Простота и сложность

Пост Игоря Шутяева в соседней дискуссии про "простоту и пестроту" напомнил мне об одном утверждении, которое я вычитал в каком-то математическом тексте.

Там говорилось, что в математике есть, говоря очень общо, две стратегии получения нетривиальных результатов.

1. Либо вы берет простые объекты и манипулируете с ними сложным образом,
   
2. либо бы строите новый сложный объект, описываете его свойства, и тогда даже простые манипуляции с этим объектом могут привести к нетривиальным результатам.
   

В первом способе вся сложность -- в длинных вычислениях; во втором способе вся трудность спрятана в характеристиках объекта, который вы изобретаете.

Чтоб не выглядело голословным, приведу пример. Есть такая теорема, называется малая теорема Ферма. Пусть p простое число, а n произвольное целое число. Тогда n^p-n делится на p.

Её в общем-то можно доказать в лоб, расписывая n^p как (1+1+...+1)^p, разлагая на отдельные слагаемые и используя свойства биномиальных коэффициентов. Но с непривычки это большая морока! Однако если знать некоторые элементарные свойства теории (конечных) групп, типа порядка, подгрупп, орбит и т.п., то эта теорема становится почти тривиальной.

Т.е. умножение и сложение целых чисел -- очень простая наука, но чтоб с помощью лишь этого доказать малую теорему Ферма, придется попотеть. И от простоты в конце концов ничего не останется. А вот в теоретико-групповом способе доказательства вся внутренняя структура числа n^p-n, вся трудность спрятана в понятие мультипликативной группы вычетов по модулю p. Одно лишь построение этого объекта и понимание его свойств сразу приводит к интересным результатам. Но надо преодолеть барьер - сначала выучить основы теории групп.

Так вот, я это всё к тому, что в теоретической физике эти две стратегии получения новых результатов тоже прослеживаются (хотя, вероятно, не всё ими исчерпывается).

Можно стартовать с очень простых (по математической форме) уравнений, но по мере их решения будет возрастать вычислительная сложность. Так что необыкновенная простота формулы F=ma имеется только до того, как ты начал реально её использовать в нетривиальных ситуациях. Например в небесной механике, как правильно заметил Игорь Шутяев, никакой простотой и не пахнет.

С другой стороны, ту же механику можно строить и из вариационного принципа. Понять в деталях саму его формулировку для человека, не проходившего хотя бы годовой курс высшей математики (чем бы это ни было) и механики, очень трудно. Какая тут простота, если уже само понятие очень сложное? Так вот, простота начинается когда этот принцип начинаешь применять для получения результатов. Она заключается в том, что даже задачи в сложных ситуациях решаются примерно так же легко, как и простейшая задачка движения одной материальной точки в потенциале.

Вот эта простота -- гораздо более фундаментальная и гораздо более полезная простота.

Еще один пример этих двух подходов есть в книжке Фейнмана "КЭД -- странная теория света и вещества". Он говорит, что непривычные квантовые явления могут быть легко описаны на языке комплексных волновых функций и уравнения Шредингера, но если вы не хотите разбираться с этими математическими понятиями, то можно просто "поиграть в стрелочки" -- правда вывод тех же результатов (точнее, самых простых из них) будет несравненно более длинным.

Вообще, примеров можно приводить много. Например, те же квазичастицы -- тоже переход от простейших атомов к новым, более абстрактным (и на первый взгляд, более сложным!) степеням свободы. Но зато явления, наблюдаемые, например, в металлах, в жидком гелии и т.д., выражаются в терминах квазичастиц несравненно более простым способом.

Или вот пример из буквально сегодняшней физики. Есть теория КХД, а есть ее N=4 суперсимметричное обобщение. Переход к суперсимметрии резко повышает начальную сложность конструкции. Но как только эта сложность преодолена, то становится видно, что эта теория очень простая, гораздо проще самой КХД (это потому что в ней константа связи становится не бегущей, а фиксированной, т.е. появляется точная масштабная инвариантность; кроме того, у нее есть AdS/CFT соответствие, помогающее изучать рассяение в режиме сильной связи). Понимание этой теории даст, вероятно, ключ к лучшему пониманию и КХД.

[Комментарии на Элементах]