, для того, чтоб в двух-дублетной модели наблюдалось спонтанное CP-нарушение, надо, чтоб хиггсовский потенциал имел немножко "необязательной" симметрии, но не слишком много. Если симметрии нет совсем, то никакого CP-сохранения нет уже на уровне лагранжиана -- это случай явного CP-нарушения, который не очень интересный. Если же симметрии будет слишком много, то не останется никакой возможности для спонтанного её нарушения. Т.е. несимметричности должно быть ровно столько, сколько нужно!
Это сказано в столь общих терминах, что думается, это явление не ограничивается моим конкретным случаем. Очень хотелось бы понять -- насколько это общий физический или математический факт. Надо попробовать построить еще примеры, желательно чисто математические.
[Комментарии на Элементах]
10 декабря 2006 г.
Тик-так...
Когда я в тихой комнате прислушиваюсь к тиканию часов, то мне слышится вовсе не одинаковое тик-так, тик-так, а иногда явно звонче, иногда приглушеннее. Кто-нибудь такое замечал? Думается, что это психологический эффект из-за ожидания очередного тик-така. Часы самые обычные, настенные, на том самом китайском квадратном часовом механизме :)
[Комментарии на Элементах]
[Комментарии на Элементах]
7 декабря 2006 г.
(Не)локальность
Поскольку тут зашел длинный разговор про то, что такое локальность физических теорий, и даже спросили мое личное мнение, то я выскажусь отдельным сообщением.
Всегда, когда я встречался с понятием локальности, речь шла о вполне конкретной вещи: изменение во времени некоторой динамической переменной зависит от значений этой переменной в данной точке и её бесконечно малой окрестности. Или в эквивалентной формулировке -- от значений этой переменной и конечного числа её производных по координатам в данной точке. Соответственно, нелокальность означает, что эволюция во времени зависит от значения этой переменной в других точках. Обычно уравнения удается разделить на "свободные" уравнения и члены, описывающие взаимодействия, и тогда вопрос о локальности теории сводится к локальности взаимодействия.
Да, если уж проводить быть аккуратным, то надо говорить, что эти "точки" пространства относятся именно к конфигурационному пространству. Однако как правило именно конфигурационное пространстве шире "обычного" (пример -- N частиц), поэтому одинаковые точки конфигурационного пространства отвечают одинаковым точкм и обычного пространства.
Теперь кое-какая конкретика.
1.
Начну с квантовой механики, так проще. УШ содержит потенциал -- оператор взаимодействия частицы с кем-то. Тот факт, что этот потенциал создает какое-то другое тело, находящееся далеко, никого не беспокоит -- только из-за этого теория еще не считает нелокальной. Если потенциал есть полином от операторов дифференцирования конечного порядка по координатам, то такой потенциал локален. Если же оператор потенциала явно записывается в интегральной форме
V[ψ] = \int V(x,x') ψ(x') dx'
или же имеет такие бяки как
1/(1-dx) = 1 + dx + dx2 + ...
то он нелокален, поскольку эволюция в.ф. в данной точке зависит от в.ф. в других точках.
2.
В КТП (обычной) локальность означает, что лагранжиан строится из произведений полевых функций, взятых в одной и той же точке пространства-времени. Однако может статься так, что после интегрирования по тяжелым степеням свободы получившееся эффективное действие для легких частиц будет нелокальным. Такого типа нелокальные потенциалы используются в ядерной физике и низкоэнергетической адронной физике, и при том довольно активно (см. например библиографию по сепарабельным потенциалам -- это один из простейших видов нелокального взаимодействия). Так что само по себе это не страшно, надо лишь помнить, что это всё должно выводиться из более глубокой локальной теории.
Есть, конечно, и попытки засунуть нелокальность и в фундаментальную теорию, но я не слышал о каких-то существенных успехах в этой области. Если посмотреть на аксиоматическую теорию поля, то локальность одно из налагаемых там требований.
3.
Отдельно стоит поговорить про обменное взаимодействие. Казалось бы, оно явно нелокально, поскольку оператор обменного взаимодействия, действующий на двухчастичное состояние, переставляет координаты:
Vобм.[ψ(x1,x2)] ~ ψ(x2,x1)
что вовсе не пропорционально ψ(x1,x2). Однако на самом деле настоящей нелокальности тут не возникает. Дело в том, что раз мы описываем состояния тождественных частиц, то мы должны ограничить себя рассмотрением двухчастичных состояний, которые уже (анти)симметризованны, а значит, ψ(x1,x2) ~ ψ(x2,x1),
и оператор обменного взаимодействия уже не будет казаться нелокальным. Можно сказать так: в физической области гильбертова пространства состояний двухчастичной системы обменное взаимодействие тоже локально. А нелокально оно в нефизической части.
4.
А вот теперь по поводу закона Ньютона и закона Кулона. При правильной постановке задачи, заряд взаимодействует не с удаленным зарядом, а электрическим полем в данной точке. Электрическое же поле в данной точке определяется удаленным зарядом в прошлом, причем определяется не "мгновенно", а "по цепочке" вдоль светового конуса, локально. Т.е. когда-то в прошлом тело пришло "туда", в ту удаленную точку, "привезло" с собой ЭМ поле, которое сейчас мы в нашей точке и чувствуем. Это поле распространялось в соответствии с локальными уравнениями Максвелла, поэтому я не вижу никаких причин называть эту задачу фундаментально нелокальной.
Однако по аналогии с эффективным действием можно как бы "забыть" про поле и говорить только о зарядах. Тогда да, это будет наверно нелокальное упрощение исходной локальной задачи. Но это -- именно что упрощенная интерпретация. Настоящей нелокальности тут нет.
5.
Кстати, стоит отметить, что в понятии локальности присутствует явная несимметрия между координатными и импульсным (и вообще любым другим) представлением. КМ локальная именно в координатном представлении. Если УШ переписать в импульсном представлении, то оно будет явно нелокальным -- нелокальным в импульсном пространстве (член со взаимодействием там будет выражаться сверткой, а не произведением!)
Таким образом не все базисы в гильбертовом пространстве квантовой частицы равноправны, в том числе по отношению к понятию локальность.
P.S. Но я конечно не истина в последней инстанции, у меня тоже может быть неправильное представление.
[Комментарии на Элементах]
Всегда, когда я встречался с понятием локальности, речь шла о вполне конкретной вещи: изменение во времени некоторой динамической переменной зависит от значений этой переменной в данной точке и её бесконечно малой окрестности. Или в эквивалентной формулировке -- от значений этой переменной и конечного числа её производных по координатам в данной точке. Соответственно, нелокальность означает, что эволюция во времени зависит от значения этой переменной в других точках. Обычно уравнения удается разделить на "свободные" уравнения и члены, описывающие взаимодействия, и тогда вопрос о локальности теории сводится к локальности взаимодействия.
Да, если уж проводить быть аккуратным, то надо говорить, что эти "точки" пространства относятся именно к конфигурационному пространству. Однако как правило именно конфигурационное пространстве шире "обычного" (пример -- N частиц), поэтому одинаковые точки конфигурационного пространства отвечают одинаковым точкм и обычного пространства.
Теперь кое-какая конкретика.
1.
Начну с квантовой механики, так проще. УШ содержит потенциал -- оператор взаимодействия частицы с кем-то. Тот факт, что этот потенциал создает какое-то другое тело, находящееся далеко, никого не беспокоит -- только из-за этого теория еще не считает нелокальной. Если потенциал есть полином от операторов дифференцирования конечного порядка по координатам, то такой потенциал локален. Если же оператор потенциала явно записывается в интегральной форме
V[ψ] = \int V(x,x') ψ(x') dx'
или же имеет такие бяки как
1/(1-dx) = 1 + dx + dx2 + ...
то он нелокален, поскольку эволюция в.ф. в данной точке зависит от в.ф. в других точках.
2.
В КТП (обычной) локальность означает, что лагранжиан строится из произведений полевых функций, взятых в одной и той же точке пространства-времени. Однако может статься так, что после интегрирования по тяжелым степеням свободы получившееся эффективное действие для легких частиц будет нелокальным. Такого типа нелокальные потенциалы используются в ядерной физике и низкоэнергетической адронной физике, и при том довольно активно (см. например библиографию по сепарабельным потенциалам -- это один из простейших видов нелокального взаимодействия). Так что само по себе это не страшно, надо лишь помнить, что это всё должно выводиться из более глубокой локальной теории.
Есть, конечно, и попытки засунуть нелокальность и в фундаментальную теорию, но я не слышал о каких-то существенных успехах в этой области. Если посмотреть на аксиоматическую теорию поля, то локальность одно из налагаемых там требований.
3.
Отдельно стоит поговорить про обменное взаимодействие. Казалось бы, оно явно нелокально, поскольку оператор обменного взаимодействия, действующий на двухчастичное состояние, переставляет координаты:
Vобм.[ψ(x1,x2)] ~ ψ(x2,x1)
что вовсе не пропорционально ψ(x1,x2). Однако на самом деле настоящей нелокальности тут не возникает. Дело в том, что раз мы описываем состояния тождественных частиц, то мы должны ограничить себя рассмотрением двухчастичных состояний, которые уже (анти)симметризованны, а значит, ψ(x1,x2) ~ ψ(x2,x1),
и оператор обменного взаимодействия уже не будет казаться нелокальным. Можно сказать так: в физической области гильбертова пространства состояний двухчастичной системы обменное взаимодействие тоже локально. А нелокально оно в нефизической части.
4.
А вот теперь по поводу закона Ньютона и закона Кулона. При правильной постановке задачи, заряд взаимодействует не с удаленным зарядом, а электрическим полем в данной точке. Электрическое же поле в данной точке определяется удаленным зарядом в прошлом, причем определяется не "мгновенно", а "по цепочке" вдоль светового конуса, локально. Т.е. когда-то в прошлом тело пришло "туда", в ту удаленную точку, "привезло" с собой ЭМ поле, которое сейчас мы в нашей точке и чувствуем. Это поле распространялось в соответствии с локальными уравнениями Максвелла, поэтому я не вижу никаких причин называть эту задачу фундаментально нелокальной.
Однако по аналогии с эффективным действием можно как бы "забыть" про поле и говорить только о зарядах. Тогда да, это будет наверно нелокальное упрощение исходной локальной задачи. Но это -- именно что упрощенная интерпретация. Настоящей нелокальности тут нет.
5.
Кстати, стоит отметить, что в понятии локальности присутствует явная несимметрия между координатными и импульсным (и вообще любым другим) представлением. КМ локальная именно в координатном представлении. Если УШ переписать в импульсном представлении, то оно будет явно нелокальным -- нелокальным в импульсном пространстве (член со взаимодействием там будет выражаться сверткой, а не произведением!)
Таким образом не все базисы в гильбертовом пространстве квантовой частицы равноправны, в том числе по отношению к понятию локальность.
P.S. Но я конечно не истина в последней инстанции, у меня тоже может быть неправильное представление.
[Комментарии на Элементах]
30 ноября 2006 г.
Есть ли связь между темным веществом и барионной асимметрией?
Сегодня был астрофизический семинар, выступал некто Michel Tytgat из Брюсселя. Рассказывал свою идею о том, что происхождение барионной асимметрии и происхождение темного вещества могут быть связаны друг с другом (см. например hep-ph/0606140).
Суть такова. Над Стандартной моделью строится некий довесок: новые кварки, лептоны, калибровочные бозоны. Начальная ситуация такова, что никакой барионной асимметрии нет. Затем строится такая модель их взаимодействия, что тяжелые частицы в процессе распада порождает два сектора: один сектор распадается в конце концов на обычное вещество, а второй -- на тяжелые частицы, которых мы не видим и которые составляют темную материю. Конструкция такова, что никакой асимметрии вещества в целом нет: просто барионная асимметрия в "светлой материи" как раз компенсируется противоположной асимметрией темной материи. Таким образом не только эти две, казалось бы разрозненные, вещи соединяются в нечто единое, но и возникает более-менее естественное объяснение тот "случайный" факт, что в нашей вселенной плотность темной материи и светлой материи -- одного порядка (они отличаются всего в пять раз, но в принципе могли бы отличаться на много порядков).
Правда с точки зрения физики частиц конструкция выглядит чрезвычайно неуклюже. Причем автор сам это понимает, он за время доклада несколько раз это повторял извиняющимся тоном :)
[Комментарии на Элементах]
Суть такова. Над Стандартной моделью строится некий довесок: новые кварки, лептоны, калибровочные бозоны. Начальная ситуация такова, что никакой барионной асимметрии нет. Затем строится такая модель их взаимодействия, что тяжелые частицы в процессе распада порождает два сектора: один сектор распадается в конце концов на обычное вещество, а второй -- на тяжелые частицы, которых мы не видим и которые составляют темную материю. Конструкция такова, что никакой асимметрии вещества в целом нет: просто барионная асимметрия в "светлой материи" как раз компенсируется противоположной асимметрией темной материи. Таким образом не только эти две, казалось бы разрозненные, вещи соединяются в нечто единое, но и возникает более-менее естественное объяснение тот "случайный" факт, что в нашей вселенной плотность темной материи и светлой материи -- одного порядка (они отличаются всего в пять раз, но в принципе могли бы отличаться на много порядков).
Правда с точки зрения физики частиц конструкция выглядит чрезвычайно неуклюже. Причем автор сам это понимает, он за время доклада несколько раз это повторял извиняющимся тоном :)
[Комментарии на Элементах]
19 ноября 2006 г.
Незашоренный взгляд со стороны
Распространена такая точка зрения, что мнение дилетанта может (и даже должно!) оказаться очень полезным, потому что "взгляд со стороны" вроде как незашоренный, свободный от предрассудков, позволяет влить свежую струю, освободиться от искусственных оков мышления и т.д.
Так вот, опыт показывает, что в подавляющем большинстве случаев так называемое "свежее" мнение полного дилетанта оказывается гораздо более зашоренным, чем у (грамотных) специалистов в рассматриваемом вопросе.
Суть в том, что в науке за многие века уже наработано множество очень нетривиаиальных идей и поворотов мысли. Эти повороты мысли расширяют мыслительные способности человека, позволяют понимать и доказывать то, что "в лоб" кажется совсем непонятным. Полный дилетант как правило не знаком с этими "умениями", он просто не понимает ни их возможностей, ни их последствий, и в результате он просто изначально обречен рассуждать в очень узкой колее. Хотя ему самому -- в силу неспособности увидель собственные ограничения -- кажется, что его мысли очень нетривиальны, что они предоставляют новую свободу мышления, что он открывает глаза "зашоренным узким спеиалистам".
Так что альтернативщики -- это, кроме всего прочего, представители очень зашоренных взглядов, которые сами того не понимают.
[Комментарии на Элементах]
Так вот, опыт показывает, что в подавляющем большинстве случаев так называемое "свежее" мнение полного дилетанта оказывается гораздо более зашоренным, чем у (грамотных) специалистов в рассматриваемом вопросе.
Суть в том, что в науке за многие века уже наработано множество очень нетривиаиальных идей и поворотов мысли. Эти повороты мысли расширяют мыслительные способности человека, позволяют понимать и доказывать то, что "в лоб" кажется совсем непонятным. Полный дилетант как правило не знаком с этими "умениями", он просто не понимает ни их возможностей, ни их последствий, и в результате он просто изначально обречен рассуждать в очень узкой колее. Хотя ему самому -- в силу неспособности увидель собственные ограничения -- кажется, что его мысли очень нетривиальны, что они предоставляют новую свободу мышления, что он открывает глаза "зашоренным узким спеиалистам".
Так что альтернативщики -- это, кроме всего прочего, представители очень зашоренных взглядов, которые сами того не понимают.
[Комментарии на Элементах]
18 ноября 2006 г.
И еще по поводу плаща-невидимки
Хотелось бы получше разобраться с работой, по которой была написана новость Возможность существования плаща-невидимки сведена к математической теореме.
В комментариях было сделано правильное замечание: если свет огибает область, в которой спрятан предмет, то он должен в процессе этого идти по пути, более длинном, чем путь "насквозь". Т.е. вроде как получается, что огибающая волна никогда не сможет полность "притвориться" невозмущенной. В крайнем случае можно осветить тело импульсом света, и тогда можно заметить, что импульс исказился: "центральная часть" импульса задержадась относительно периферической части.
На самом деле, в приближении геометрической оптики, в которым были поделаны более ранние расчеты "маскирующей оболочки", это еще не проблема. Дело в том, что давно известны активные среды, в которых групповая (не фазовая!) скорость превышает скорость света в вакууме. Вкратце -- это такая среда, которая усиливает подъем, передний фронт волнового пакета так, что эффективно получается, словно горб смещается вперед быстрее скорости света. Подчеркну, что мелкие детали волнового пакета при этом искажаются, но в целом волновой пакет сохраняет форму (и амплитуда) с хорошей точностью.
Именно это и предлагается использовать для компенсации задержки светового импульса из-за кривой траектории. Это должно -- по крайней мере в принципе -- хорошо работать, если световая вспышка не слишком короткая (длительность много больше периода колебания). Однако если вспыхнуть сверхкороткой вспышкой, то как мне кажется, невидимость исчезнет. Таким образом, в той конструкции, которая основана на геометрической оптике, получается лишь приблизительная невидимость. Что в общем не страшно -- ведь "опасные" сверхкороткие световые импульсы длительностью в фемтосекунды создавать трудно.
Но как обстоит дело с этим вопросом в новой схеме, предложенной в math.AP/0611185 ? Вот это мне пока непонятно. Дело в том, что в этой работе авторы сразу же переходят к анализу не временной зависимости, а отдельных фурье-компонент. Иными словами, проводится анализ для плоской волны фиксированной частоты. Правда, авторы делают выводы, которые годятся для любых частот. Но означает ли это, что выводы будут справедливыми, если из этих фурье-компонент собрать очень узкий волновой пакет? Я пока в этом не уверен.
[Комментарии на Элементах]
В комментариях было сделано правильное замечание: если свет огибает область, в которой спрятан предмет, то он должен в процессе этого идти по пути, более длинном, чем путь "насквозь". Т.е. вроде как получается, что огибающая волна никогда не сможет полность "притвориться" невозмущенной. В крайнем случае можно осветить тело импульсом света, и тогда можно заметить, что импульс исказился: "центральная часть" импульса задержадась относительно периферической части.
На самом деле, в приближении геометрической оптики, в которым были поделаны более ранние расчеты "маскирующей оболочки", это еще не проблема. Дело в том, что давно известны активные среды, в которых групповая (не фазовая!) скорость превышает скорость света в вакууме. Вкратце -- это такая среда, которая усиливает подъем, передний фронт волнового пакета так, что эффективно получается, словно горб смещается вперед быстрее скорости света. Подчеркну, что мелкие детали волнового пакета при этом искажаются, но в целом волновой пакет сохраняет форму (и амплитуда) с хорошей точностью.
Именно это и предлагается использовать для компенсации задержки светового импульса из-за кривой траектории. Это должно -- по крайней мере в принципе -- хорошо работать, если световая вспышка не слишком короткая (длительность много больше периода колебания). Однако если вспыхнуть сверхкороткой вспышкой, то как мне кажется, невидимость исчезнет. Таким образом, в той конструкции, которая основана на геометрической оптике, получается лишь приблизительная невидимость. Что в общем не страшно -- ведь "опасные" сверхкороткие световые импульсы длительностью в фемтосекунды создавать трудно.
Но как обстоит дело с этим вопросом в новой схеме, предложенной в math.AP/0611185 ? Вот это мне пока непонятно. Дело в том, что в этой работе авторы сразу же переходят к анализу не временной зависимости, а отдельных фурье-компонент. Иными словами, проводится анализ для плоской волны фиксированной частоты. Правда, авторы делают выводы, которые годятся для любых частот. Но означает ли это, что выводы будут справедливыми, если из этих фурье-компонент собрать очень узкий волновой пакет? Я пока в этом не уверен.
[Комментарии на Элементах]
10 ноября 2006 г.
Плащ-невидимка и современная математика
Некоторое время назад в СМИ было большое оживление, связанное с открытием принципиальной возможности сделать объект невидимым для постороннего наблюдателя и практической реализацией этой идеи в микроволновом диапазоне (см. статью Эльфийский плащ стал реальностью).
Вчера я наткнулся на очень интересную статью math.AP/0611185, "Full-wave invisibility of active devices at all frequencies", в которой доказываются еще более сильные результаты.
Во-первых, на меня произвело очень сильное впечатление, что такая понятная и знакомая всем задача :) как возможность создания плаща-невидимки формулируется в виде четкой математической теоремы: неединственность решения задачи Кальдерона для уравнений Максвелла. Второе сильное впечатление я получил, когда полез искать информацию про эту задачу и выяснил, что та же самая высокая математика уже давно и вовс используется в медицине, в электроимпедансной томографии.
Суть математического утверждения, стоящего за плащом-невидимкой, очень простая. Когда мы рассматриваем объект (освещая его, например, фонариком), мы решаем обратную задачу: зная то, как мы освещаем тело, и видя то, какой свет попадает к нам в глаза, мы восстанавливаем форму, цвет и прочие свойства объекта. Свет -- это электромагнитные волны, поэтому, в более строгой формулировке, мы посылаем электромагнитные волны, а сами сидим снаружи некоторой области и меряем все электрические и магнитные поля на её границе. Имея все эти данные, мы пытаемся восстановить распределение коэффициента преломления (точнее, эл. и магн. восприимчивостей) внутри этой области. Это и есть задача Кальдерона.
Единственность решения задачи Кальдерона означала бы, что если мы на границе "видим" распределение полей от пустого пространства, то ничего кроме пустого пространства там быть не может -- т.е. объект никогда нельзя абсолютно спрятать от наблюдения. И наоборот, если абсолютный плащ-невидимка может существовать (хотя бы в принципе), то это значит, что две различные ситуации -- пустое пространство и тело, "покрытое плащом" -- приводят к идентичным наблюдательным данным на границе, что возможно только при неединственности решения задачи Кальдерона.
Предыдущие теоретические работы на самом деле трактовали задачу в очень упрощенном виде -- в пределе гометрической оптики. Т.е. рассматривалось распространение не волн, а бесконечно тонких лучей света (т.е. длина световой волны считается нулевой или по крайней мере много меньше размеров области). В данной работе доказано, что утверждение справедливо и для произвольных волн, сколь угодно длинных. Более того, если я правильно понял, дается конструктивное доказательство невидимости: т.е. по заданном телу можно построить такую оболочку, которая его делает полностью невидимым.
Но не это даже главное. Авторы утверждают, что "спрятать" не только пассивный, но и активный объект -- т.е. имеющий поглотители и излучатели ЭМ волн, токи и т.д. Говоря простыми словами, "спрятать" можно и работающие ЭМ устройства! (Какие перспективы для военных, однако!)
Вот тут начинаются, правда, тонкости, которые я не улавливаю. Утверждается, что для невидимости активных обхектов требуется использовать некое "двойное" покрытие, которе обладает какими-то математическими свойствами, невозможными для "одинарного". Бло бы интересно, если бы кто-нибудь разъяснил подробнее.
Впрочем стоит сказать, что всё это, конечно, красиво, но для практического применения наверно не сильно важно -- реально нужна не абсолютная, а приблизительная невидимость. Хотя методы, использованные в статье, могут пригодиться при реальном конструировании "плащей-невидимок".
[Комментарии на Элементах]
Вчера я наткнулся на очень интересную статью math.AP/0611185, "Full-wave invisibility of active devices at all frequencies", в которой доказываются еще более сильные результаты.
Во-первых, на меня произвело очень сильное впечатление, что такая понятная и знакомая всем задача :) как возможность создания плаща-невидимки формулируется в виде четкой математической теоремы: неединственность решения задачи Кальдерона для уравнений Максвелла. Второе сильное впечатление я получил, когда полез искать информацию про эту задачу и выяснил, что та же самая высокая математика уже давно и вовс используется в медицине, в электроимпедансной томографии.
Суть математического утверждения, стоящего за плащом-невидимкой, очень простая. Когда мы рассматриваем объект (освещая его, например, фонариком), мы решаем обратную задачу: зная то, как мы освещаем тело, и видя то, какой свет попадает к нам в глаза, мы восстанавливаем форму, цвет и прочие свойства объекта. Свет -- это электромагнитные волны, поэтому, в более строгой формулировке, мы посылаем электромагнитные волны, а сами сидим снаружи некоторой области и меряем все электрические и магнитные поля на её границе. Имея все эти данные, мы пытаемся восстановить распределение коэффициента преломления (точнее, эл. и магн. восприимчивостей) внутри этой области. Это и есть задача Кальдерона.
Единственность решения задачи Кальдерона означала бы, что если мы на границе "видим" распределение полей от пустого пространства, то ничего кроме пустого пространства там быть не может -- т.е. объект никогда нельзя абсолютно спрятать от наблюдения. И наоборот, если абсолютный плащ-невидимка может существовать (хотя бы в принципе), то это значит, что две различные ситуации -- пустое пространство и тело, "покрытое плащом" -- приводят к идентичным наблюдательным данным на границе, что возможно только при неединственности решения задачи Кальдерона.
Предыдущие теоретические работы на самом деле трактовали задачу в очень упрощенном виде -- в пределе гометрической оптики. Т.е. рассматривалось распространение не волн, а бесконечно тонких лучей света (т.е. длина световой волны считается нулевой или по крайней мере много меньше размеров области). В данной работе доказано, что утверждение справедливо и для произвольных волн, сколь угодно длинных. Более того, если я правильно понял, дается конструктивное доказательство невидимости: т.е. по заданном телу можно построить такую оболочку, которая его делает полностью невидимым.
Но не это даже главное. Авторы утверждают, что "спрятать" не только пассивный, но и активный объект -- т.е. имеющий поглотители и излучатели ЭМ волн, токи и т.д. Говоря простыми словами, "спрятать" можно и работающие ЭМ устройства! (Какие перспективы для военных, однако!)
Вот тут начинаются, правда, тонкости, которые я не улавливаю. Утверждается, что для невидимости активных обхектов требуется использовать некое "двойное" покрытие, которе обладает какими-то математическими свойствами, невозможными для "одинарного". Бло бы интересно, если бы кто-нибудь разъяснил подробнее.
Впрочем стоит сказать, что всё это, конечно, красиво, но для практического применения наверно не сильно важно -- реально нужна не абсолютная, а приблизительная невидимость. Хотя методы, использованные в статье, могут пригодиться при реальном конструировании "плащей-невидимок".
[Комментарии на Элементах]
7 ноября 2006 г.
И еще про преонные модели
В прошлом сообщении я упомянул, что попытки построить кварки и лептоны из преонов "обычным" способом (через некое силовое взаимодействие) наталкиваются на проблемы, которых не было на более высоких уровнях устройства материи (атомы/ядра/адроны). Поясню чуть подробнее.
Если преоны -- это действительно частицы, которые связаны друг с другом в кварки какими-то силами, то исходя из современных данных, они должны быть локализованы в пространстве в области не более 10^(-18) м. По соотношению неопределенности это значит, что типичные значения кинетической энергии этих преонов составляют ТэВы и выше. В то же время, массы кварков и лептонов, построенных из преонов, на много порядков меньше -- ГэВы, МэВы, не говоря уже о нейтрино. Такое может быть только в единственном случае -- если взаимодействие между преонами настолько интенсивное, что энергия связи, во-первых, тоже составляет минус ТэВы по порядку величины, а во-вторых, чрезвычайно точно компенсирует огромную кинетическую энергию.
Построить квантовополевую модель, в которой бы естественным образом выполнялись эти требования, очень непросто, и насколько я понимаю, пока никому не удалось. Но вот интересно -- существуют ли в других разделах физики (гравитация? конденсированные среды?) точно решаемые задачи, удовлетворяющие описанным свойствам?
[Комментарии на Элементах]
Если преоны -- это действительно частицы, которые связаны друг с другом в кварки какими-то силами, то исходя из современных данных, они должны быть локализованы в пространстве в области не более 10^(-18) м. По соотношению неопределенности это значит, что типичные значения кинетической энергии этих преонов составляют ТэВы и выше. В то же время, массы кварков и лептонов, построенных из преонов, на много порядков меньше -- ГэВы, МэВы, не говоря уже о нейтрино. Такое может быть только в единственном случае -- если взаимодействие между преонами настолько интенсивное, что энергия связи, во-первых, тоже составляет минус ТэВы по порядку величины, а во-вторых, чрезвычайно точно компенсирует огромную кинетическую энергию.
Построить квантовополевую модель, в которой бы естественным образом выполнялись эти требования, очень непросто, и насколько я понимаю, пока никому не удалось. Но вот интересно -- существуют ли в других разделах физики (гравитация? конденсированные среды?) точно решаемые задачи, удовлетворяющие описанным свойствам?
[Комментарии на Элементах]
5 ноября 2006 г.
Преонные звезды
Есть такая разновидность физиков, которые изучают максимально экзотические модели, из серии "что в принципе можно выдумать такого-этакого, что было бы совершенно необычно, но при этом пока что не противоречило бы имеющимся данным". Особенно сильно фантазия разыгрывается, когда речь идёт об экзотических объектах в астрофизике. (Положа руку на сердце, признаюсь, что к астрофизике я отношусь как к науке преимущественно описательной.)
Зеркальная материя, космические струны и т.д. уже не новы. Вот экзотика посвежее -- преонные звезды (astro-ph/0410417 = Phys.Lett. B616 (2005) 1-7).
Авторы пишут, что если кварки действительно состоят из частиц какого-то более глубокого уровня -- преонов, -- то по аналогии с кварковыми звездами могут быть и преонные звезды. Причем сразу заявляют, что их плотность должна быть выше, чем у классических нейтронных или кварковых звезд, т.е. речь идет о звездах размером, грубо говоря, в сантиметры. Ну и вся статья посвящена анализу стабильности таких звезд, их возможным специфическим "сигнатурам" и т.д.
Чем эта статья удивила меня? Тем что в ней делят шкуру неубитого -- и более того, еще не родившегося! -- медведя. Т.е. работа по существу пустая. Дело в том, что преонные модели устройства кварков, лептонов и т.д. конечно существуют, и их уже преложено немало, но пока нет ничего хоть чего-то работоспособного. Более того, во многих моделях образование кварков из преонов описывается совсем иначе, чем образование протонов из кварков. Т.е. нет никаких точечных частиц, никакого потенциала взаимодействия, нет никаких сил, а есть чисто топологические образования. Т.е. по сути дело, кроме слов "преоны" и их хитрых комбинаторных свойств, пока ничего не предложено.
В общем, для меня это выглядит как древнее мифотворчество: не зная, что за существа живут по ту сторону океанв, на краю земли, люди их изображали многоголовыми драконами и прочими мутантами :) По-моему, в астрофизике не только не возбраняется, но и поощряется такого рода творчество.
[Комментарии на Элементах]
Зеркальная материя, космические струны и т.д. уже не новы. Вот экзотика посвежее -- преонные звезды (astro-ph/0410417 = Phys.Lett. B616 (2005) 1-7).
Авторы пишут, что если кварки действительно состоят из частиц какого-то более глубокого уровня -- преонов, -- то по аналогии с кварковыми звездами могут быть и преонные звезды. Причем сразу заявляют, что их плотность должна быть выше, чем у классических нейтронных или кварковых звезд, т.е. речь идет о звездах размером, грубо говоря, в сантиметры. Ну и вся статья посвящена анализу стабильности таких звезд, их возможным специфическим "сигнатурам" и т.д.
Чем эта статья удивила меня? Тем что в ней делят шкуру неубитого -- и более того, еще не родившегося! -- медведя. Т.е. работа по существу пустая. Дело в том, что преонные модели устройства кварков, лептонов и т.д. конечно существуют, и их уже преложено немало, но пока нет ничего хоть чего-то работоспособного. Более того, во многих моделях образование кварков из преонов описывается совсем иначе, чем образование протонов из кварков. Т.е. нет никаких точечных частиц, никакого потенциала взаимодействия, нет никаких сил, а есть чисто топологические образования. Т.е. по сути дело, кроме слов "преоны" и их хитрых комбинаторных свойств, пока ничего не предложено.
В общем, для меня это выглядит как древнее мифотворчество: не зная, что за существа живут по ту сторону океанв, на краю земли, люди их изображали многоголовыми драконами и прочими мутантами :) По-моему, в астрофизике не только не возбраняется, но и поощряется такого рода творчество.
[Комментарии на Элементах]
30 октября 2006 г.
О новостях математики
Вот тут сообщается, что недавно появились сразу две статьи (math.AG/0610203 и math.AG/0610740), доказывающий важный результат в алгебраической геометрии: конечную порожденность канонического кольца.
Может ли кто прокомментировать этот результат и его следствия?
[Комментарии на Элементах]
Может ли кто прокомментировать этот результат и его следствия?
[Комментарии на Элементах]
28 октября 2006 г.
О глобальном потеплении климата
Наткнулся в ЖЖ на обсуждение своей недавней заметки про глобальное потепление. Почитав (скептические) комментарии, понял, что я плохо подчеркнул одну важную мысль. Попробую здесь её высказать четче.
Вот один из первых комментариев:
На мой взгляд, этот комментарий прекрасно иллюстрирует общее отношение к таким прогнозам у многих людей. В нем содержится непонимание того, что сделано, по крайней мере в данной работе. А сделано-то на самом деле гораздо более сильное исследование, чем построить модель на данных 1900-1950 гг., и проверить ее на наблюдениях 1950-2000 гг.
Итак, у нас имеется нечто наблюдаемое -- в данном случае, "глобальная погода" (температура, осадки, давление и т.д.) -- и целый ряд внутренних факторов изменчивости. Мы хотим понять поведение наблюдаемой величины и использовать это понимание для её предсказания на некоторе время вперед.
Тут есть два возможных подхода. Первый -- чисто описательный: описать наблюдаемые как можно точнее и глубже, не просто построить кривые, но и обнаружить корреляции, доказать их статистическую значимость и т.д. В общем, провести статистический анализ всего набора наблюдаемых на участке времени t0-t1.
Затем, можно сделать предположение, что статистические законы, описывающие эти наблюдаемые, останутся примерно такие же и дальше, на участке времени от t1 до t2. Тогда, на основании этого можно предсказать кое-что про наблюдаемые на этом участке.
Разумеется, предположение о неизменности законов надо обосновать. Самый простой способ это сделать -- разбить доступный участок t0-t1 на два подучастка: t0-tx и tx-t1. Описанный выше анализ можно сделать на первом подучастке, на основании его предсказать что-то про второй участок и проверить, справедливо ли предположение о примерной неизменности статистических свойств. Если оно подтверждается, то после этого можно уже идти предсказывать будущее.
Именно это и предлагал автор процитированного комментария.
Ясно, что чисто описательные теории такого типа не могут удовлетворить. Наблюдаемые просто параметризуются каким-то законом, безо всякого понимания, откуда он берется и что за ним стоит. Требуется описание более глубокого типа: когда вы параметризуете силы, влияющие на изменчивость наблюдаемых. Сами же наблюдаемые вы вообще не параметризуете, а честно вычисляете, исходя из сил.
Говоря совсем простыми словами, разница такая. Описательная модель -- это когда вы следите за движением парусного корабля, плывущего через океан, в течение одной недели и пытаетесь предугадать, как он будет плыть в течение последующей недели. Более глубокая модель -- это когда вы запараметризовали все силы, под действием которых движется судно (влияние силы и направления ветра, волнения на море, осадков, гроз и т.д. на скорость движения корабля), разобрались с тем, откуда берутся эти силы (т.е. знаете переменчивость погоды в этом сезоне, знаете связь между ветром и волнением на море, знаете поведение капитана, ставящего паруса при такой-то погоде и т.д.) -- и вот на основании этих законов и пытаетесь воспроизвести траекторию корабля.
Описанная работа относится именно к такому типу исследования, и потому она во много раз полезнее и серьезнее чисто описательных моделей. Фраза "...она хорошо согласуется с данными наблюдений, на которых она построена..." к ней совершенно не применима. Эта модель согласуется с наблюдательными данными (температурой, осадками, ветрами и т.д.), но сама она построена на данных по силам, влияющим на климат: концентрации газов, скорость вырубки лесов, циклы солнечной активности, влияние аэрозолей на порог образования облаков и т.д., но никак не на самих наблюдательных данных.
Это и есть принципиально важный момент. Старые модели были, как правило, число описательные, и в их отношении скепсис оправдан. Эта работа использовала совершенно иной подход.
[Комментарии на Элементах]
Вот один из первых комментариев:
По-моему, про эту модель сказано, что она хорошо согласуется с данными наблюдений, на которых она построена. Как насчет построить модель на данных 1900-1950 гг., и проверить ее на наблюдениях 1950-2000 гг.?
На мой взгляд, этот комментарий прекрасно иллюстрирует общее отношение к таким прогнозам у многих людей. В нем содержится непонимание того, что сделано, по крайней мере в данной работе. А сделано-то на самом деле гораздо более сильное исследование, чем построить модель на данных 1900-1950 гг., и проверить ее на наблюдениях 1950-2000 гг.
Итак, у нас имеется нечто наблюдаемое -- в данном случае, "глобальная погода" (температура, осадки, давление и т.д.) -- и целый ряд внутренних факторов изменчивости. Мы хотим понять поведение наблюдаемой величины и использовать это понимание для её предсказания на некоторе время вперед.
Тут есть два возможных подхода. Первый -- чисто описательный: описать наблюдаемые как можно точнее и глубже, не просто построить кривые, но и обнаружить корреляции, доказать их статистическую значимость и т.д. В общем, провести статистический анализ всего набора наблюдаемых на участке времени t0-t1.
Затем, можно сделать предположение, что статистические законы, описывающие эти наблюдаемые, останутся примерно такие же и дальше, на участке времени от t1 до t2. Тогда, на основании этого можно предсказать кое-что про наблюдаемые на этом участке.
Разумеется, предположение о неизменности законов надо обосновать. Самый простой способ это сделать -- разбить доступный участок t0-t1 на два подучастка: t0-tx и tx-t1. Описанный выше анализ можно сделать на первом подучастке, на основании его предсказать что-то про второй участок и проверить, справедливо ли предположение о примерной неизменности статистических свойств. Если оно подтверждается, то после этого можно уже идти предсказывать будущее.
Именно это и предлагал автор процитированного комментария.
Ясно, что чисто описательные теории такого типа не могут удовлетворить. Наблюдаемые просто параметризуются каким-то законом, безо всякого понимания, откуда он берется и что за ним стоит. Требуется описание более глубокого типа: когда вы параметризуете силы, влияющие на изменчивость наблюдаемых. Сами же наблюдаемые вы вообще не параметризуете, а честно вычисляете, исходя из сил.
Говоря совсем простыми словами, разница такая. Описательная модель -- это когда вы следите за движением парусного корабля, плывущего через океан, в течение одной недели и пытаетесь предугадать, как он будет плыть в течение последующей недели. Более глубокая модель -- это когда вы запараметризовали все силы, под действием которых движется судно (влияние силы и направления ветра, волнения на море, осадков, гроз и т.д. на скорость движения корабля), разобрались с тем, откуда берутся эти силы (т.е. знаете переменчивость погоды в этом сезоне, знаете связь между ветром и волнением на море, знаете поведение капитана, ставящего паруса при такой-то погоде и т.д.) -- и вот на основании этих законов и пытаетесь воспроизвести траекторию корабля.
Описанная работа относится именно к такому типу исследования, и потому она во много раз полезнее и серьезнее чисто описательных моделей. Фраза "...она хорошо согласуется с данными наблюдений, на которых она построена..." к ней совершенно не применима. Эта модель согласуется с наблюдательными данными (температурой, осадками, ветрами и т.д.), но сама она построена на данных по силам, влияющим на климат: концентрации газов, скорость вырубки лесов, циклы солнечной активности, влияние аэрозолей на порог образования облаков и т.д., но никак не на самих наблюдательных данных.
Это и есть принципиально важный момент. Старые модели были, как правило, число описательные, и в их отношении скепсис оправдан. Эта работа использовала совершенно иной подход.
[Комментарии на Элементах]
20 октября 2006 г.
Сверхтекучий твердый гелий
Мне совершенно непонятна ситуация с этим сверхтекучим твердым гелием (в англоязычной терминологии -- "супертвердым гелием", supersolid). Вроде бы после первоначальной сенсации появились работы, давшие более приземленное объяснение наблюдавшимся там аномалиям момента инерции (см заметки Сверхтекучесть твердого гелия: сенсация отменяется? и Новые эксперименты с твердым гелием не подтверждают сенсацию). Потом я следил вполглаза и мне казалось, что на этом дело и успокоилось.
Однако сейчас в свежем Phys. Rev. Lett. вышли рядышком друг с другом две статьи с прямо противоположными результатами. Одна из них Phys. Rev. Lett. 97, 165301 (2006) утверждает прямым текстом, что сверхтекучесть действительно наблюдается (цитата: "We have confirmed the existence, as first reported by Kim and Chan, of a supersolid state in solid 4He at temperatures below 250 mK."), а другая, Phys. Rev. Lett. 97, 165302 (2006), не менее открытым текстом сообщает, что признаков перехода в сверхтекучее состояние не наблюдается при понижении температуры аж до 10 мК.
Кому верить? Может ли кто прокомментировать?
Эта история всё больше напоминает историю с пентакварками.
[Комментарии на Элементах]
Однако сейчас в свежем Phys. Rev. Lett. вышли рядышком друг с другом две статьи с прямо противоположными результатами. Одна из них Phys. Rev. Lett. 97, 165301 (2006) утверждает прямым текстом, что сверхтекучесть действительно наблюдается (цитата: "We have confirmed the existence, as first reported by Kim and Chan, of a supersolid state in solid 4He at temperatures below 250 mK."), а другая, Phys. Rev. Lett. 97, 165302 (2006), не менее открытым текстом сообщает, что признаков перехода в сверхтекучее состояние не наблюдается при понижении температуры аж до 10 мК.
Кому верить? Может ли кто прокомментировать?
Эта история всё больше напоминает историю с пентакварками.
[Комментарии на Элементах]
18 октября 2006 г.
Альтернативные теории гравитации
Возможно, кому-то покажется интересной появившаяся в архиве епринтов (gr-qc/0610071) диссертация Тима Клифтона из Кембриджа под названием "Альтернативные теории гравитации". Речь там идет, конечно, не о эфирах и т.п., а о некоторых возможных вариантах изменения уравнений ОТО и их космологических последствиях. Теории глобального времени там, к сожалению, не обнаружилось, а то было бы интересно.
[Комментарии на Элементах]
[Комментарии на Элементах]
16 октября 2006 г.
Уравнение Навье-Стокса: продолжение банкета
Всю прошлую неделю шло обсуждение, решила ли Пени Смит задачу на миллион или нет. А сегодня в архиве епринтов появилась еще одна статья на эту тему, и какая! physics/0610101, "Blow Ups of Complex Solutions of the 3D-Navier-Stokes System", авторы Dong Li, Yakov Sinai (судя по всему, тот самый знаменитый российский математик Яков Синай, работающий сейчас в Принстоне).
Как видно из заголовка, авторы опровергают гипотезу о гладкости решений уравнения Навье-Стокса. Правда, тут есть нюанс -- речь в статье идет о комплекснозначном решении уравнений. Следует ли отсюда аналогичный вывод о вещественно-значном решении, я не знаю.
Очень интересное развитие событий!
[Комментарии на Элементах]
Как видно из заголовка, авторы опровергают гипотезу о гладкости решений уравнения Навье-Стокса. Правда, тут есть нюанс -- речь в статье идет о комплекснозначном решении уравнений. Следует ли отсюда аналогичный вывод о вещественно-значном решении, я не знаю.
Очень интересное развитие событий!
[Комментарии на Элементах]
Подписаться на:
Сообщения (Atom)