25 марта 2006 г.

Осторожно: уравнение Бернулли!

В гидродинамике широко используется уравнение Бернулли, связывающее давление жидкости со скоростью течения. Для несжимаемой жидкости оно выглядит так:

P + rho v^2/2 + rho g h = const

Вывод его довольно прост, физически прозрачен и вполне доступен для школьника: для того, чтоб разогнать воду, ее надо подтолкнуть, т.е. давление со стороны меньшей скорости течения должно быть больше.

Теперь важный момент: этот вывод о связи скорости с давлением делается не для произвольных двух точек жидкости, а для трубки тока, то есть той линии, вдоль которой жидкость течет. Иногда об этом условии забывают, и тогда неоправданное применение формулы Бернулли приводит к неправильным заключениям или парадоксам.

Пример такого очевидного парадокса.

Пусть есть плоскость, разделяющая заполненное жидкостью пространство на две части: А и В. В полупространстве А жидкость покоится, в полупространстве В -- движется с постоянной скоростью v вдоль плоскости.
Применяя формулу Бернулли, получаем, что давление в А больше, чем в В, т.е. плоскость будет выдавливать в сторону В.

Перейдем в систему отсчета движущейся жидкости. Теперь вода в А движется назад со скоростью v, а в В -- покоится. При этом движется и сама плоскость тоже, но можно всегда ограничить себя рассмотрением идеально скользкой плоскости, которая не оказывает никакого влияния на движение воды. Согласно формуле Бернулли, давление будет больше уже на стороне В. Получается парадокс: вывод о том, в какую сторону выдавливается плоскость, зависит от точки зрения на процесс.

Решение парадокса ясно -- жидкость в двух попупространствах не связана никакой трубкой тока, а значит применять формулу Бернулли нельзя.

Более хитрый случай: когда никаких разделенных областей пространства нет.

Например, при стационарном ламинарном течении жидкости по бесконечной трубе скорость течения зависит от удаленности от оси трубы, но давление при этом постоянно по всей толще трубы. Отдельные линии тока не пересекаются, и поэтому нельзя применять формулу Бернулли для течений жидкости на разных удалениях от центра!

Но это не значит, что формулу Бернулли нельзя применять в задачах обтекания! Все зависит от конкретной постановки задачи. Если, например, известно, что набегающий на тело из бесконечности поток имел первоначально одинаковое давление по всей толщине (т.е. если задано именно такое граничное условие), то формулу Бернулли применять можно и для точек на поверхности тела, не связанных линиями тока. Точнее, они связаны линией тока, котора узодит на бесконечность и возвращается оттуда.

Ну и отдельный класс неправильных интерпретаций уравения Бернулли связан с отрывом течения. В частности, широко распространено неправильное объяснения подъемной силы крыла из-за перепада скоростей. Подчеркну -- это неправильное объяснение.

Что мне хотелось бы найти -- это подробное описание применимости и ошибочных применений уравнения Бернулли к разным задачам. Ведь наверняка это все уже где-то подробно описано. В частности, мне сейчас кажется, что применять уравнение Бернулли к стационарно вращающейся жидкости тоже неправильно. Буду признателен за ссылки или вправление мозгов прямо здесь, in vivo так сказать :)

[Комментарии на Элементах]

7 комментариев:

  1. Анонимный9/5/08 13:55

    полная чушь....
    Уравнение применимо для любой линии тока, но применимо для жидкости в которой ВЯЗКОСТЬ не действует!!!!
    при движении по трубе невязкой жидкости уравнение Бернулии применимо, так как скорость по сечению трубы будет постоянна.
    Кроме того вопрос с полупространствами так же спорен, так как движение жидкосей происходит не относительно друг друга, а относительно границы разделения.

    ОтветитьУдалить
  2. Про вязкость Вы, конечно, правы -- это ур-ие относится к случаю отсутствующей вязкости. Поэтому мой пример с давлением по сечению трубы некорректен.

    Но я в этом посте хотел подчеркнуть другое -- что нельзя слепо применять это уравнение (для случая без вязкости) для двух совсем произвольных точек жидкости. Надо, чтобы они или находились на дной линии тока, или чтобы между их линиями тока была некоторая связь.

    Про полупространства я не понял, что тут спорного -- жидкости ведь двигаются и друг относительно друга.

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный23/3/09 15:00

    Я не силён в теоремах, но как объяснить тот факт, что при движении жидкости в сливную трубу (эффект, который мы наблюдаем в ванной когда сливаем воду) скорость возрастает и давление внутри жидкости растёт. Хотя согласно уравнению Бернулли скорость жидкости и давление внутри жидкости должно быть постоянным. Согласно каким уравнениям можно рассчитать эти эффекты. Возрастание давления при возрастании скорости.

    ОтветитьУдалить
  4. Где именно давление растет? Как Вы измеряете давление?

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный31/8/10 11:42

    Странно, что автор не заострил внимание читателя на том , что УБ есть выражение з-на сохр. энергии.

    Пример 1 какой-то странный. Случай тривиальный (затопленная струя идеальной жидкости). СТАТИЧЕСКОЕ давление в струе будет равно давлению в окружающей покоящейся жидкости, но давление торможения - выше на скоростной напор. Никаких парадоксов.

    ОтветитьУдалить
  6. Мне больше нравится такая интерпретация: Две жидкости, одна покоящаяся, вторая движущаяся. Температура в обоих случаях одинаковая, значит среднеквадратичная скорость молекул одинаковая. Но в покоящейся жидкости скорость равномерно распределена во всех направлениях, а в движущейся сильней направлена вдоль потока и меньше поперёк потока. Соответсвенно и давление поперёк потока получается ниже.

    ОтветитьУдалить
  7. Вот вам визуализация уравнения Бернулли: http://high-physics.com/uravnenie-bernulli/

    ОтветитьУдалить