(Не)локальность

Поскольку тут зашел длинный разговор про то, что такое локальность физических теорий, и даже спросили мое личное мнение, то я выскажусь отдельным сообщением.

Всегда, когда я встречался с понятием локальности, речь шла о вполне конкретной вещи: изменение во времени некоторой динамической переменной зависит от значений этой переменной в данной точке и её бесконечно малой окрестности. Или в эквивалентной формулировке -- от значений этой переменной и конечного числа её производных по координатам в данной точке. Соответственно, нелокальность означает, что эволюция во времени зависит от значения этой переменной в других точках. Обычно уравнения удается разделить на "свободные" уравнения и члены, описывающие взаимодействия, и тогда вопрос о локальности теории сводится к локальности взаимодействия.

Да, если уж проводить быть аккуратным, то надо говорить, что эти "точки" пространства относятся именно к конфигурационному пространству. Однако как правило именно конфигурационное пространстве шире "обычного" (пример -- N частиц), поэтому одинаковые точки конфигурационного пространства отвечают одинаковым точкм и обычного пространства.


Теперь кое-какая конкретика.

1.
Начну с квантовой механики, так проще. УШ содержит потенциал -- оператор взаимодействия частицы с кем-то. Тот факт, что этот потенциал создает какое-то другое тело, находящееся далеко, никого не беспокоит -- только из-за этого теория еще не считает нелокальной. Если потенциал есть полином от операторов дифференцирования конечного порядка по координатам, то такой потенциал локален. Если же оператор потенциала явно записывается в интегральной форме


V[ψ] = \int V(x,x') ψ(x') dx'


или же имеет такие бяки как


1/(1-d_x) = 1 + d_x + d_x² + ...


то он нелокален, поскольку эволюция в.ф. в данной точке зависит от в.ф. в других точках.

2.
В КТП (обычной) локальность означает, что лагранжиан строится из произведений полевых функций, взятых в одной и той же точке пространства-времени. Однако может статься так, что после интегрирования по тяжелым степеням свободы получившееся эффективное действие для легких частиц будет нелокальным. Такого типа нелокальные потенциалы используются в ядерной физике и низкоэнергетической адронной физике, и при том довольно активно (см. например библиографию по сепарабельным потенциалам -- это один из простейших видов нелокального взаимодействия). Так что само по себе это не страшно, надо лишь помнить, что это всё должно выводиться из более глубокой локальной теории.

Есть, конечно, и попытки засунуть нелокальность и в фундаментальную теорию, но я не слышал о каких-то существенных успехах в этой области. Если посмотреть на аксиоматическую теорию поля, то локальность одно из налагаемых там требований.

3.
Отдельно стоит поговорить про обменное взаимодействие. Казалось бы, оно явно нелокально, поскольку оператор обменного взаимодействия, действующий на двухчастичное состояние, переставляет координаты:


V_обм.[ψ(x₁,x₂)] ~ ψ(x₂,x₁)


что вовсе не пропорционально ψ(x₁,x₂). Однако на самом деле настоящей нелокальности тут не возникает. Дело в том, что раз мы описываем состояния тождественных частиц, то мы должны ограничить себя рассмотрением двухчастичных состояний, которые уже (анти)симметризованны, а значит, ψ(x₁,x₂) ~ ψ(x₂,x₁),
и оператор обменного взаимодействия уже не будет казаться нелокальным. Можно сказать так: в физической области гильбертова пространства состояний двухчастичной системы обменное взаимодействие тоже локально. А нелокально оно в нефизической части.

4.
А вот теперь по поводу закона Ньютона и закона Кулона. При правильной постановке задачи, заряд взаимодействует не с удаленным зарядом, а электрическим полем в данной точке. Электрическое же поле в данной точке определяется удаленным зарядом в прошлом, причем определяется не "мгновенно", а "по цепочке" вдоль светового конуса, локально. Т.е. когда-то в прошлом тело пришло "туда", в ту удаленную точку, "привезло" с собой ЭМ поле, которое сейчас мы в нашей точке и чувствуем. Это поле распространялось в соответствии с локальными уравнениями Максвелла, поэтому я не вижу никаких причин называть эту задачу фундаментально нелокальной.

Однако по аналогии с эффективным действием можно как бы "забыть" про поле и говорить только о зарядах. Тогда да, это будет наверно нелокальное упрощение исходной локальной задачи. Но это -- именно что упрощенная интерпретация. Настоящей нелокальности тут нет.

5.
Кстати, стоит отметить, что в понятии локальности присутствует явная несимметрия между координатными и импульсным (и вообще любым другим) представлением. КМ локальная именно в координатном представлении. Если УШ переписать в импульсном представлении, то оно будет явно нелокальным -- нелокальным в импульсном пространстве (член со взаимодействием там будет выражаться сверткой, а не произведением!)

Таким образом не все базисы в гильбертовом пространстве квантовой частицы равноправны, в том числе по отношению к понятию локальность.

P.S. Но я конечно не истина в последней инстанции, у меня тоже может быть неправильное представление.

[Комментарии на Элементах]