Связанное состояние в двумерном точечном потенциале - 2

В прошлый раз я рассказывал, что попытки выяснить на основании соотношения неопределенностей, существует ли связанное состояние в двумерном короткодействующем потенциале и какова его энергия, оканчиваются ничем -- наличие или отсутствие состояния разглядеть не удается.

Сейчас мы попытаемся решить эту задачу точно, заменив короткодействующий потенциал двумерной дельта-функцией.

Связанное состояние в одномерном дельта-функционном потенциале

Прежде, чем решать двумерную задачу, полезно вновь обратиться к одномерной дельта-функции. Запишем одномерное станционарное уравнение Шредингера для потенциала V(x) = −Gδ(x):

Наша задача -- найти энергию связанного состояния E, а также вид волновой функции ψ(x).

Первым делом обезразмерим задачу. Для этого введем величину κ, имеющую размерность волнового вектора, и запишем искомую (отрицательную) энергию как

то есть, вместо энергии будем искать теперь κ. После этого помножим обе части УШ на 2m/h², в результате чего придем к уравнению

Посмотрим на получившееся уравнение с точки зрения размерностей. Оно содержит один единственный заданный параметр, g, с размерностью обратного метра. Нам при решении требуется найти неизвестную величину κ, тоже имеющую размерность обратного метра. Следовательно, по соображениям размерности мы обязаны получить ответ в виде κ = число*g.

И действительно, решая задачу стандартным образом (через условие на разрыв первой производной волновой функции), получаем ответ:

Это всё обычно проходится на первых семинарах по квантовой механике. Однако для наших целей полезно также посмотреть, как эта задача решается в импульсном представлении (точнее, в представлении волновых чисел). Введем фурье-разложение волновой функции:

Перепишем теперь обезразмеренное УШ в импульсном представлении. Для этого домножим обе части на exp(ikx) и проинтегрируем по всем x. Получим:

Напомним, что в этом представлении k -- это динамическая переменная, а κ -- это искомая величина (как и сама волновая функция φ(k)). В этом выражении также встречается ψ(0) -- значение координатной волновой функции ψ(x) в нуле, т.е. просто некоторое число. Получившееся уравнение уже не дифференциальное, а алгебраическое, и оно решает относительно φ(k) очень просто:

Осталось понять, чему равно κ. Для этого вспоминаем, что согласно определению фурье-разложения

Применяя его к найденной нами волновой функции, получаем:

Здесь отдельной буквой I_1 обозначен интеграл

Поскольку мы хотим получить ненулевую волновую функцию, мы считаем, что ψ(0) не равно нулю, поэтому на это число можно сократить. В итоге получаем уравнение, определяющее κ (а значит, и энергию связанного состояния):

Интеграл I₁, разумеется, легко берется, и в результате получается κ = g/2.

Связанное состояние в двумерной дельта-функции: попытка номер один

Попытаемся применить теперь ту же самую логику к двумерной дельта-функции. Итак, мы ищем энергию связанного состояния E в УШ:

которое после обезразмеривания превращается в

В отличие от одномерного случая константа g здесь уже безразмерна. Это уже намекает на то, что наша задача, по-видимому, неразрешима -- ведь от нас требуется найти размерную величину κ, хотя никаких размерных параметров в задаче не осталось!

Есть и другая проблема, связанная, впрочем, с предыдущей. И кинетический, и потенциальный член в этом УШ являются однородными функциями координат, со степенью однородности −2. Это значит, что если в операторах кинетической и потенциальной энергии изменить все координаты в n раз, то получатся те эе самые операторы, деленные на n². А из этого следует, что если мы найдем какое-нибудь конечное значение κ, которое будет собственным числом гамильтониана, но и любое число вида n*κ для любого конечного n тоже будет собственными числом этого гамильтониана! Иными словами, если мы найдем связанное состояние с какой-то конечной энергией, то мы автоматически докажем, что в потенциале имеются также и связанные состояния с любой энергией!

Эти несуразицы впечатляют, но закроем пока на них и продолжим решать задачу. Как и в одномерном случае, перейдем в импульсное представление.

УШ запишется в импульсном представлении будет иметь точно такой же вид, как и раньше:

в результате чего мы приходим к аналогичному уравнению на κ:

Итак, мы дошли в решении нашей задачи почти до конца. Остался последний шаг -- сосчитать I₂, -- и вот в нем-то загвоздка: этот интеграл расходится в области больших импульсов (на физическом жаргоне: "в ультрафиолетовой области"). Иными словами, ни при каком конечном g этому уравнению нельзя удовлетворить ни при каких κ. Т.е. не удается найти формулы, связывающей искомый κ с заданным g. Получается, что связанного состояния в двумерном дельта-функционном потенциале с конечной G не существует.

Казалось бы, на этом задача и закончилась: мы доказали, что связанного состояния не существует. Однако вспомним, в чем изначально заключалась наша задача. Мы хотели научиться описывать связанные состояния в притягивательном потенциале нулевого радиуса. Мы предположили, что такой потенциал можно описать дельта-функцией, но ведь это далеко не единственный способ описать "точечный" потенциал. Дельта-функция подразумевает предельный переход с некоторым вполне конкретным условием (интеграл равен единице). Так может быть можно изменить этот предельный переход, чтобы получить иной потенциал нулевого радиуса, в котором связанное состояние будет существовать? Именно это мы и проделаем в третьей части.