30 октября 2006 г.

О новостях математики

Вот тут сообщается, что недавно появились сразу две статьи (math.AG/0610203 и math.AG/0610740), доказывающий важный результат в алгебраической геометрии: конечную порожденность канонического кольца.

Может ли кто прокомментировать этот результат и его следствия?

[Комментарии на Элементах]

28 октября 2006 г.

О глобальном потеплении климата

Наткнулся в ЖЖ на обсуждение своей недавней заметки про глобальное потепление. Почитав (скептические) комментарии, понял, что я плохо подчеркнул одну важную мысль. Попробую здесь её высказать четче.

Вот один из первых комментариев:
По-моему, про эту модель сказано, что она хорошо согласуется с данными наблюдений, на которых она построена. Как насчет построить модель на данных 1900-1950 гг., и проверить ее на наблюдениях 1950-2000 гг.?

На мой взгляд, этот комментарий прекрасно иллюстрирует общее отношение к таким прогнозам у многих людей. В нем содержится непонимание того, что сделано, по крайней мере в данной работе. А сделано-то на самом деле гораздо более сильное исследование, чем построить модель на данных 1900-1950 гг., и проверить ее на наблюдениях 1950-2000 гг.

Итак, у нас имеется нечто наблюдаемое -- в данном случае, "глобальная погода" (температура, осадки, давление и т.д.) -- и целый ряд внутренних факторов изменчивости. Мы хотим понять поведение наблюдаемой величины и использовать это понимание для её предсказания на некоторе время вперед.

Тут есть два возможных подхода. Первый -- чисто описательный: описать наблюдаемые как можно точнее и глубже, не просто построить кривые, но и обнаружить корреляции, доказать их статистическую значимость и т.д. В общем, провести статистический анализ всего набора наблюдаемых на участке времени t0-t1.

Затем, можно сделать предположение, что статистические законы, описывающие эти наблюдаемые, останутся примерно такие же и дальше, на участке времени от t1 до t2. Тогда, на основании этого можно предсказать кое-что про наблюдаемые на этом участке.

Разумеется, предположение о неизменности законов надо обосновать. Самый простой способ это сделать -- разбить доступный участок t0-t1 на два подучастка: t0-tx и tx-t1. Описанный выше анализ можно сделать на первом подучастке, на основании его предсказать что-то про второй участок и проверить, справедливо ли предположение о примерной неизменности статистических свойств. Если оно подтверждается, то после этого можно уже идти предсказывать будущее.

Именно это и предлагал автор процитированного комментария.

Ясно, что чисто описательные теории такого типа не могут удовлетворить. Наблюдаемые просто параметризуются каким-то законом, безо всякого понимания, откуда он берется и что за ним стоит. Требуется описание более глубокого типа: когда вы параметризуете силы, влияющие на изменчивость наблюдаемых. Сами же наблюдаемые вы вообще не параметризуете, а честно вычисляете, исходя из сил.

Говоря совсем простыми словами, разница такая. Описательная модель -- это когда вы следите за движением парусного корабля, плывущего через океан, в течение одной недели и пытаетесь предугадать, как он будет плыть в течение последующей недели. Более глубокая модель -- это когда вы запараметризовали все силы, под действием которых движется судно (влияние силы и направления ветра, волнения на море, осадков, гроз и т.д. на скорость движения корабля), разобрались с тем, откуда берутся эти силы (т.е. знаете переменчивость погоды в этом сезоне, знаете связь между ветром и волнением на море, знаете поведение капитана, ставящего паруса при такой-то погоде и т.д.) -- и вот на основании этих законов и пытаетесь воспроизвести траекторию корабля.

Описанная работа относится именно к такому типу исследования, и потому она во много раз полезнее и серьезнее чисто описательных моделей. Фраза "...она хорошо согласуется с данными наблюдений, на которых она построена..." к ней совершенно не применима. Эта модель согласуется с наблюдательными данными (температурой, осадками, ветрами и т.д.), но сама она построена на данных по силам, влияющим на климат: концентрации газов, скорость вырубки лесов, циклы солнечной активности, влияние аэрозолей на порог образования облаков и т.д., но никак не на самих наблюдательных данных.

Это и есть принципиально важный момент. Старые модели были, как правило, число описательные, и в их отношении скепсис оправдан. Эта работа использовала совершенно иной подход.

[Комментарии на Элементах]

20 октября 2006 г.

Сверхтекучий твердый гелий

Мне совершенно непонятна ситуация с этим сверхтекучим твердым гелием (в англоязычной терминологии -- "супертвердым гелием", supersolid). Вроде бы после первоначальной сенсации появились работы, давшие более приземленное объяснение наблюдавшимся там аномалиям момента инерции (см заметки Сверхтекучесть твердого гелия: сенсация отменяется? и Новые эксперименты с твердым гелием не подтверждают сенсацию). Потом я следил вполглаза и мне казалось, что на этом дело и успокоилось.

Однако сейчас в свежем Phys. Rev. Lett. вышли рядышком друг с другом две статьи с прямо противоположными результатами. Одна из них Phys. Rev. Lett. 97, 165301 (2006) утверждает прямым текстом, что сверхтекучесть действительно наблюдается (цитата: "We have confirmed the existence, as first reported by Kim and Chan, of a supersolid state in solid 4He at temperatures below 250 mK."), а другая, Phys. Rev. Lett. 97, 165302 (2006), не менее открытым текстом сообщает, что признаков перехода в сверхтекучее состояние не наблюдается при понижении температуры аж до 10 мК.

Кому верить? Может ли кто прокомментировать?

Эта история всё больше напоминает историю с пентакварками.

[Комментарии на Элементах]

18 октября 2006 г.

Альтернативные теории гравитации

Возможно, кому-то покажется интересной появившаяся в архиве епринтов (gr-qc/0610071) диссертация Тима Клифтона из Кембриджа под названием "Альтернативные теории гравитации". Речь там идет, конечно, не о эфирах и т.п., а о некоторых возможных вариантах изменения уравнений ОТО и их космологических последствиях. Теории глобального времени там, к сожалению, не обнаружилось, а то было бы интересно.

[Комментарии на Элементах]

16 октября 2006 г.

Уравнение Навье-Стокса: продолжение банкета

Всю прошлую неделю шло обсуждение, решила ли Пени Смит задачу на миллион или нет. А сегодня в архиве епринтов появилась еще одна статья на эту тему, и какая! physics/0610101, "Blow Ups of Complex Solutions of the 3D-Navier-Stokes System", авторы Dong Li, Yakov Sinai (судя по всему, тот самый знаменитый российский математик Яков Синай, работающий сейчас в Принстоне).

Как видно из заголовка, авторы опровергают гипотезу о гладкости решений уравнения Навье-Стокса. Правда, тут есть нюанс -- речь в статье идет о комплекснозначном решении уравнений. Следует ли отсюда аналогичный вывод о вещественно-значном решении, я не знаю.

Очень интересное развитие событий!

[Комментарии на Элементах]

6 октября 2006 г.

Решена еще одна из "Задач тысячелетия"?

Еще не утихли страсти по Перельману, а в архиве епринтов появилась новая сенсация. В статье math/0609740 утверждается, что получено решение еще одной задачи, за которую Институте Клэя обещал миллион долларов: проблема гладкости решения уравнения Навье-Стокса (см. официальную формулировку и популярное объяснение из журнала Компьютерра).

Автор статьи -- Пенелопа Смит, известный специалист в этой области. В последние годы она уже опубликовала несколько работ, посвященных свойствам гладкости разных дифуров. (На этой страничке дается полу-популярное изложение её результатов).

См. обсуждение этой работы в англоязычных блогах: 1, 2.

Интересно отметить, что двумерный аналог этой задачи уже был решен давно, и причем еще одной знаменитой женщиной-математиком -- Ольгой Александровной Ладыженской.

UPD:
Автор статьи math/0609740, в которой предлагается решение одной из задача тысячелетия, отозвала свою статью из архива епринтов. По-видимому, потребовалась доработка.

Такая вот загогулина, понимашь. (с)

[Комментарии на Элементах]