27 января 2007 г.

Неэрмитовая квантовая механика

Листая последний номер PRL, набрел на интересную статью Faster than Hermitian Quantum Mechanics (она же quant-ph/0609032), посвященную неэрмитовой квантовой механике. Чуть-чуть почитал по этой теме -- оказалась интересная вещь.

Философия

Сначала поясню ситуацию в "философском разрезе". Вот есть у нас некая физическая реальность: наблюдения, эксперименты, эмпирические закономерности и т.п. Пытаясь обобщить эти данные, свести длинную цепочку численных значений измеренных величин к некоторому общему закону, мы строим некую теорию выбранного круга явлений.

Зачастую теория строится практически форсированно, сама собой, и получается она при этом ровно настолько "широкой", насколько нужно для описания имеющихся данных. Однако иногда выясняется, что такая конструкция не единственна (впрочем, единственность никто и не доказал). А именно, можно построить и более широкую разновидность этой же теории, которая будет по-прежнему описывать имеющиеся данные, по при этом допускать еще и некоторые экзотические ситуации.

Подчеркну, что речь идет не про другую теорию (каковой является, например, СТО по отношении к механике Ньютона), а про более широкую разновидность той же самой теории. Эта более широкая разновидность основывается на тех же фундаментальных принципах, но использует более широкий класс математических объектов, допустимых этими принципами.

Например, про более широкую разновидность специальной теории относительности я как-то описал в заметке Ну очень специальная теории относительности! Неэрмитовая квантовая механика тоже является более широкой разновидностью квантовой механики.

Основная мысль

Главная идея неэрмитовой квантовой механики состоит в следующем. Величины, которые мы измеряем в эксперименте, всегда описываются вещественными, а не комплексными числами. В квантовой теории каждой наблюдаемой величине ставится в соответствие оператор, действующий в пространстве векторов состояния, собственные значения которого и есть результаты измерения. Наше требование при конструировании операторов состоит в том, что их собственные числа должны быть вещественны.

Эрмитовы операторы обладают только вещественными собственными числами, поэтому постулировав, что все операторы физических наблюдаемых эрмитовы, мы автоматически удовлетворяем нашему требованию. Это достаточный, но вовсе не необходимый выбор! Действительно, неэрмитовы операторы тоже могут обладать вещественным спектром. Поэтому строго говоря, нет необходимости ограничиваться только эрмитовыми операторами
при конструировнии квантовой механики.

Однако это не единственная модификация. Неэрмитовый гамильтониан, пусть даже и обладающий вещественными собственными числами, приводит к неунитарному оператору эволюции во времени. Это необходимо устранить, так как неунитарная эволюция во времени приводит к несохранению нормы векторов состояния, а значит, вероятность куда-то утекает из нашего мира.

Устраняется это переопределением скалярного произведения, а значит, и нормы, в гильбертовом пространстве. Дуальный вектор состояния уже не определяется как эрмитово-сопряженный вектор (комплексно сопряженный и транспонированный), а строится новым, согласованным с гамильтонианом способом, так чтобы норма любого вектора состояния при эволюции во времени оставалась неизменной.

Таким образом, новшество сводится лишь к более широкому использованию свободы построение пространства дуальных векторов. В каком-то смысле, в гильбертовом пространстве вводится нетривиальная метрика.

Конкретная реализация и примеры

Конкретная реализация неэрмитовой квантовй механики, которой вот уже десяток лет занимается Carl Bender с коллегами (см. например статью hep-th/0303005), состоит в замене эрмитового сопряжения на преобразование PT-симметрии. Преобразование P-симметрии (отражение пространственных координат) состоит, например, в замене знака перед оператором координаты и импульса, а преобразование T-симметрии (обращение времени) состоит в изменении знака импульса (но не координаты), а также в замене i на -i. При PT-преобразовании сохраняется алгебра Гейзенберга (т.к. сохраняется [x,p]=i), т.е. PT-преобрзование является каноническим преобразованием.

Стандартный гамильтониан одночастичной квантовой задачи, например, в задаче одномерного гармонического осциллятора (в безразмерных величинах)

H = p2 + x2

эрмитов, и кроме того, инвариантен относительно PT-преобразования. Теперь можно рассмотреть новый гамильтониан

H = p2 + x2 (i x)с

который уже неэрмитов, но по-прежнему инвариантен относительно PT-преобразования. Таким образом, если вместо симметрии гамильтониана при эрмитовом сопряжении накладывать более физическое (с точки зрения автора) требование симметрии относительно PT-преобразования, то возникает целый новый класс допустимых задач.

Доказано, что при с > 0 и при аккуратной переформулировке граничных условий для задачи Штурма-Лиувилля уравнение Hψ(x) = E ψ(x) с этим гамильтонианом имеет чисто вещественный спектр. Кажется естественным определить скалярное двух волновых функций как

< f | g > = ∫ [PT(f)] g dx.

Однако при таком определении возникает индефенитная метрика: половина собственных состояний H обладает положительной нормой, а половина -- отрицательной. Автор справляется с этой проблемой хитрым способом, подсмотренным им у Дирака (Дирак получил вначале состояния электрона с отрицательной энергией, а потом нашел им правильную интерпретацию). Он ввел C-преобразование, некий аналог зарядового сопряжения, причем оператор C-преобразования коммутирует с PT и с H (и при этом C-преобразование зависит от H). Если теперь построить скалярное произведение по закону

< f | g > = ∫ [CPT(f)] g dx

то оказывается все проблемы устраняются: метрика положительно определена и согласована с гамильтонианом, так что норма векторов сохраняется рпи эволюции во времени. Правда, возникает забавное явление -- метрика сама становится динамической величиной, зависящей от гамильтониана. Начинает смутно прорисовываться ситуация, похожая на ОТО.

Некоторые приложения

Возникает закономерный вопрос: а не сводится ли неэрмитовая квантовая механика к обычной некой нетривиальной заменой переменных? Отчасти это так. Было доказано, что для любого PT-симметричного гамильтониана с вещественным спектром существует преобразование, переводящее его в эрмитовый гамильтониан с тем же спектром. Однако это преобразование приводит к перестройке гильбертова пространства векторов состояний, и потому полная эквивалентность отсутствует.

В частности, в статье Faster than Hermitian Quantum Mechanics описано очень интересное явление, возникающее при решении задачи о "квантовой брахистохроне" в неэрмитовой квантовой механике.

Пусть есть два состояния -- начальное и конечное. Задача состоит в том, чтоб подобрать такой гамильтониан с фиксированным спектром, оператор эволюции которого переводит начальное состояние в конечное за кратчайшее время.

В эрмитовой квантовой механике это время конечно. Это связано с тем, что "скорость эволюции" в гильбертовом пространстве ограничена шириной спектра гамильтониана. Поэтому кратчайшее время -- это дистанция между векторами состояния поделить на скорость.

В неэрмитовой квантовой механике, оказывается, можно сделать это время эволюции сколь угодно малым (этому и посвящена статья). Автор предлагает такую интерпретацию этого факта. Расстояние между двумя векторами, посчитанное по обычным правилам, может быть большим, но с точки зрения метрики оно может быть сделано сколь угодно малым. Это похоже на ситуацию в ОТО с "червоточинами", которые позволяют сразу перейти в отдаленную часть вселенной, минуя ограничение, связанное со скоростью света. Мне лично кажется, это довольно спекулятивная аналогия, основанная только на поверхнотной математической похожести явлений.

Возникает вопрос: а можно ли проверить экспериментально возможность такой сверхбыстрой эволюции квантового состояния? (Если она будет подтверждена, то это будет однозначным аргументом в пользу более широкой версии квантовой механики.) Вот это непонятно. С одной стороны, вроде бы квантовая механика до сих пор не встречалась с какими-либо трудностями при описании свободной эволюции состояний. С другой стороны, такой эксперимент "возможен" и даже описан в статье -- правда, для этого надо использовать статическое магнитное поле с мнимыми компонентами. Не очень понятно, есть ли вообще какой-то физический смысл в этом понятии.

Однако возникает желание подумать и в еще одном направлении: а нельзя ли сюда приплести "коллапс" волновой функции при измерении? Но насколько это плодотворная мысль, не знаю.

[Комментарии на Элементах]

18 января 2007 г.

Новости химии

Химия на Элементах представлена мало, поэтому хочу поделиться ссылкой на прекрасную ленту новостей химической науки.
Новости практически ежедневные, очень интересные, из самых разных областей химии.
Обратите особенное внимание на статьи Горячая десятка химиков – 2006 и Самое интересное в химии в 2006 году.

[Комментарии на Элементах]

17 января 2007 г.

Эмпирические и фундаментальные теории

Мне хочется сделать одно методологическое пояснение к недавней новости Наступает новая эра в теоретической ядерной физике. Главное утверждение этой заметки состоит в том, что ядерная физика, которая вот уже лет 70 оставалась чисто эмпирической теорией, стала мало-помалу выводиться из первых принципов, из динамики кварков и глюонов.

Может показаться не очень понятным, а какая вообще разница -- эмпирическая у нас теория или фундаментальная? Чем одно предпочтительнее другого? Про это я и хотел бы здесь подробно рассказать.

1. Что такое эмпирические законы и что такое фундаментальная теория.

Рассмотрим конкретный пример -- движение планет вокруг Солнца.

Вначале Тихо Браге много лет следил за положением планет, но не пытался найти в них математический закон. Затем Кеплер взял эти записи и выяснил, что планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Кроме того, он заметил, что движение планет по эллипсам не равномерное, а такое, чтоб выполнялись некоторые законы (известные сейчас как законы Кеплера).

Это -- пример описательной, эмпирической теории. У нас есть формула -- т.е. просто обобщение экспериментальных данных, и вроде как природа этой формуле подчиняется, и на основе её можно делать предсказания относительно движения этих планет в будущем. Однако она не вычислена, не выведена ниоткуда, а значит, непонятно, какое свойство природы она описывает. Появляются вопросы, на которые в рамках этой описательной теории не ответишь. Обязаны ли быть только эллипсы, или же возможны другие орбиты, например, в форме восьмерки, а нам просто повезло, что планеты в солнечной системе вращаются именно так? А какого размера могут быть эти эллипсы, есть ли какие-то ограничения на их полуоси, на их вытянутость? А каковы будут орбиты планет, вращающиеся вокруг других звезд -- может всё это зависит от свойства центральной звезды? А как будут вращаться вокруг Солнца очень маленькие тела, размером с кирпич?

В общем, в эмпирических теориях/моделях каждый конкретный случай -- это отдельная сущность, отдельная данность свыше. Нет универсальности, нет понимания, в чём причина таких простых законов. (А они действительно чрезвычайно просты по сравнению теми петляниям и попытным движением, которое мы ВИДИМ с Земли.)

Ньютон построил точную, фундаментальную, глубинную теорию этого движения. Исходя из одного единственного закона -- всемирного тяготения -- он вывел эллипсы, все законы Кеплера, для всех планет и вообще для любых тел. Поставленные выше вопросы сразу же получают ответ.

Итак, в фундаментальные теории данность свыше только одна -- исходные уравнения. Все частные случае отсюда следуют.

2. Еще немного про эмпирические теории.

Примеры разных эмпирических теорий:

-- вся средневековая (ал)химия до Лавуазье
-- термодинамика в 19 веке, до развития статистической физики
-- периодический закон Менделеева до создания квантовой физики
-- ранняя теория атомных спектров, основанная на постулатах Бора, до создания квантовой механики
-- множество теорий, описывающих свойства вещества, -- магнетизм, сверхпроводимость, сверхтекучесть, и т.п. -- до их микроскопической формулировки.

3. Теперь вернемся к ядерным силам.

Законы Кеплера -- это еще самая "чистейшая" из эмпирических теорий. В ней нет подгоночных параметров. В большинстве же эмпирических теорий не просто постулируются (на основе экспериментальных наблюдений) какие-то простые законы, но еще в них присутствуют некие численные параметры. Эти параметры просто подбираются так, чтоб данные описывались наилучшим образом. Откуда эти параметры берутся и почему они равны именно этим значениям, в эмпирических теориях не обсуждается.

Ядерная физика, которая есть просто определенная разновидность адронной физики низких энергий, одна из самых "грязных" -- в смысле, одна из самых "запараметризованных" -- из эмпирических теорий.

Экспериментальных данных много, поэтому обобщить их, увидеть в них какие-то простые закономерности нетрудно. Эти закономерности формулируются в виде ядерных нуклон-нуклонных сил плюс еще некоторые простые законы (на них были основаны ранние модели ядра: капельная модель, оболочечная модель). Это всё эмпирические теории. На основе них можно производить расчеты, чем физики-ядерщики уже 70 лет и занимаются. Можно даже предсказывать свойства еще не открытых ядер и т.д. Это всё работает.

Настоящего теоретика это не может удовлетворить именно по той же причине, что и раньше. В таком описании каждая экспериментальная особенность -- это "данность свыше". Профиль нуклон-нуклонных сил, профиль трехнуклонного взаимодействия (оно вовсе не разлагается в простую сумму попарных сил), сложный закон изменения этих сил при повышении температуры в ядре, тенденция образовывать особенно устойчивые островки внутри ядер...

Но это всё были только нуклоны. А ведь в ядро можно поместить и более экзотические частицы, лямбда-гипероны, сигма-гипероны и т.д. и изучать свойства этих гипер-ядер. И опять -- для каждого нового гиперона приходится извлекать из опыта закон парного взаимодействия, как друг с другом, так и с нуклонами, и т.д.

ВСЕ эти вещи в эмпирической теории приходится определять из экспериментальных данных отдельно. Численные параметры в этих моделях -- массы, коэффициенты связи разных частиц друг с другом и т.д. -- тоже не сосчитаешь, а надо подбирать вручную, чтоб кривые наилучшим образом описывали данные.

Это очень досадно, потому что мы-то знаем, что всё это должно сводиться к взаимодействую кварков и глюонов. Более того, физики знают ТО САМОЕ уравнение, из решения которого должно получиться всё вышеперечисленное: и массы, и коэффициенты связи, и профиль потенциала нуклон-нуклонных сил. Беда лишь в том, что это уравнение очень трудно решить.

Это примерно, как если бы у преступника в руках была банковская карточка с миллионом долларов, но он не знал бы пин-кода :) Он бы всеми силами искал способ его узнать, не находил бы себе места. Примерно такое ощущение и у физиков, только они сдерживаются в проявлениях :)

Подведу итог про теории разного уровня.

1. Чисто эмпирические теории. Есть законы, полученные обобщением экспериментальных данных, но откуда они берутся и что подразумевают -- непонятно. Никакой глубокой точной теории нет.

2. Глубинный закон есть, но он слишком сложен, и его решения для изученных в эксперименте ситуаций получить не удается. В этом случае он ничем нам не помогает, и нам всё равно приходится прибегать к эмпирическим моделям.

3. Глубинные уравнения удается решить численно, на компьютере. Тогда законы, построенные в эмпирической теории можно проверять. Если они подтверждаются, то говорят, что этот закон выведен из первых принципов.

4. Глубинная теория допускает аналитическое решение. Есть формулы для всего, что надо.

В заметке Наступает новая эра в теоретической ядерной физике как раз описывается, что ядерная физика постепенно переходит из категории 2 в категорию 3.

[Комментарии на Элементах]

4 января 2007 г.

Новшество в журнале Physical Review Letters

Редакция PRL пошла на небольшой эксперимент. Изначально, полвека назад этот журнал создавался для публикации коротких сообщений, которые должны быть интересны и понятны не только специалистам в своей узкой области, но и вообще всем физикам. За пошедшие годы не только многократно вырос объем издания (сейчас в PRL еженедельно публикается за полсотни статей), но и сами статьи стали снова тяготеть в узкую специфичность. При этом отбор статей в PRL становится всё более жестким.

Для того, чтоб хоть как-то восстановить общефизическую доступность публикаций в PRL для широкого читателя, редакция решила еженедельно отмечать по нескольку статей, которые не только интересны, но и написаны особенно доступно. Такие статьи отмечаются специальным значком (см. страницу выпуска от 5 января).

Так что если у кого есть время для ознакомления с современными достижениями физики, рекомендую проглядывать эти статьи.

[Комментарии на Элементах]

2 января 2007 г.

По улицам ходила большая крокодила...

Что бы вы подумали, если бы выглянув из окна, увидели вот такую бандуру, движущуюся по улицам вашего города?

Это главный спектрометр тритиевого эксперимента Катрина едет к месту своей работы. Подробности и картинки.

[Комментарии на Элементах]

Теоретическая физика-2006

Предлагаю свой списочек особенно запомнившихся (мне) работ и направлений исследования в теоретической физике в 2006 году. Он, разумеется, очень субъективный, с перекосом в физику микромира, поэтому буду благодарен за комментарии и предложения. Список составлен не в порядке важности, а как попало.

Прошлогодний список можно посмотреть тут.




1. Программа Лэнглэндса и теоретическая физика

Две огромных статьи Виттена с соавторами:

Anton Kapustin, Edward Witten, hep-th/0604151, "Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program"

Sergei Gukov, Edward Witten, hep-th/0612073, "Gauge Theory, Ramification, And The Geometric Langlands Program"

Программа Лэнглэнда, и в частности, ее геометрическая версия -- это совокупность идей и гипотез, связывающих теорию чисел и алгебраическую геометрию. Поэтому эта тема интересует в основном чистых математиков. Однако в последние годы выяснилось, что это направление исследования нашло неожиданные точки соприкосновения с теоретической физикой, с квантовой теорией поля и теорией суперструн. Более того, как показано в этих больших статьях, некоторые математические объекты и явления (например, дуальность), которые, как ожидается, будут играть важную роль в программе Лэнглэндса, уже рассматриваются физиками-теоретиками.
Наведение мостов между этими двумя научными дисциплинами должно оказаться чрезвычайно полезным дли них обоих.

На русском языке не нашлось ни одного хоть мало мальски доступного введения в этот предмет, поэтому могу порекомендовать только вводные лекции hep-th/0512172.

2. Применение N=4 SYM + AdS/CFT в квантовой хромодинамике

Один из сюрпризов прошедшего года -- это успешное применение теорфизики "высокого полета" (AdS/CFT сответствия) к описанию таких обыденных процессов, как столковение высокоэнергетических тяжелых ядер (такие процессы изучаются в эксперименте RHIC). Сюрпризом это является прежде всего для тех, которые думают, что для описания экспериментальных данных хватит "обычной", общепонятной математики, а всё мудреное -- это от лукавого.

Суть заключается в том, что некоторая разновидность калибровочной теории -- N=4 суперсиметричная теория Янга-Миллса (N=4 SYM) в пределе большого числа цветов -- находит применение при описании адронной материи при высоких температурах. Очень непохожая на обычную КХД при нулевой температуре, эта теория начинает ее напоминать при повышении температуры. Однако она существенно проще, чем сама КХД, и самое главное, к ней применимо AdS/CFT соответствие, позволяющее свести динамику кварков и глюонов в режиме сильной связи к изучению гравитации в неком многомерном пространстве.

Может покзаться удивительным, но именно эта высокая математика позволяет получать результаты там, где обычная КХД пока буксует.
Это вычисление ряда свойств столоквения тяжелых ядер: эффективная вязкость кварк-глюонной плазмы, потеря энергии при движении энергетических частиц сквозь нее, подавление струй, а про описание деконфайнмента в рамках этой теории мы писали в заметке Плавление атомных ядер происходит в два этапа?

Столкновение релятивистских ядер -- не единственное приложение N=4 SYM к "классической" физике элементарных частиц. Как раз из-за того, что эта теория проще обычной КХД, в рамках неё сейчас исследуются некоторые вещи, которые в КХД сосчитать очень трудно. Это, например, многопетлевые амплитуды рассеяния и поправки высших порядков в уравнения эволюции партонных плотностей, вывод линейного межкваркового потенциала, обеспечивающего конфайнмент.

3. Ландшафт теории струн

Как мы описывали в заметках Теория суперструн: в поисках выхода из кризиса и Бесконечно ли всемогущество теории суперструн?, теоретики-суперструнщики сейчас пытаются найти выход из тупика, в который они сами себя загнали. Дело в том, что, как выяснилось несколько лет назад, из одной и той же суперструнной теории при высокой энергии может получиться огромное множество самых разных низкоэнергетических миров (эта совокупность называется ландшафтом теории струн). Однако никакого динамического принципа, позволяющего объяснить, почему мы живем в этом конкретном низкоэнергетическом мире, пока не придумано.

Изучению этого ландшафта сейчас посвящено множество работ, причем в последние месяцы этот бум только разгорается: сейчас появляется с десяток статей в месяц (!). Интересно, к чему это всё приведет.

Сюда, кстати, примыкает одна интересная статья: hep-th/0602239, "Dynamical SUSY Breaking in Meta-Stable Vacua". Не исключено, что наш конкретный мир -- это не абсолютный энергетический минимум суперструнных теорий, а локальный, почти абсолютный минимум. Т.е. наш вакуум -- не настоящий вакуум, а псевдовакуум, и в принципе он может спонтанно перейти в настоящий. Вероятность такого перехода, однако, может быть столь мала, что это губительное событие так и не успело произойти за всё время, прошедшее от Большого взрыва. Открытие, сделанное в этой статье, состоит в том, что такое предположение легко решает одну из проблем теории суперструн -- естественность нарушения суперсимметрии в низкоэнергетическом мире.

4. Природа Большого взрыва и возникновение мира

Не суперструнами одними жива математическая физика. В рамках петлевой квантовой гравитации -- альтернативе суперструнам -- тоже есть прогресс. В 2006 году одному из авторов этой теории, Абэю Аштекару, с коллегами удалось "обсчитать Большой взрыв" (см. их статьи). По одной из этих статей мы опубликовали заметку Что было до Большого взрыва и откуда взялось время?

5. Электронные свойства графена

В физике конденсированных сред особенной активной в этом году мне показалась деятельность по изучению электронных свойств графена -- двумерной форме углерода, состоящей из одного или нескольких графитовых плоскостей. В 2005 году было открыто, что низкоэнергетические возбуждения в графене ведут себя подобно ультрарелятивистским частицам и приводят к совершенно новой разновидности квантового эффекта Холла. В 2006 году эти открытия продолжились: в двухслойном графене обнаружился еще один вид квантового эффекта Холла, вскрылись интересные свойства графена в присутствии беспорядочных дефектов, обсуждается магнетизм в графене, предлагается реализовать мысленный эксперимент, связанный с парадоксом Клейна.

6. Оптическая невидимость

Прогресс в создании метаматериалов с экзотической восприимчивостью к электромагнитному полю позволил всерьез заговорить о создании "шапки-невидимки" -- оболочки из метаматериала, обводящей лучи света вокруг помещенного внутрь тела и делающего его практически невидимым. См. Science (23 June 2006), Vol. 312. pp. 1780, Science (23 June 2006), Vol. 312. pp. 1777 и другие статьи, а также популярную заметку Возможность существования плаща-невидимки сведена к математической теореме.

[Комментарии на Элементах]